山东省德州市2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

高二数学试题2023.4．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-3页，第II卷3-6页，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第I卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.已知函数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义可得.【详解】因，所以，，故选：A2.在等差数列中，，，则（）A.14B.12C.10D.8【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求解，代入即可得出结论.【详解】由，，又为等差数列， 得，，解得，则；故选：D.3.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：x（单位：℃）171410y（单位：度）21a3440由表中数据得线性回归方程：．则a的值为（）．A.20B.22C.25D.28【答案】C【解析】【分析】根据样本点中心必在回归直线上，列式求解.【详解】由表格数据可知，，样本点中心必在回归直线上，所以，所以，解得：.故选：C4.已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（）A.85B.64C.84D.21【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质，即可计算求解.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，，得，， 所以.故选：A5.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A.的极大值为，极小值为B.的极大值为，极小值为C.的极大值为，极小值为D.的极大值为，极小值为【答案】D【解析】【分析】根据题意先判断导数的符号，进而确定原函数的单调性和极值.【详解】当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；故三次函数在上单调递增，在上单调递减，可得的极大值为，极小值为.故选：D.6.已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，则转化得到在上单调递增，将题目转化为在上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设,因为对任意两个不等的正实数,都有,所以,即,构造函数,则,所以在上单调递增，所以在上恒成立,即在上恒成立,设,则，所以当时,单调递增，时,单调递减，所以，所以.故选：D.7.中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可.【详解】记第层有个球，则，，，，结合高阶等差数列的概念知，，，，，则第层的小球个数：．故选：.8.设函数的定义域为D，且其图象上所有点均在直线的上方，则称函数为“函数”，若函数的定义域为，且为“函数”，则实数t的最大整数值为（）A.B.C.1D.2【答案】B【解析】【分析】由新定义可得恒成立，即恒成立，利用导数求函数的最小值，可得t的最大整数值.【详解】因为函数的定义域为，且为“函数”，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，设，则， 令，则，所以在上单调递增，又，，所以存在使得，所以当时，，函数上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数取最小值，最小值为，且，所以，故函数的最小值为，又，所以，故t的最大整数值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列命题正确的是（）A.回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点B.在回归直线方程中，变量与x正相关C.变量x，y样本相关系数越大，表示它们的线性相关性越强D.在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好【答案】BC【解析】 【分析】根据变量之间相关关系的有关概念，回归直线的特征，回归分析中相关系数和线性相关性的关系，残差平方和和模型的拟合效果的关系即可判断．【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，但可以不经过任何一个样本点，A错误；对于B，在回归直线方程中，，所以变量与x正相关，B正确；对于C，变量x，y的样本相关系数越大，越靠近，表示它们的线性相关性越强，C正确；对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误．故选：BC．10.已知，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】移项可得，，根据函数的单调性可得，再根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假．【详解】由题可得，，设，，所以，即函数在上递增，所以由可得：．对于A，由函数在上递减，所以当时，，A错误；对于B，易知函数在上递增，所以当时，，即，B正确；对于C，当时，若，则，C错误；对于D，因为函数在上递增，所以当时，，D正确．故选：BD．11.斐波那契数列又称黄金分割数列，斐波那契数列满足：，，记 ，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由赋值法得值可判断A项，由递推关系式等量代换可证明B项，运用累加法可判断C项，运用裂项相消法求和可判断D项.【详解】对于A项，因为，，，所以，，，，故A项正确；对于B项，因为，所以当时，，故B项正确；对于C项，因为，所以，所以，，，…，，由累加法得：，又因为，所以，即：，故C项错误；对于D项，因为，，，所以，故D项正确. 故选：ABD.12.已知函数，下列说法正确的是（）A.若为单调递减函数，则B.当或时，有且仅有一个极值点C.当时，图象与x轴相切D.当或时，有且仅有一个零点【答案】ACD【解析】【分析】求出函数的导数，由恒成立判断A；举例说明判断B；求出函数的零点，并求出在该点处的切线方程判断C；求出函数只有一个零点的m范围判断D作答.【详解】函数的定义域为，求导得，对于A，由为单调递减函数，得，令，求导得，当时，递增，当时，递减，则当时，，于是，解得，A正确；对于B，由选项A知，当时，为单调递减函数，无极值点，B错误；对于C，当时，，显然，，且，因此函数的图象在点处的切线为，为x轴，C正确；对于D，由，得，令，求导得，当时，，函数在上单调递增，而当时，，当时，，，因此函数仅只一个零点；当时，，递增，函数值集合为，，递减，函数值集合为， 则当时，，函数只有一个零点，当且仅当，解得，所以当或时，有且仅有一个零点，D正确.