数学一轮复习专题3.5 指数与指数函数 （新教材新高考）（练）教师版

专题3.5指数与指数函数练基础1．（2021·山东）设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用指数函数的性质求解集合B，再求集合的补集，交集即可.【详解】由题知，又，则，故选：B.2.（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数且过定点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，所以函数且过定点．3．（2021·江西高三二模（文））下列函数中，在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用二次函数的性质判定A；利用分段函数的图象可以判定B；根据幂函数和对数函数的性质判定C,D．【详解】A中，的图象关于轴对称，开口向下的抛物线，在上单调递减，故Ａ不对；B中，的图像关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，故排除B； C中，由幂函数的性质可知在上单调递增，故C正确；D中，根据指数函数的性质可得在上单调递减，故排除D；故选：C．4．（2020·浙江高三月考）当时，“函数的值恒小于1”的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由指数函数的图象与性质可得原命题等价于，再由充分不必要条件的概念即可得解.【详解】若当时，函数的值恒小于1，则即，所以当时，函数的值恒小于1的一个充分不必要条件是.故选：D.5．（2019·浙江高三专题练习）已知函数（其中的图象如图所示，则函数的图象是（）A．B． C．D．【答案】C【解析】由二次函数的图象确定的取值范围，然后可确定的图象．【详解】由函数的图象可知，，，则为增函数，，过定点，故选：.6．（2021·浙江高三专题练习）不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意得，再解绝对值不等式即可得答案.【详解】解：由指数函数在上单调递增，，所以，进而得，即.故选：A.7．（2021·浙江高三专题练习）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（） A．B．C．D．【答案】B【解析】由指数函数性质求得定点坐标，由定点求得幂函数解析式，确定图象．【详解】由得，，即定点为，设，则，，所以，图象为B．故选：B．8．（2021·山东高三三模）已知，则的大小关系正确的为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】解：， ，指数函数在上单调递减，，即，又幂函数在上单调递增，，即，，故选：B.9．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.【详解】 当时，，图象A满足；当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点，此时，故C不成立.故选：ABD10．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知（k为常数），那么函数的图象不可能是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当时，为偶函数，当时，为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当时，为偶函数，当时，且单调递增，而在上单调递增， 故函数在上单调递增，故选项C正确，D错误；当时，为奇函数，当时，且单调递增，而在上单调递减，故函数在上单调递减，故选项B正确，A错误.故选:AD．练提升TIDHNEG1．（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由不等式可知，或，结合图象，分析可得的取值范围.【详解】当时，，得，，不能满足都有解；当时，，得或，如图，当或时，只需满足或，满足条件. 所以，时，满足条件.故选：A2．（2021·安徽芜湖市·高三二模（理））函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】首先根据函数是偶函数，求出函数的解析式，结合不等式的关系进行转化，利用单调性转化为不等式恒成立问题即可求解.【详解】∵是定义在上的偶函数，且当时，，∴，当时为增函数，∴，则等价于，即，即对任意恒成立，设，则有，解得， 又∵，∴.故选：A.3．（2021·辽宁沈阳市·高三三模）已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当时的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为，函数是单调增函数，所以比较a，b，c的大小，只需比较当时的大小即可.用特殊值法，取，容易知，再对其均平方得，显然，所以，所以故选：B.4．（2021·江苏苏州市·高三其他模拟）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（）参考数据：.参考时间轴：A．战国B．汉C．唐D．宋 【答案】B【解析】根据“半衰期”得，进而解方程得，进而可推算其所处朝代.【详解】由题可知，当时，，故，解得，所以，所以当时，解方程，两边取以为底的对数得，解得，所以，所以可推断该文物属于汉朝.故选：B5．（2021·河南高三月考（理））设实数，满足，，则，的大小关系为（）A．B．C．D．无法比较【答案】A【解析】从选项A或C出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设，则，，由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；由得，因函数在上单调递减，又，则，所以 ；即有与假设矛盾，所以，故选：A6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数，则下述正确的有（）A．在R上单调递增B．的值域为C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称【答案】AC【解析】A.由和的单调性判断；B.取判断；C.D.判断是否等于零即可.【详解】因为是定义在R上的增函数，是定义在R上的减函数，所以在R上单调递增，故A正确；因为，故B错误；因为，所以的图象关于点对称，故C正确，D错误．故选：AC．7．【多选题】（2020·山东省青岛第十六中学高三月考）已知函数，则下列正确的是（）A．B．C．D．的值域为【答案】BD【解析】 对选项A，根据计算，即可判断A错误，对选项B，根据计算，即可判断B正确；对选项C，根据计算，即可判断C错误，对选项D，分别求和的值域即可得到答案.【详解】对选项A，，，故A错误；对选项B，，，故B正确.对选项C，因为，所以，，故C错误；对选项D，当时，，函数的值域为，当时，，，函数的值域为，又因为时，，是周期为的函数，所以当时，函数的值域为，综上，函数的值域为，故D正确.故选：BD8．【多选题】（2020· 河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．在上是增函数D．的值域是【答案】BC【解析】由判断A；由奇函数的定义证明B；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出的范围，进一步求得的值域判断D．【详解】，，，则不是偶函数，故A错误；的定义域为，，为奇函数，故B正确；，又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；，，则，可得，即．，故D错误．故选：BC． 9．【多选题】（2020·重庆市第十一中学校高三月考）已知函数（为常数），函数的最小值为，则实数的取值可以是（）A．-1B．2C．1D．0【答案】CD【解析】由已知求得当时，的最小值为，问题转化为当时，恒成立，对分类讨论求得的范围，结合选项得答案．【详解】当时，单调递减，且当时，函数取得最小值为；要使原分段函数有最小值为，则当时，恒成立，当时，满足；当时，需，即．综上，实数的取值范围为．结合选项可得，实数的取值可以是1，0．故选：CD．10．【多选题】（2021·南京市中华中学高三期末）“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作《抱银貂的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条．”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：，其中为悬链线系数．当时，称为双曲余弦函数，记为．类似的双曲正弦函数．直线与和的图像分别交于点、．下列结论正确的是（） A．B．C．随的增大而减小D．与的图像有完全相同的渐近线【答案】AC【解析】由函数的定义，代入化简可得A正确，B不正确；由可得C正确；由函数的图象变化可得D不正确.【详解】，所以A正确；，所以B不正确；，且随着变大，越来越小，所以C正确；，当时，是的等价无穷大，无渐近线，，当时，是的等价无穷大，无渐近线，所以D不正确.故选：AC练真题TIDHNEG1.(新课标真题)已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（） A．B．C．D．【答案】A【解析】[来源:学,科,网Z,X,X,K]由可得，则，即，所以，，故选A.2．（2020·北京高考真题）已知函数，则不等式的解集是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.3.(北京高考真题)已知函数，则（）（A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数【答案】B[来源:学科网]【解析】4.(2019年高考北京理)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.5.（山东高考真题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,fx是周期函数,且T=6,所以f(919)=f(6×653+1)=f(1)=f(-1)=6.6.（2019·全国高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则 __________.【答案】-3【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．