辽宁省实验中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期第一次月考高一数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.命题“”的否定是A.B.C.D.3.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（）A.充分条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要条件4.已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（）A.17B.－1C.17或－1D.－17或15.已知集合，则（）A.B.C.D.6.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.则满足不等式解集是（）AB.C.D.7.已知正实数满足，则的最小值为（）A.B.C.D. 8.已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（）A18B.12C.9D.16二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，集合，下列关系正确的是（）A.B.C.D.10.使，成立的充分不必要条件可以是（）A.B.C.D.11.生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）A.若，，则与的大小关系随m的变化而变化B.若，，则C.若，，则D.若，，则一定有12.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B..C.的最小值为1D.的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，若，则实数_________.14.已知关于方程组的解都为正数，则实数的取值范围为_________.15.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为， 三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为_________.16.设，若时均有，则_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，，．（1）求集合和；（2）若全集，求．18.（1）已知，其中为实数，求证：中至少有一个为正数；（2）求证：.19.设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根.（1）若，求值；（2）求的最大值.20.第19届亚运会于2023年9月23日拉开帷幕，为了保障交通安全畅通，杭州交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？（2）若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？21.已知，且.（1）求最小值；（2）求的最小值. 22.已知不等式的解集为.（1）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围；（2）解关于的不等式：. 辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期第一次月考高一数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由交集定义求解即可.【详解】因为集合，，则.故选：B.2.命题“”的否定是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确.故选A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.3.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（）A.充分条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义及题意即可判断. 【详解】由题意，“有志”不一定“能至”，但是“能至”一定“有志”，所以“有志”是“能至”的必要条件.故选：D4.已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（）A.17B.－1C.17或－1D.－17或1【答案】B【解析】【分析】根据题意设出方程的两个实根分别为，用韦达定理表示出，结合方程有两实根条件，把问题转化为含参数的方程来解即可.【详解】设方程的两个实根分别为，则.由方程的这两个实数根的平方和比两个根的积大21得：，，解得：或，又方程有两个实数根，，得，故选：B5.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解两个集合中的分式不等式和绝对值不等式，得到这两个集合，再求并集.【详解】不等式等价于或， 解得或，则或，不等式等价于或，解得或，则或，所以.故选：D6.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.则满足不等式解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，结合高斯函数的定义即可得到结果.【详解】因为，所以，因为表示不超过的最大整数，所以，故不等式解集是.故选：B7.已知正实数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件得到，设得到，再利用基本不等式性质求解即可.【详解】因为正实数满足，所以，因为，所以，即.设， 所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：C8.已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（）A.18B.12C.9D.16【答案】C【解析】【分析】由二次函数的最小值得到，结合韦达定理表达出，从而求出答案.【详解】因为的最小值为0，故，即，由题意得与是的两个根，设，，由韦达定理得，因为，所以，将代入上式得，解得.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，集合，下列关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】由两个集合中元素的特征，判断两个集合的关系和元素与集合的关系.【详解】点在函数图像上，有，A选项正确；集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误； 函数的值域为，则，，C选项正确；集合B为点集，，D选项错误.故选：AC.10.使，成立的充分不必要条件可以是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.【详解】由可得的集合是，A.由，所以是成立的一个必要不充分条件；B.由，所以是成立的一个充分不必要条件；C.由=，所以是成立的一个充要条件；D.由Ü，所以是成立的一个充分不必要条件；故选：BD.11.生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）A.若，，则与的大小关系随m的变化而变化B.若，，则C.若，，则D.若，，则一定有【答案】BCD【解析】【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D【详解】对于A，，， ，，故A错误，对于B，，，，，故B正确，对于C，，，，，，，故C正确，对于D，，，，，，故D正确，故选：BCD12.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B..C.的最小值为1D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】对于ABC：利用基本不等式分析判断；对于D：根据进行代换，结合二次函数分析判断.【详解】因为为正实数，且，对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1，故A错误；对于选项B：因为，当且仅当，即时，等号成立， 且，可得，故B正确；对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，故C错误；对于选项D：因为，则，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故D正确；故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，若，则实数_________.【答案】【解析】【分析】利用元素和集合的关系、集合的性质分析运算即可得解.【详解】解：由题意，∵集合，∴由集合中元素的互异性可知：，可得：且.又∵，∴或，解得：或（舍去）.综上知，实数.故答案为：.14.已知关于的方程组的解都为正数，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可;【详解】解这个方程组的解为：， 由题意，得，则原不等式组的解集为.故答案为：.15.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为_________.【答案】48【解析】【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：48.16.设，若时均有，则_________.【答案】##0.75【解析】【分析】分和两种情况讨论，结合函数图象，列出方程求解，即可确定的取值.【详解】①当时，，显然不满足题意；②当时，构造函数，，它们都经过定点，考查函数，令，得，所以，考查函数，显然过点，代入得， 解得，或（舍去），故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，，．（1）求集合和；（2）若全集，求．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）利用分式不等式和绝对值不等式解法可分别求出集合、；（2）求出集合，利用并集和补集的定义可求得集合.【小问1详解】解：，.【小问2详解】解：因为或，或，因此，或.18.（1）已知，其中为实数，求证：中至少有一个为正数；（2）求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用反证法，即可得到本题答案；（2）利用作差法，即可得到本题答案.【详解】（1）（反证法）假设中没有正数，即，则.而这与三个数没有正数矛盾，故假设错误，原命题正确；（2）（当且仅当时取等号）19.设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根.（1）若，求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理和已知条件求的值；（2）利用韦达定理化简算式，配方法求最大值.【小问1详解】方程有两个不相等实数根， 则有，解得，结合题意知：，，或，又，所以.【小问2详解】，由，所以当时，取最大值为10.20.第19届亚运会于2023年9月23日拉开帷幕，为了保障交通安全畅通，杭州交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？（2）若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？【答案】（1）35千米/时，12千辆/时（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式即可得解；（2）解不等式即可.【小问1详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号“=”成立，故当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时；【小问2详解】由及，可得，即，解得，即汽车的平均速度应在这个范围内.21.已知，且.（1）求的最小值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由不等式“1”的代换求解即可；（2）设，将所求式转化为，化简结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】因为，所以，当且仅当，且，即时等号成立，则的最小值为【小问2详解】 设，则且当且仅当，且，即时等号成立，即时等号成立，则的最小值为.22.已知不等式的解集为.（1）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围；（2）解关于的不等式：.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由已知结合二次函数性质及二次不等式的恒成立可求；（2）结合含参二次不等式的求法对进行分类讨论即可求解.【小问1详解】因为，原不等式等价于恒成立，且的解集为，故方程的2个根为2，3，故由韦达定理，所以， 所以恒成立，可得恒成立，所以，解得，则，即，故，所以，因为不等式有且仅有9个整数解，故，解得，所以的取值范围为；【小问2详解】1、当时，由（1）得时，，故，即：，①当时，原不等式解集为；②当时，原不等式解集为；③当时，原不等式解集为.2、当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为，由韦达定理：，所以，则恒成立，即恒成立，所以，解得，又，该不等式解集为，3、当时，，则无解.4、当时，，则. 综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为.