辽宁省实验中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

辽宁省实验高中高二年级10月月考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.以上都不对2.已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A.B.C.D.3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（）A.B.C.D.4.已知直线，互相垂直，则实数的值为（）A.B.或C.D.或5.正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最大值为（    ）. A.－8B.C.D.16.若点是直线：外一点，则方程表示（）A.过点且与平行的直线B.过点且与垂直的直线C.不过点且与平行的直线D.不过点且与垂直的直线7.在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点，使得，则正实数最小值是　　A.B.3C.D.8.已知正方体的棱长为为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间四点，则下列说法正确的是（）A.B.C.点到直线的距离为D.四点共面10.已知直线，则下列表述正确的是（）A.当时，直线的倾斜角为45°B.当实数变化时，直线恒过点C.当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1D.原点到直线的距离最大值为 11.在棱长为2的正方体中，，分别是线段，上的点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积是B.线段的长的取值范围是C.若，分别是线段，中点，则与平面所成的角为D.若，分别是线段，的中点，则与直线所成的角为12.如图，点是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下不正确的是（）A.当在平面BCC1B1上运动时，四棱锥的体积不变B.当在线段上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是C.使直线与平面ABCD所成的角为45°的点的轨迹长度为D.若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF平面B1CD1时，PF长度的最小值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，若向量与平行，则______．14.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为______ 15.已知，则的最小值为______16.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是______四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知直线与直线交于点.求：（1）过点且垂直于直线的直线的一般式方程；（2）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般式方程.18.如图，己知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是的中点． （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.已知直线的方程为：．（1）求证：不论为何值，直线必过定点；（2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．20.如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且．（1）证明：；（2）在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值.21.如图，在三棱柱中，，四边形是菱形，，点D在棱上，且． （1）若，证明：平面平面ABD．（2）若，是否存在实数，使得平面与平面ABD所成角余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22.如图，菱形边长为2，，E为AB的中点.将沿DE折起，使A到达，连接，，得到四棱锥.（1）证明：；（2）当二面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.辽宁省实验高中高二年级10月月考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标，逐项判断作答. 【详解】由，，，知，即，B错误；又，因此，同理，AD错误，C正确.故选：C2.已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出直线过的定点，利用数形结合方法求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围.【详解】直线，由，解得，即直线过定点，设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，显然直线的斜率为，直线的斜率为，由于直线经过点，且与线段总有公共点，则，即，又，于是，因此或， 所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：D3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.【详解】，，，，，，.故选：A.4.已知直线，互相垂直，则实数的值为（）A.B.或C.D.或 【答案】A【解析】【分析】根据两一般式直线相互垂直求的值，注意验证求得的值是否满足直线方程.【详解】因为直线，互相垂直，所以，所以或，当，直线不存在，故.故选：A5.正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最大值为（    ）.A.－8B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果.【详解】取的中点M，连接，则，则，即，故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球.由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为，即动点P的轨迹为正方体的外接球.取的中点N，连接，则.由题可知，，则，，则.所以的最D值为， 故选：B.6.若点是直线：外一点，则方程表示（）A.过点且与平行的直线B.过点且与垂直的直线C.不过点且与平行的直线D.不过点且与垂直的直线【答案】C【解析】【分析】易知点的坐标不在直线上，根据两直线方程的一般形式中的系数相同，但不同，可得直线平行；【详解】∵点不在直线：上，∴，∴直线不过点，又直线与直线：平行，故选：C.7.