辽宁省滨城高中联盟2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高二10月份考试数学试卷考试时间：120分钟满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，则下列向量中与平行的是（）A．B．C．D．2．设，向量，，，且，，则（）A．B．C．3D．43．已知平面，的法向量分别为，，则（）A．B．C．，相交但不垂直D．，的位置关系不确定4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥成为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（）A．2B．C．D．15．已知，，，，则点D到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．6．在正四棱锥中，，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为（） A．B．C．D．7．如图，设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角的平面角，则（）A．，B．，C．，D．，8．如图，已知等边三角形ABC的边长为4，M，N分别是AB，AC的中点，沿MN将折起，当直线AB与平面BCNM所成的角最大时，线段AB的长度为（）A．B．C．D．二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，．下列结论正确的有（） A．B．C．是平面ABCD的一个法向量D．10．已知向量，，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．不存在实数，使得D．若，则11．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段上的动点，则（）A．两条异面直线和所成的角为45°B．存在点P，使得平面BEPC．对任意点P，平面平面BEPD．点到直线的距离为412．如图，在菱形ABCD中，，将沿BD折起，使顶点A至点M．在折起的过程中，下列结论中正确的是（）A．B．存在一个位置，使为等边三角形C．DM与BC不可能垂直D．直线DM与平面BCD所成角的最大值为60°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中，16题第一空3分，第二空2分． 13．已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是______．14．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a，b，c及棱间交角，，（合称为“晶胞参数”）来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为______．15．二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并垂直于棱l，若，，，，则平面与平面的夹角为______．16．已知三棱锥，PA，PB，PC的长分别为1，2，3，且PA，PB，PC两两夹角均为60°，G是三棱锥的重心，即，过点G作平面，与直线PA，PB，PC分别相交于D，E，F三点，且，，，则______，PG的长度为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．其中，17题10分，其他题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知空间直角坐标系中的三点，，．（1）若，且，求向量的坐标；（2）已知向量与互相垂直，求k的值；（3）求点B到直线AC的距离．18．如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC，M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点 P在线段AN上，且，．（1）用向量，，表示；（2）求．19．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F．（1）求证：平面BDE；（2）若平面BCP与平面BDP的夹角为，求点F到平面BCD的距离．20．如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）．（1）证明：平面POB；（2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 21．如图，四棱锥中，底面四边形PCBM是直角梯形，，，，，，，，直线AM与PC所成的角为60°．（1）求证：平面平面ABC；（2）点Q为线段MB上一点，若二面角的大小为30°，求QB的长．22．如图，已知直三棱柱中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在直线上，且．（1）求证：无论取何值，总有；（2）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？求该角取最大值时的正弦值；（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的角为30°？若存在，试确认点P的位置；若不存在，请说明理由． 滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高二10月份考试数学试卷答案一、选择题1．B2．C3．C4．D5．A6．C7．B由最小角定理可知，又由题意可得是正三棱锥，则二面角与二面角的大小相等，由最大角定理可得，故选B．8．B因为等边三角形ABC是对称图形，分别取MN，BC的中点E，F，连接EF，则．以E为坐标原点，分别以EM，EF所在直线为x轴、y轴，过点E作z轴垂直于底面MBCN，如图所示建立空间直角坐标系．由题设知，记，则，，平面MBCN的一个法向量．设直线AB与平面MBCN所成的角为，则令，则． ．当且仅当时，取等号，此时，，．故．二．选择题9．ABC∵，∴，即，A正确；∵，∴，即，B正确；∵，，且，平面ABCD，∴平面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，C正确；由是平面ABCD的法向量可得，D错误．10．AC对于A中，由，可得，解得，故A正确；对于B中，由，可得，解得，故B错误；对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C正确；对于D中，若，则，解得于是，故D错误．11．BCD对于A，由正方体的性质可得，两条异面直线和所成角即为，故A错误；对于B，当点P与点重合时，由题知，，，，∴，，四边形是平行四边形，∴，∵平面BEP，平面BEP，∴平面ABCD，故B正确； 对于C，连接CF，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又，，，，∴，∴，∵CE，相交，CF，平面，∴平面，由平面BEP，∴对任意点P，平面平面BEP，故C正确；对于D，由正方体的性质得，，，∴，∴，∴点到直线的距离为，故D正确．12．ABD对于A，与相交于点O，在翻折过程中，AO始终与BD垂直，因此．又，由线面垂直的判定定理，可得平面CMO，因此，故A正确；对于B，已知，若为等边三角形，则．设菱形ABCD的边长为2，因为，则，即， 又，所以，即二面角的平面角的余弦值为时，为等边三角形，故B正确；对于C，如图，设N为BC的中点，，当时，平面BCD，所以，又，则平面DMN，则，故C错误；对于D，当平面BCD，直线DM与平面BCD所成的角最大，为，易知，故D正确．三、填空题13．14．15．16．4；由，可得，因为G，D，E，F四点共面，所以根据共面定理的推论可得．由，得，所以．四、解答题17．（1），因为，所以，然后根据，可得，所以或；（2），，得；（3）设在上的投影向量的模长，则所求距离． 18．（1），∴（2），∴，∴，∴19．（1）证明：连接AC交于点G，连接GE，∵E是PC的中点，∴，平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．（2）设，以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面BCP的法向量为，由得，同理，由，，由得，由平面BCP与平面BDP的夹角为， ，解得，∴，．设，，又，∴，，∴，又平面ABCD，平面BCD的法向量，又，则点F到平面BCD的距离．20．（1）证明：连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点，∴四边形ABED为菱形，∴，∴，，即，，且，平面POB，平面POB，∴平面PBO．（2）由（1）可知四边形ABCD为菱形，∴，在等腰梯形ABCD中，∴正三角形，∴，同理．∵，∴，∴．由（1）可知，，O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，，，∴，，，设，，设平面AEQ的一个法向量为，则，即，取得，，得，所以， 设直线PC与平面AEQ所成角为，，则，即，化简得，解得．即Q为线段PB中点．21．（1）证明：∵，，，∴平面ABC．又平面PAC，∴平面平面ABC．（2）在平面ABC内，过C作x轴⊥CB，建立空间直角坐标系（如图）．由题意有，设，则，，，由直线AM与直线PC所成的角为60°，得，即，得，所以．由直角梯形PCBM可知，则可设，由题意得，，设平面ACQ的一个法向量为，则，取，得．平面ABC的法向量取，则，解得（负值舍去），则． 22．（1）证法1：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，因为，所以无论取何值，总有．证法2：同上建系，，，因为，所以，因为，所以，所以平面，因为平面，所以无论取何值，总有．本题第一问号方法较多，其他方法请酌情给分，一问满分4分．（2）是平面ABC的一个法向量，，所以当时，取到最大值，此时角也最大．（3）假设存在点P满足条件．易知．设是平面PMN的一个法向量，则，所以，取，得， ，化简得，