数学一轮复习专题11.2 排列与组合 （新教材新高考）（练）教师版

专题11.2排列与组合练基础1．（2021·福建宁德·高三期中）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（）A．6种B．9种C．18种D．36种【答案】C【分析】根据题意首先从三名学生中选名选报同一项目，再从三个项目中选项项目，全排即可.【详解】由题意可得，故选：C2．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这人的名次排列所有可能的情况共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】C【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有种排法．故共有种不同的情况．故选：C.3．（2021·全国·高三月考（理））某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（） A．240种B．300种C．360种D．420种【答案】D【分析】先放A，分B、D选则同一种花和不同种花两种情况，再考虑C、E，由分步乘法和分类加法原理可得答案.【详解】先放A，共有5种选择，若B、D选则同一种花，有四种选择，剩下的C、E均有三种选择，共种，若B、D选则不同种花，有种选择，剩下的C、E均有两种选择，共种，故共有180+240=420种.故选：D.4．（2021·全国·高二课时练习）某工程队有卡车､挖掘机､吊车､混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（）A．18B．9C．27D．36【答案】D【分析】利用捆绑法，先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，即可得到答案；【详解】先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，则不同的派法共有（种）.故选：D5．（2021·浙江·模拟预测）若从 这个9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为，则使得为偶数的不同排列方法有（）A．1224B．1200C．1080D．840【答案】A【分析】考虑为偶数和为奇数两种情况，判断的奇偶性，根据中偶数的个数计算得到答案.【详解】为偶数，则为偶数，有；为奇数，则为奇数，四个数均为奇数，有.故共有1224种．故选：A.6．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A．22B．25C．20D．48【答案】C【分析】将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，据此即可的解.【详解】解：将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，因为每个盒子都有球，所以每个盒子至少又一个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同插入方法共有种，所以每个盒子都有球的放法种数为20.故选：C.7.【多选题】（2021·福建省漳州第一中学高二月考）男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）A．1人B．2人C．3人D．4人【答案】BC【分析】设女生有n人，则男生有8-n人，由求解. 【详解】设女生有n人，则男生有8-n人，由题意得：，即，解得或，故选：BC8．（2021·上海·闵行中学高三期中）从4男2女六名航天员中选出三名作为神舟十四号乘组，则恰好有一名女航天员被选中的选法有______种．（用数字作答）【答案】【分析】利用组合数来计算出选法数.【详解】依题意可知，选法有种.故答案为：9．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））新型冠状肺炎疫情发生后，新疆某医院有2名医生，4名护士自愿报名参加援助武汉医疗队，现要将这6名医护人员分成2个小组，分别安排到武汉市的两所方舱医院参加医疗救助活动，每个小组由1名医生和2名护士组成，不同的安排方案共有_________种．（用数字作答）【答案】12【分析】先从2名医生中选1名去一所方舱医院，再从4名护士选2名护士去同一所方舱医院，利用分步乘法计数原理即可求出.【详解】先从2名医生中选1名去一所方舱医院，有种，再从4名护士选2名护士去同一所方舱医院，有种，剩下的1名医生2名护士去另一所方舱医院，则不同的安排方案共有种.故答案为：12.10．（2021·全国·高二课时练习）求下列各式中的正整数n：（1）；（2）．【答案】（1）（2）6 【分析】（1）根据排列数公式列出方程即可求解；（2）根据排列数公式列出方程即可求解；（1）解：因为，所以，解得；（2）解：因为，又，所以，解得.练提升TIDHNEG1．（2020·上海市沪新中学高三月考）某校组队参加辩论赛，从名学生中选出人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为________(结果用数值表示)【答案】180【分析】利用组合和排列的含义分别求出从6名学生中选出四名且甲必须参赛和甲不担任四辩的情况种数，然后按照分步乘法原理计算即可.【详解】首先从6名学生中选出四名且甲必须参赛共有种情况，甲不担任四辩的情况共有种，故不同的安排方法种数为.故答案为：180.2．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访.期间工作的任务有A，B，C，D四项，每项任务至少一人参加，但两名女记者不参加A任务，则不同的安排方案数共有_______.【答案】【分析】采用分类计数原理，排列组合进行计算可得.【详解】两名女记者不参加A任务，由题意分两类情况：①1男参加A任务；②2男参加A任务,其余人员再排列;即:①1男参加A任务，将3男选1排在A任务，再将剩下4人选两人打捆,再排在其它3项任务，即种.②2男参加A任务，将3男选2人排在A任务,再将剩下的人排在其它3项任务, 即种,所以选出符合条件参加活动的人员共有:108+18=126种，故答案为:126种3．（2021·全国·高三月考）某学校安排甲，乙等位中层干部深入个班级进行班级课堂教学调研，每班至少安排一位中层干部，若甲、乙不能安排到同一个班级，则不同的安排方法共有______________________种(用数字作答)．【答案】【分析】先将位中层干部分成组，有组人其他组各人，除去甲、乙分在一起的情况，所以分组结果有种，再分配到个班级，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】首先把位中层干部分成组，有组人其他组各人．又甲、乙不能分在一起，因此有种，再对分好的组分配到个班级有种，根据分步乘法原理得：种，故答案为：.4．利用组合数公式证明．【答案】证明见解析【分析】利用组合数公式分别计算等式左右两边即可证明.【详解】证明：因为，，所以．5．（2021·全国·高二课时练习）把分别标有1，2，3，4号的4个不同的小球放入3个分别标有1号、2号、3号的盒子中，不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法共有多少种？【答案】12【分析】由于4号球没有限制，所以以4号球分两类讨论：一类是4号球与1，2，3号球中的一个在一个盒子，另一类是4号球单独放在一个盒子，其他3个球放入两个盒子.