数学一轮复习专题9.2 直线与圆的位置关系 （新教材新高考）（练）教师版

专题9.2直线与圆的位置关系练基础1．（福建高考真题（理））直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时,的面积为.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线与直线垂直，且与圆相切，切点位于第一象限，则直线的方程是（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】根据垂直关系，设设直线的方程为，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线的方程为． 圆心到直线的距离为，得或（舍去），故直线的方程为．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A．4B．5C．6D．7【答案】A【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（）A．3B．C．1D．【答案】BCD【分析】 先由题意判断点P在圆上，再联立直线方程使判别式解得参数范围，即得结果.【详解】点在直线上，，则，由图可知，中，，即点P在圆上，故联立方程，得，有判别式，即，解得，故A错误，BCD正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆与小圆相交于，两点，且两圆都与两坐标轴相切，则____【答案】【分析】由题意可知大圆与小圆都在第一象限，进而设圆的圆心为，待定系数得或，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆与小圆都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为，其方程为，将点或代入，解得或，所以，，可得，，所以．故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________． 【答案】【解析】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.8.（2018·全国高考真题（文））直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________【答案】【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由可得，所以圆心为，由可得，所以直线的斜率为，所以与直线垂直的直线的斜率为，所以所求直线的方程为：，即， 故答案为：.10.（2020·浙江省高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．【答案】【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案为：练提升TIDHNEG1．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即. 故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得 ，CD选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆，则下列说法正确的是（）A．圆的半径为B．圆截轴所得的弦长为C．圆上的点到直线的最小距离为D．圆与圆相离【答案】BC【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为，故选项B正确；对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是_______.【答案】【分析】求出圆的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由可得， 因此圆的圆心为，半径为1，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，只需点到直线的距离，即，所以，解得，所以的取值范围是，故答案为：.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为________．【答案】【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线被圆截得的弦长为，所以，圆心到直线的距离，即，解得．设直线的倾斜角为，则，则．因此，直线的倾斜角为．故答案为：．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O:x2+y2=4，以A(1,)为切点作圆O的切线l1，点B是直线l1上异于点A的一个动点，过点B作直线l1的垂线l2，若l2与圆O交于D，E两点，则AED面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得，到直线的距离等于到的距离，因此，设到距离为，把面积用表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，，所以，因此到直线的距离等于到的距离， ，过点作直线的垂线，垂足为，记，则弦，设三角形的面积为，所以，将视为的函数，则当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数有最大值，当时取到最大值，，故面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知的三个顶点的坐标满足如下条件：向量，，，则的取值范围是________【答案】【分析】先求出点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆.过原点O作此圆的切线，切点分别为M、N，如图所示，连接，，得到.所以，，即得解.【详解】由题得所以点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆.过原点O作此圆的切线，切点分别为M、N，如图所示，连接，，则向量与的夹角的范围是. 由图可知.∵，由知，∴，.∴.故的取值范围为.故答案为：8．（2021·全国高三专题练习）已知x、，时，求的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是【分析】根据表示圆，设表示关于原点、x轴、y轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】的图形是圆，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设，由式子的对称性得知的图形是关于原点、x轴、y轴均对称的正方形．如图所示：当b变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上， 问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b的最值问题．当时，正方形与圆没有公共点；当时，正方形与圆相交于点，若令直线与圆相切，则，解得，所以当时，正方形与圆相切；当时，正方形与圆没有公共点，故的最小值是1，最大值是．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知的内切圆的圆心在轴正半轴上，半径为，直线截圆所得的弦长为.（1）求圆方程；（2）若点的坐标为，求直线和的斜率；（3）若，两点在轴上移动，且，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）设的内切圆的圆心，先求得圆心到直线的距离，再根据直线截圆所得的弦长为求解；（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，易知不成立；当直线和的斜率存在时，设直线方程为，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据，设，进而得到直线AC和直线BC的斜率，写出直线AC和BC的方程，联立求得点C的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设的内切圆的圆心，圆心到直线的距离为，又因为直线截圆所得的弦长为，所以， 解得，所以圆方程；（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，则圆心到直线的距离，不成立，当直线和的斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离，解得；（3）因为，设，所以直线AC的斜率为：，同理直线BC的斜率为：，所以直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，由，解得，即，又，当时，点C的纵坐标取得最小值，所以面积的最小值..10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方 （1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）设出圆心坐标，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出的值（注意范围），则圆的方程可求；（2）当直线的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得坐标的韦达定理形式，根据结合韦达定理可求点的坐标.【详解】解：（1）设圆心，∵圆心在的上方，∴，即，∵直线：，半径为2的圆与相切，∴，即，解得：或（舍去），则圆方程为；（2）当直线轴，则轴平分，当直线的斜率存在时，设的方程为，，，，由得，，所以，若轴平分，则，即， 整理得：，即，解得：，当点，能使得总成立．练真题TIDHNEG1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A．充分没必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要条件【答案】C【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则A．B．C．D．【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（） A．B．C．D．【答案】D【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解【详解】由于是圆，即：圆其中圆心为，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即，，，那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.