数学一轮复习专题9.6 直线与圆锥曲线 （新教材新高考）（练）教师版

专题9.6直线与圆锥曲线练基础1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设切线方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，由可求得的值，设点，利用韦达定理求出的值，利用双曲线的定义求出的值，进而可求得该双曲线的离心率.【详解】抛物线的焦点为，易知点，设切线方程为，联立，即，则，解得，设点，由韦达定理可得，以、为焦点的双曲线的实轴长为，则，则，因此，该双曲线的离心率为，故选：B.2．（2022·全国高三专题练习）直线4kx－4y－k＝0与拋物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于（）A．B．C．D．【答案】D27/27 【分析】分析可得直线恒过抛物线的焦点，根据抛物线焦点弦的性质|AB|＝x1＋x2，可得弦AB的中点的横坐标是，即得解【详解】直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过拋物线y2＝x的焦点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是．故选：D3.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为A．B．C．1D．2【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为，又直线经过的焦点，设直线，由得，设，则27/27 由题意可得：，同理，所以.故选C4.（2019·天津高考真题（理））已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】抛物线y2=4x的准线l的方程为x=−1，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则有A(−1,ba),B(−1,−ba)∴AB=2ba，2ba=4，b=2a，∴e=ca=a2+b2a=5.故选D.5.【多选题】（2021·河北沧州市·高三月考）已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（）A．B．C．D．点在以为直径的圆内【答案】AB【分析】直线与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得，知A正确；将中点坐标代入直线方程即可求得，知B正确；根据直线过抛物线焦点，根据抛物线焦点弦长公式可知C错误；根据长度关系可确定，由此可确定D错误.【详解】对于A，设，，由得：，，27/27 又线段的中点为，，解得：，A正确；对于B，在直线上，，B正确；对于C，过点，为抛物线的焦点，，C错误；对于D，设，则，又，，，在以为直径的圆上，D错误.故选：AB.6．（2021·江苏扬州·高三月考）直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________.【答案】8【分析】由题意，求出，然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及即可求解.【详解】解：因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以.故答案为：8.7．（2022·全国高三专题练习）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．【答案】【分析】根据焦点坐标和直线的倾斜角得出直线的点斜式方程，然后利用直线和抛物线相交可得出A点坐标.继而可求出.【详解】27/27 解：由题意得：抛物线交点，直线l的倾斜角为60°，直线l的方程为，即代入抛物线方程，得解得（舍去）所以，于是可得故答案为：8．（2022·全国高三专题练习）抛物线的焦点F是圆x2＋y2－4x＝0的圆心．（1）求该抛物线的标准方程；（2）直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l与抛物线、圆依次交于A、B、C、D，求|AB|＋|CD|．【答案】（1）y2＝8x；（2）6.【分析】（1）由圆的方程写出圆心坐标，进而可得抛物线方程.（2）由题意知|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，写出直线l的方程，设A(x1,y1)、D(x2,y2)，联立抛物线求x1＋x2、x1x2，即可求|AD|，进而求|AB|＋|CD|．【详解】（1）由圆的方程知：圆心坐标为(2,0)．故所求的抛物线焦点为(2,0)，∴抛物线的标准方程为y2＝8x．（2）如图，|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，又|BC|＝4，只需求出|AD|即可．由题意，AD所在直线方程为y＝2(x－2)，与抛物线方程y2＝8x联立得：x2－6x＋4＝0，设A(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝4，27/27 ∴|AD|＝|AF|＋|DF|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝6＋4＝10，∴|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝6．9.（2020·广西钦州·高二期末（文））已知抛物线的顶点为，焦点坐标为．（1）求抛物线方程；（2）过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求线段的值．【答案】（1）．（2）【解析】（1）∵焦点坐标为∴，，∴抛物线的方程为．（2）设直线方程为，设，，联立消元得，∴，，，∴．∴线段的值为．10.（2021·江苏扬州·高三月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F的直线l交C于A，B两点，线段的中点为M，分别过A，B作C的切线，，且与交于点P，证明：O，P，M三点共线.27/27 【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率及焦点求出即可得椭圆标准方程；（2）设直线l的方程为：，联立方程后结合根与系数的关系计算即可证明三点共线.【详解】（1），椭圆方程为.（2）由题意知斜率不为0，设直线l的方程为：，，，，，由，即.，，.直线的方程为：①，直线的方程为②，，，，，即O，P，M三点共线.练提升TIDHNEG1.【多选题】（2021·山东济南·高三月考）已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，.则下列选项正确的是（）27/27 A．B．以线段为直径的圆与直线相离C．当时，D．面积的取值范围为【答案】BCD【分析】求出抛物线的焦点及准线，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，计算可判断A；利用定义及直线与圆的位置可判断B；由向量共线求出弦长判断C；求出点G的坐标及面积的函数式即可判断作答.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设直线l的方程为，由消去y得：，于是得，，A不正确；以线段AB为直线的圆的圆心，则，点到直线距离，由抛物线定义得，显然，即以线段为直径的圆与直线相离，B正确；当时，有，即，而，于是得，，C正确；由求导得，于是得抛物线C在A处切线方程为：，即，同理，抛物线C在B处切线方程为：，联立两切线方程解得，，27/27 点到直线l：的距离，于是得面积，当且仅当时取“=”，面积的取值范围为，D正确.故选：BCD2.（2019·全国高三月考（文））已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆过点F，则p=（）A.1B.2C.4D.6【答案】B【解析】设，联立，消去x得，由韦达定理可得：，，以线段MN为直径的圆的方程为，又其过点F，，，，，故选：B3．（2020·山西运城·高三月考（理））已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（）.27/27 A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的准线方程为，，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为．故选：A．4．