数学一轮复习专题9.5 抛物线 （新教材新高考）（练）教师版

专题9.5抛物线练基础1.（2020·全国高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2B．3C．6D．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4yB．y2＝4xC．x2＝8yD．y2＝8x【答案】D【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为，又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，故选：D.3.（全国高考真题）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的性质可得，故选D.4．（2020·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A．B．C．D． 【答案】B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵抛物线的准线方程为，垂直于x轴．而圆垂直于x轴的一条切线为，则，即．故抛物线的方程为．故选：C．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线与抛物线相交于，两点，当时，则弦中点到轴距离的最小值为______.【答案】【解析】 由题意，抛物线的焦点坐标为（0，），根据抛物线的定义如图，所求d=故答案为：．8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且直线AB的倾斜角为，则线段AB的长是____，焦点F到A，B两点的距离之积为_________.【答案】88【分析】由题意可得直线AB的方程为，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得，则直线AB的方程为，设，由，得，所以，所以， 因为，所以，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点的距离为，则的值为__________；抛物线方程为__________.【答案】答案见解析答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得的值，根据点在抛物线上可得的值.【详解】根据点在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为（），此时准线方程为，由抛物线定义知，解得.所以抛物线方程为，这时将代入方程得.当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为（），从知准线方程为，由题意知，解此方程组得，，，，综合（1）、（2）得，；，；，；，；，.故答案为：，，，，；，，，， .10.（2019·广东高三月考（理））已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.若，求的值；点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，可得，设，联立方程组，整理得，则，，又由.（2）由题意，知，，，由，可得又，，则，整理得，解得，所以直线的方程为.练提升TIDHNEG1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【分析】 设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，则，，取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，设，因为，所以，所以，解得：，设，由焦半径公式得：，所以，， 所以，所以点到直线的距离为.3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】过点作于，因为，由抛物线的定义得，所以在中，，所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为（） A．B．C．1D．2【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为，又直线经过的焦点，设直线，由得，设，则由题意可得：，同理，所以.故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（）A．双曲线的离心率为2B．双曲线的渐近线为C．D．点P到抛物线的焦点的距离为4【答案】ACD【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A、B、C的正误，根据所得抛物线方程求，即知D的正误.【详解】 双曲线的离心率为，故A正确；双曲线的渐近线为，故B错误；由有相同焦点，即，即，故C正确；抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确．故选：ACD．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A．当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是B．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程为C．抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围(-12，0)【答案】ACD【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A；根据渐近线方程与焦点坐标求出即可判断B；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C；利用双曲线离心率公式即可判断D．【详解】对A选项，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点为，则过点且焦点在y轴上的抛物线的标准方程设为，将点代入可得，所以，故A正确；对B选项，知，又，解得，所以双曲线的标准方程为，故B错；对C选项，得，所以准线方程，正确；对D选项，化双曲线方程为，所以，解得，故正确． 故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为______．【答案】【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得，易知当，，三点共线时取得最小值且为，进而可得结果.【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，知点到焦点的距离与点到准线的距离相等，即，所以，易知当，，三点共线时，取得最小值，所以，此时点的坐标为．故答案为：8．（2021·全国高二课时练习）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.【答案】【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，.由余弦定理得.又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值为.故答案为：．9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.【答案】9【解析】抛物线：的焦点．过作准线交准线于，过作准线交准线于，过作准线交准线于， 则由抛物线的定义可得．再根据为线段的中点，，∴，故答案为：焦点坐标是，．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线：的焦点为，抛物线过点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为，准线的方程为；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由，得，所以抛物线的标准方程为，准线的方程为.（Ⅱ）根据题意直线的斜率一定存在，又焦点，设过点的直线方程为，联立，得，.设，，则，. ∴.由得，，过，的抛物线的切线方程分别为，即，两式相加，得，化简，得，即，所以，两条切线交于点，该点显然在抛物线的准线：上.练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（）A．1B．2C．D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3 【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）．A．经过点B．经过点C．平行于直线D．垂直于直线【答案】B【解析】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为， 为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.【答案】【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛物线：()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为故答案为：.5．（2020·山东海南省高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．【答案】【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得 所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：6．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；（Ⅱ）设，由，，由在抛物线上，所以，又，，，.由即，所以，，，所以，的最大值为，此时.法2：设直线，.将直线的方程代入椭圆得：，所以点的纵坐标为. 将直线的方程代入抛物线得：，所以，解得，因此，由解得，所以当时，取到最大值为.