在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点，使得，则正实数的最小值是　　A.B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】设，由结合两点间的距离公式，得到关于的一元二次方程，利用判别式可解出的范围，取其最小的正值即可． 详解】解：设，由得化简得，，解得或（舍，易知时，．故的最小值为．故选：．【点睛】本题考查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养，属于基础题．8.已知正方体棱长为为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，根据二面角的空间向量坐标公式表达平面与平面和平面所成的角，再化简结合的取值范围求解即可.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为3，则，，，设，则，，由正方体的性质可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量，设平面的法向量，则，即， 取，则，，故，又平面与平面和平面所成的角相等，故，即，故，即，.①当，即时，因为，所以，又，则，，此时.②当，即时，因为，所以，又，故，此时，故当时取最小值.综上的最小值为.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间四点，则下列说法正确的是（）A.B.C.点到直线的距离为D.四点共面【答案】BD【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示公式、夹角公式，结合四点共面的性质、点到线距离公式逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此本选项不正确；B：因为，所以，因此本选项正确；C：，，所以所以点到直线的距离为，因此本选项不正确；D：因为，所以有，因此是共线向量，所以四点共面，因此本选项正确，故选：BD10.已知直线，则下列表述正确的是（）A.当时，直线倾斜角为45°B.当实数变化时，直线恒过点C.当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1D.原点到直线的距离最大值为【答案】ABD【解析】【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；C选项，由题可得 ，后由平行直线距离公式可判断选项；D选项，根据直线恒过点判断即可.【详解】A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为45°，故A正确；B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确；C选项，因直线与直线平行，则，解得，则直线方程为：，即.则与直线之间的距离为，故C错误；D选项，因为直线恒过点，故原点到直线的距离，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ABD11.在棱长为2的正方体中，，分别是线段，上的点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积是B.线段的长的取值范围是C.若，分别是线段，的中点，则与平面所成的角为D.若，分别是线段，的中点，则与直线所成的角为【答案】AC【解析】【分析】以为坐标原点，以的方向为正方向建立空间直角坐标系，对于,利用得到平面，从而故点到平面的距离等价于点到平面的距离,近一步转化即可求出三棱锥的体积； 对于设出点的坐标，利用空间中两点间的距离公式计算出，通过化简，求出的最小值即可；对于,求得平面的法向量，利用公式，即可求得；对于，求出，得到的大小即可.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：因为棱长为2，所以,,对于,则所以,又平面,平面，所以平面，又点,故点到平面的距离等价于点到平面的距离,所以,故正确；对于,设则，故及时，， 故错误；对于,若，分别是线段，的中点，则,,取平面的法向量，设为与平面所成的角，则所以，即与平面所成的角为，故错误；对于,若，分别是线段，的中点，则,，则,则，则即与直线所成的角为，故正确.故选：12.如图，点是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下不正确的是（）A.当在平面BCC1B1上运动时，四棱锥的体积不变B.当在线段上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是C.使直线与平面ABCD所成的角为45°的点的轨迹长度为D.若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF平面B1CD1时，PF长度的最小值是【答案】CD【解析】分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断； C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可【详解】A选项，底面正方形的面积不变，到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，A选项正确:B选项，与所成角即与所成，当在端点时，所成角最小，为，当在中点时，所成角最大为，故B选项正确；C选项，由于在正方体表面，的轨迹为对角线，，以及以为圆心2为半径的圆弧如图，故的轨迹长度为，C选项错误；D选项，所在的平面为如图所示正六边形，该正六边形的六个顶点分别为对应边的中点，设中点为，中点为，此时当为中点时取最小值，此时，为等腰三角形，故，故D选项错误.故选：CD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，若向量与平行，则______．【答案】或【解析】【分析】先求出和的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算即可．【详解】由，，则，，又向量与平行，即存在使得成立，则有，解得或．故答案为：或．14.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为______【答案】【解析】【分析】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离即可.【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，，，故， 则设，的夹角为，则，故，则点P到AB的距离为.故答案为：15.已知，则的最小值为______【答案】【解析】【分析】由两点距离公式可将转化为到，的距离和，先求得关于直线的对称点，则即为距离和的最小值，由距离公式求即可.【详解】，设在直线上，点，，则，，则, 如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长，设，则，解得，即，故，所以，故答案为：16.