辽宁省辽东教学共同体2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

辽东教学共同体高二月考数学试卷（考试时间:120分钟，满分：150分）第I卷（60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意)1．已知空间点P，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ）A．B．C．D．2．已知向量，，且，则m=（    ）A．B．1C．D．23．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（    ）A．30°B．45°C．135°D．150°4．已知直线l经过点，而且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（    ）A．B．C．D．5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ）A．B．C．D．6．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ） A．B．C．4D．27．已知点P是棱长为4的正四面体表面上的动点，若MN是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是（    ）A．B．C．D．8.在四面体中，Q为△的重心，分别为侧棱上的点，若，，，PQ与平面交于点D，则（    ）A．B．C．D．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．已知直线的方程为，则（    ）A．点在上B．的倾斜角为C．的图象不过第一象限D．的一个方向向量为10．已知，，，则（    ）A．B．C．为钝角D．在方向上的投影向量为11．已知函数，设曲线在第一象限内的图像为，过点作斜率为的直线交于，过点作斜率为的直线交轴于，再过点作斜率为的直线交于，过点作斜率为的直线交轴于，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论，其中正确的是（    ）A．的长为 B．点的坐标为C．与的周长之比是D．在直线左侧有2023个三角形12.在棱长为1正方体中，点为线段上异于端点的动点，（    ）A．三角形面积的最小值为B．直线与所成角的余弦值的取值范围为C．二面角的正弦值的取值范围为D．过点做平面，使得正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的的取值范围为第II卷（非选择题）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13.在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的长为_______．14．已知三棱锥的体积为，，，，则二面角的大小为_______． 15.已知过点的直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为_______．16.如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线，若直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，则的长为_______．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)如图，在直棱柱中，，，点、、分别是、、的中点．  (1)求直线与直线所成角的大小；(2)求点到平面的距离．18．(本题满分12分)已知三角形的顶点、，．(1)求边上中线的长； (2)求边上中线所在直线的方程．(3)过A引直线l，若l被两坐标轴截得的线段中点为A，求直线l的方程．19．(本题满分12分)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，DA＝DB＝DC，∠BDC＝90°，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．  (1)求证：PQ∥平面BCD；(2)求PQ与平面BCM所成角的正弦值．20．(本题满分12分) 设直线l的方程为(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值.20．(本题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AD＝2，AB＝，E为CD的中点，PB⊥AE.(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若PB＝PD，PC与平面ABCD所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得BN⊥平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由． 20．(本题满分12分)如图，多面体中，，，为的中点，四边形为矩形.(1)证明：；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 高二月考数学试卷参考答案一、单项选择题1-4BACD5-8BCAA二、多项选择题9．BC10．BCD11．BCD12．AB三、填空题13．14．45°或135°15．16．1四、解答题17．解：（1）以为坐标原点、、、的方向为轴、轴、轴正方向建立如图的空间直角坐标系.  由题意可知,,,.故,………………………………………3分则，所以与所成角的大小为.………………………………………5分(2)设是平面的一个法向量,由（1）知，,,故由，得令，解得，故平面的一个法向量为，………………………………………8分又.设到平面的距离为,故所以到平面的距离为.………………………………………10分18．解：（1）设边的中点为，由的三个顶点，得， 所以边上中线的长为；.………………………………………3分（2）由（1）知，边上的中线所在直线的斜率，所以直线的方程为：，即；.………………………………………7分（3）设l与两坐标轴交于，则，解得，所以直线l的方程为：，即..………………………………………12分19．解：（1）过P作PS∥MD，交BD于S，过Q作QR∥MD，交CD于R，连接RS，  ∵PS∥MD，P是BM的中点，∴S是BD的中点，且PS＝MD，∵QR∥MD，AQ＝3QC，M是AD的中点，∴QR＝＝，∴QR∥PS，且QR＝PS，∴四边形PQRS为平行四边形，∴PQ∥SR，…………………………4分∵PQ⊄平面BCD，SR⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD．..………………………………………6分（2）以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设DA＝DB＝DC＝4，则，则，，，..………………………………………8分 设平面BCM的一个法向量为，则，取y＝1，得，..………………………………………10分设PQ与平面BCM所成角为，则＝．..……………………………12分20．解：（1）证明：直线的方程为整理可得：．令，可得，故不论为何值，直线必过定点.………………………………………3分（2）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为，故，解得，可得直线l的方程为:综上所述，直线l的方程为或...……………………………7分（3）由题意知，令，解得，解得；令，解得，解得或.综上有.所以，当且仅当，即时取等号故面积的最小值是6.………………………………………12分 21．解：(1)证明：∵四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AB＝，BC＝2AD＝2，AB⊥BC，∴DC＝2，∠BCD＝，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝2，DB平分∠ADC.∵E为CD的中点，∴DE＝AD＝1，∴BD⊥AE，又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，∴AE⊥平面PBD.∵AE⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD....……………………………4分(2)存在．在平面PBD内作PO⊥BD于O，连接OC.∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，∴PO⊥平面ABCD，...……………………………5分∴PO⊥OC，∴∠PCO即为PC与平面ABCD所成的角，则∠PCO＝.∵PB＝PD，PO⊥BD，∴O为BD的中点，OC⊥BD.易得OP＝OC＝，...……………………………6分以O为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)，∴＝(0，，－)，＝(－1，0，－)．假设在侧面PCD内存在点N，使得BN⊥平面PCD，设＝λ＋μ(λ，μ≥0，λ＋μ≤1)，易得N(－λ，μ，－(λ＋μ－1))，∴＝(－λ－1，μ，－(λ＋μ－1))．由即解得满足题意，所以存在点N，使得BN⊥平面PCD...……………………………10分且N(，，)，＝,所以点N到直线PD的距离为 .………………………………12分22．解：（1）四边形为矩形，，又，为中点，；平面，，平面，，平面，又平面，，，，平面，平面，又平面，..………………………………5分（2）由，，，；由（1）知：平面，（当且仅当时取等号），即时，三棱锥的体积最大，.………………………………7分又为中点，；则以为坐标原点，的方向为轴正方向可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，， 由（1）知：平面，平面的一个法向量为；设平面的法向量，则，令，解得：，，，.………………………………10分由图形可知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为..………………………………12分