故选：ACD第II卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数在处的切线方程为，则实数a=___________．【答案】1【解析】【分析】运用导数几何意义列方程求解即可.【详解】因为，所以，由题意知，，所以故答案为：1.14.写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式：___________．①；②单调递增．【答案】（符合此种形式即可）【解析】【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案.【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为，由性质①可得：，即，再根据②可知，公差，显然（）满足题意. 故答案为：（符合此种形式即可）15.如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知为直角顶点，设，，，…，构成数列，令，为数列的前n项和，则___________．【答案】8【解析】【分析】先根据勾股定理得到，然后得到，利用裂项求和可得.【详解】由题意：因，故，所以，，，所以.故答案为：8.16.已知函数，其中．若，则的最大值为 _______；若方程有且只有1个实根，则实数t的取值范围为___________．【答案】①.2②.【解析】【分析】在区间内求导，求出极大值，再根据时画出函数图象，对“只有一个解作出几何解释”，据此求出t的范围.【详解】当时，时：，当时，，单调递减，当时，单调递增，并且；所以，在时，；当时，，即，时，；当时，，由于当时，，函数的大致图象如下：欲使得只有一个解，则必须，即，设，则，单调递减，又；故答案为：2；.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知函数，是函数的一个极值点．（1）求实数a的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值为15，最小值为 【解析】【分析】（1）根据已知条件可得可求得a的值并检验即可.（2）运用导数求在上的极值并与、比较大小即可.【小问1详解】由题意知，，由是极值点，得，故，经检验：成立.故a的值为1.【小问2详解】由（1）知，，所以，令，当时，，则单调递减．当时，，则单调递增．当时，，则单调递减．又，，，所以在上最大值为15，最小值为．18.为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”． （1）求实数a的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；（2）完成下列列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．优秀非优秀合计男女10合计附：，其中．0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），250（人）（2）填表见解析；没有【解析】【分析】（1）根据频率和为1求得，进而根据频率估计成绩优秀的人数；（2）根据题意结合分层抽样完善列联表，求，并与临界值对比分析.【小问1详解】由题意可得：，解得，样本中成绩优秀的频率为：，以样本估计总体，全校1000名学生中成绩优秀的人数为：（人）.【小问2详解】由题意，采用分层抽样，男生抽取人数人，女生抽取人，且样本中优秀的人数为人，故列联表如下：优秀非优秀合计男153045 女104555合计2575100可得，因为，故没有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关19.已知数列满足，．（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列落入区间的所有项的和．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用等比数列的定义证明结论，从而可求出的通项公式，（2）解不等式，即得的范围，再利用分组求和求解.【小问1详解】由得，又，所以所以是首项，公比为的等比数列，所以【小问2详解】由题意，即，解得：，即， 故落入区间项为，所以其和.20.在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策．月份12345销售量（万斤）4.95.86.88.310.237.21181.1374该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：．表中：，．（1）根据所给数据与回归模型，求关于回归方程（的值精确到0.1，的值精确到整数位）；（2）已知该工厂的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小．参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．【答案】（1）（2）6月份的月利润最小【解析】【分析】（1）根据最小二乘法公式分别求得，即可.（2）利用基本不等式求函数最值.【小问1详解】由题意，，令得所以，，所以y关于x的回归方程为【小问2详解】由（1）知，故当且仅当即时等号成立．所以该工厂6月份的月利润最小．21.已知数列是以为首项的常数列，为数列的前n项和．（1）求； （2）设正整数，其中．例如：，则，；，则，．若，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合等比数列求和公式运算求解；（2）根据题意可得，利用分组求和结合错位相减法运算求解.【小问1详解】由题意可得：，则，可得，可知数列是以首项，公比的等比数列，所以.【小问2详解】因为则由题意，所以，可得，（i）先求数列的前n项和，记之为，则① ②①②得：，所以；（ⅱ）再求的前n项和，记之为，则；综上所述：.22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点和，求证：在处的切线斜率恒为正数．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的定义域以及导数，按照，分类讨论即可求出；（2）方法一：根据零点定义可得，，再利用函数可得，然后放缩可得，，即有，从而证出；方法二：由（1）知，欲证，即证，再利用极值偏移的一般方法，对称化构造，设，即可证出．【小问1详解】由题可知，，当时，，所以，从而在上单调递增；当时，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】由（1）知有两个零点，则，方法一：由，不妨设，因此，化简得．令，所以在上单调递增．所以当时，即取，则，即为，所以，即，因而得，而，因而在处切线斜率恒为正．方法二： 欲证，即因为，．所以，．所以即证，即．因为在上单调递减，在上单调递增．所以不妨设，故有，，所以．因为在上单调递增．所以即证．又因为．所以即证．设，，因为，所以在上单调递减．对任意有，所以恒成立．所以．故成立，所以在处的切线斜率恒为正数．【点睛】本题第一问是利用导数求解含参函数的单调区间问题，第二问通过转化，即为极值偏移问题，利用极值偏移的基本方法即可解决，所以对于导数问题要善于利用转化思想将未知问题转为熟悉的问题，从而得解．