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是______【答案】【解析】 【分析】根据给定的几何体，确定出球心O的位置，求出球半径，再建立空间直角坐标系求出点O到直线距离，进而求出最小截面圆半径作答.【详解】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接，因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆，从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图，取中点M，连接，因为，则，显然，又平面，则平面，而平面，平面，即有，平面，则平面，平面与平面有公共点，显然平面与平面为同一平面，有，而，，在直角梯形中，过作于I，，球O的半径，过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系， 则，，由已知得，即，，，则点到直线的距离有：,球被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心到平面的距离最大，即为点到直线的距离，截得的最小截面圆半径为，而，则，所以截得的截面圆面积的最小值是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线与直线交于点.求：（1）过点且垂直于直线的直线的一般式方程；（2）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般式方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）联立已知直线方程，得交点的坐标，根据直线垂直于直线设直线的方程，代入点坐标即可得的方程； （2）根据直线在两坐标轴上的截距互为相反，讨论直线过原点和截距不为零的情况分别求得直线的方程即可.【小问1详解】联立，解得，所以.由于直线垂直于直线则可设直线的方程为，代入点的坐标，得.所以直线的一般式方程为.【小问2详解】解：当直线过坐标原点时，直线的斜率此时直线的方程为，即；当直线不过坐标原点时，由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数则可设直线的方程为，代入点的坐标，得，所以直线的方程为，即.综上所述，直线的一般式方程为或.18.如图，己知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是的中点． （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，计算各点坐标，计算平面的法向量，由，即可证明；（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案.小问1详解】以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，由，分别是的中点，可得：，∴，设平面的的法向量为，则有：，令，则，∴，又平面，∴平面.【小问2详解】 设平面的的法向量为，又则有：，令，则，所以又，设直线与平面所成角为，∴，∴求直线与平面所成的角的正弦值为.19.已知直线的方程为：．（1）求证：不论为何值，直线必过定点；（2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点；（2）先令令，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可.【小问1详解】证明：直线的方程为：提参整理可得：．令，可得， 不论为何值，直线必过定点.【小问2详解】设直线的方程为．令则，令．则，直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．当且仅当，即时，三角形面积最小．此时的方程为．20.如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且．（1）证明：；（2）在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明；（2）根据四点共面、线面垂直等求出点的坐标，再利用空间向量坐标运算即可求得二面角 的平面角的正弦值.【小问1详解】因为，、都垂直平面，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，则，所以，则，故；【小问2详解】设平面的法向量为，则，令，则设，则，由于平面，所以，则，所以，即，又平面，故存在实数，且满足，使得，故，解得，所以设平面的法向量为，又 则，令，则设平面的法向量为，又则，令，则，所以，所以则二面角的平面角的正弦值为.21.如图，在三棱柱中，，四边形是菱形，，点D在棱上，且．（1）若，证明：平面平面ABD．（2）若，是否存在实数，使得平面与平面ABD所成角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在或【解析】【分析】(1)取AB的中点O，连接，OC，利用题中的条件得出AB⊥平面，由线面垂直得到线线垂直，最后结合面面垂直的判定即可求解； (2)根据条件建立空间直角坐标系，设，根据坐标之间的关系得出，然后分别求出两平面的法向量，根据两平面所成角的余弦值是，代入向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：取AB的中点O，连接，OC．因为四边形是菱形，且，所以．因为O为AB的中点，所以．因为，且O为AB的中点，所以AB⊥OC．因为，平面，且，所以AB⊥平面．因为平面，所以．因为，AB，平面ABD．且，所以平面ABD．因为平面，所以平面平面ABD．【小问2详解】因为，所以，所以AC⊥BC．因为O是AB的中点，所以．因为四边形是菱形，且∠，所以是等边三角形．因为O是AB的中点，所以．因为，所以，则OB，OC，两两垂直，故以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，，故，，，，.因为，所以，所以．设平面的法向量为，则，令，得．设平面ABD的法向量为，则，令，得．设平面与平面ABD所成的角为，则，解得或，故存在或，使得平面与平面ABD所成角的余弦值是．22.如图，菱形的边长为2，，E为AB的中点.将沿DE折起，使A到达，连接，，得到四棱锥.（1）证明：； （2）当二面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直即可得线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角求解线面角，结合基本不等式即可求解最值.【小问1详解】在菱形中，因为为的中点，，所以，在翻折过程中，恒有，，又，平面，所以平面，而平面，所以.【小问2详解】由（1）知为二面角的平面角，记其为，则，以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，,设平面的法向量，则，得令，得，，则.令，，得.， 当且仅当时，等号成立.设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.