【详解】 由于4号球没有限制，所以以4号球分类：当4号球与1，2，3号球中的一个在一个盒子时，它们有2个盒子可选，其他两个球只有1种放法，共有种放法；当4号球单独放在一个盒子，其他3个球放入两个盒子时，首先在1，2，3号球中先选出两个球占一个盒子有种，再分配剩下那个球与4号球，满足条件的放法种数为种，所以共有种不同放法.6．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为多少种？（请写出分类过程）【答案】360【分析】根据题意，按甲校安排的人数分4种情况讨论，求出每种情况下安排方案的数目，由加法原理计算可得答案.【详解】分四种情况讨论：甲校安排1名老师，分配方案种数有，甲校安排2名老师，分配方案种数有，甲校安排3名老师，分配方案种数有，甲校安排4名老师，分配方案种数有所以分配方案共有150+140+60+10=360种.7．（2021·全国·高二课时练习）现有编号分别为，，，，，，的7个不同的小球，将这些小球排成一排（1）若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？（2）若要求排在正中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？【答案】（1）720；（2）216.【分析】（1）利用“捆绑法”可求；（2）分，，中有1个在的左侧和有2个在的左侧讨论求解.【详解】（1）把，，看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有（种）．（2）在正中间，所以的排法只有1种． 因为，，互不相邻，所以，，不可能同时在的左侧或右侧．若，，中有1个在的左侧，2个在的右侧且不相邻，则不同的排法有（种），若，，中有2个在的左侧且不相邻，1个在的右侧，则不同的排法有（种）．故所求的不同排法有（种）．8．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：（1）能组成多少个不同的四位数？（2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】（1）216（2）108（3）108【分析】（1）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将取出的四个数全排列，最后利用分步计数原理求解；（2）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，最后利用分步计数原理求解；（3分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，最后利用分步计数原理求解.（1）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有种方法，第二步，取两个奇数，有种方法，第三步，将取出的四个数全排列，有种方法，由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；（2）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有种方法， 第二步，取两个奇数，有种方法，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有种方法，由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；（3）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有种方法，第二步，取两个奇数，有种方法，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，有种方法，由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；9．（2021·全国·高二课时练习）甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次．甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列共有多少种不同的情况．【答案】54【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数.【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.39．（2021·全国·高二课时练习）在3000—7000之间有多少个没有重复数字的5的倍数？【答案】392【分析】分各位数字是0和5两种情况进行讨论即可.【详解】第一类，个位是5时，首位从3，4，6中选，中间两位从0到9的数中，去掉5与首位的数中选2个排列，所以共有个；第二类，个位是0时，首位从3，4，5，6中选，中间两位从0到9的数中，去掉0与首位的数中选2个排列，所以共有个；所以共有个. 10．（2021·江西·横峰中学高二期中（理））1.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）（1）由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？（2）由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？（3）求出图中总计有多少个矩形？【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；（2）设出直线上其它格点为、、，按照、、、分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.（1）由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为；（2）设点、、的位置如图所示：则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况： ①沿着，共有条最近路线；②沿着，共有条最近路线；③沿着，共有条最近路线；④沿着，共有条最近路线；故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：①矩形的边不在上，共有个矩形；②矩形的一条边在上，共有个矩形；故图中共有个矩形.练真题TIDHNEG1．（2020·海南省高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C2.（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.3．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.4．（2017·天津高考真题（理））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】5.（2015·上海高考真题（理））在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】①男女，种；②男女，种；③男女，种；∴一共有种．故答案为：120.6.（2020·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.