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆、的面积为、，则的取值范围是__________．【答案】【分析】首先根据双曲线以及切线性质证明轴，然后根据三角形相似关系求出与之间的关系，再根据已知条件求出的取值范围，进而求出的取值范围，最后利用函数思想求出的取值范围即可求解.【详解】由双曲线的方程可知，实半轴长，虚半轴长，且，27/27 设圆与分别切于，，，连接，如下图所示：由圆的切线性质可知，，，，有双曲线定义可知，，即，设，故，解得，，由切线性质可知，与点坐标都为，同理可知，圆也与轴也切于点，故轴，且、、三点共线，又由三角形内切圆的性质可知，、分别为和的角平分线，易得，，从而可得，，故，因为，所以，，因为双曲线的渐近线：，所以其倾斜角分别为和，又因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以直线的倾斜角范围为，易得所以，由，不妨令，，易知，在上单调递减，在上单调递增，27/27 故的最小值为，又因为，从而在上的值域为，所以的取值范围为，又因为，所以的取值范围为.故答案为：.5．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线：与抛物线：在第一象限的交点为，过的焦点，，则抛物线的准线方程为_______；_______.【答案】【解析】易知直线与轴的交点为，即抛物线的焦点为，∴准线方程为，设，则，，作轴于点，如图，则，，∴，∴直线的斜率为．故答案为：；．6．（2020·江苏如皋·高二月考）已知是抛物线的焦点，，27/27 为抛物线上任意一点，的最小值为，则________；若过的直线交抛物线于、两点，有，则________.【答案】【解析】过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义可得，，则，则点在抛物线内，如下图所示：，当点、、共线时，取得最小值，解得，所以，抛物线的标准方程为，该抛物线的焦点为，设点、，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，联立，可得，恒成立，由韦达定理得，，，则，，所以，，可得，，可得，27/27 因此，.故答案为：；.7．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用椭圆的离心率，和过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，列出方程求解，可得椭圆的方程；(2)联立直线CD和椭圆方程，利用韦达定理和向量数量积的坐标公式代入解出k的值．【详解】（1）设F(－c，0)，由，知．过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，c＝1，所以椭圆的方程为．（2）设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．求解可得x1＋x2＝，x1x2＝．因为A(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝27/27 ．由已知得，解得k＝．8．（2021·北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0,4)到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点.（1）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；（2）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程.【答案】（1）；切线方程为或；（2）.【分析】（1）利用抛物线定义，结合已知即可求参数，写出抛物线标准方程，即可得P点坐标，利用导数的几何意义求P点处切线的斜率，即可写出切线方程.（2）设直线为，，，联立抛物线并整理，应用韦达定理求，，再根据中点公式求的中点，并写出的垂直平分线方程，利用菱形的对称性求N点坐标，由点在直线上求参数m，即可得直线l的方程.【详解】（1）依题意,设抛物线C：，由P到焦点F的距离为5，∴P到准线的距离为5，又P(x0,4)，∴由抛物线准线方程得：，即，则抛物线的标准方程为.∴，则，点P(±4,4)，∴，.∴(4,4)处抛物线切线方程为，即；(4,4)处抛物线切线方程为，即.综上，点处抛物线切线方程为或.（2）设直线的方程为，，，联立抛物线得：，消y得，.∴，，则，，即的中点为.∴的垂直平分线方程为.27/27 ∵四边形AMBN为菱形，∴，，关于对称，则，又在抛物线上，∴，即，故直线的方程为.9.（2019·天津高考真题（文））设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，又由，消去得，解得，所以，椭圆的离心率为.（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，由题意，，则直线的方程为，点的坐标满足，消去并化简，得到，解得，代入到的方程，解得，因为点在轴的上方，所以，由圆心在直线上，可设，因为，27/27 且由（I）知，故，解得，因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与相切，得，解得，所以椭圆的方程为：.10．（2019·全国高三月考（理））如图，己知抛物线，直线交抛物线于两点，是抛物线外一点，连接分别交地物线于点，且.（1）若，求点的轨迹方程.（2）若，且平行x轴，求面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）解法1：，设，则，由可得，故，同理，故，代入抛物线得：，化简得：，同理得：，所以为方程的两根，27/27 又由，将代入且①，将代入①，得，故.故点P的轨迹方程为.解法2：同解法1知，设线段的中点分别为，易知三点共线，（为实数），所以.以下同解法1.（2）由为方程的两根，可得：.由（1）得，因为，所以，故.轴且在抛物线上，∴关于轴对称.，及，且.∵在抛物线上,，解得.设的中点为，则，所以，而.练真题TIDHNEG27/27 1.（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.【答案】2【解析】联立，解得，所以.依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.27/27 故答案为：．3.（2019·浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.【答案】【解析】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.27/27 4.（2020·全国高考真题（文））已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即；（2）不妨设,在x轴上方点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为根据题意画出图形，如图，，，又，，27/27 ，根据三角形全等条件“”，可得：，，，，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，①当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，27/27 面积为：；②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：，综上所述，面积为：.5．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．27/27 （1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.27/27 由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.因为F1(-1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.27/27 因此.6．（2021·山东高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，∴，解得，则抛物线方程是．（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，设，，联立直线与抛物线的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，27/27 又，因此，即，∴，解得或．当时，直线的方程是，不满足，舍去．当时，直线的方程是，即，∴直线的方程是．27/27