山东省德州市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷4-6页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】，，所以.故选：D.2.已知函数，则（）A.3B.6C.9D.12【答案】C 【解析】【分析】由分段函数的表达式，代入即可求解.【详解】由，所以.故选：C【点睛】本题考查了对数式的运算性质、分段函数求函数值，属于基础题.3.“”是“为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】为奇函数，此式子对于定义域内的任意皆成立，必有则故“”是“为奇函数”的充分不必要条件,正确.故选：4.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性可得，根据指数函数和幂函数的单调性可得，从而可求解. 【详解】因为，又，所以.故选：C5.如果等比数列的前项和，则常数（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】求出，通过列方程求解.【详解】解：由已知，，，因为数列为等比数列，则，，解得.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的概念及应用，是基础题.6.定义在上的偶函数满足，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可判断是以4为周期的周期函数，即可利用周期性和奇偶性求解.【详解】由为偶函数且得，所以是以4为周期的周期函数，所以，故选：D.7.随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名 学生进行问卷调查，得到如下数据（，）支持不支持男生女生通过计算有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为（）附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.15B.65C.16D.66【答案】D【解析】【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可.【详解】因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以，即，因为函数在时单调递增，且，，，所以的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为.故选：D.8.任给两个正数x，y，使得不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】首先参变分离为，再构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求解.【详解】不等式恒成立，整理为恒成立，设，，，令，得，当，，当，，所以函数单调递减区间是，单调递增区间是，函数的最小值，所以，得.故选：A二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若正实数a，b满足，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断B；由题意可得，再利用基本不等式中“1”的等量代换即可判断C；将两边平方，再利用作差法即可判断D.【详解】对于A，当时，满足，故A错误；对于B，由，得，所以或（舍去）， 所以，当且仅当时，取等号，故B正确；对于C，由，得，则，当且仅当，即时，取等号，故C正确；对于D，由，得，则，当且仅当时，取等号，所以，故D正确.故选：BCD.10.已知函数，，下列说法正确的是（）A.若是偶函数，则B.单调减区间是C.的值域是D.当时，函数有两个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据偶函数的定义即可判断A，根据复合函数的单调性即可判断B，由函数的单调性即可判断C,由函数的值域即可判断D.【详解】对于A，若是偶函数，定义域为，对于任意的，由，所以，所以，A正确，对于B,由复合而成， 由于在单调递减，开口向上的二次函数在单调递增，所以由复合函数单调性的判断可知的单调减区间是，B正确，对于C，由B可知，的单调减区间是，单调增区间为，故当时，取最大值，故，故值域为，故C错误，对于D，由C可知值域为，如图：当时，此时，所以有两个交点，故D正确，故选：ABD11.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列2，4进行构造，第1次得到数列2，6，4；第2次得到数列2，8，6，10，4；…；第次得到数列2，，，，⋯，，4.记，则（）A.B.为偶数C.D.【答案】ACD【解析】【分析】通过计算求出，，，的值，并且归纳出每一项与前一项的关系，以及的变化，从而运用归纳法得到，之间的关系，以及之间的关系，利用累加法可得，逐项判断即可得答案. 【详解】由题意得：，此时，此时，则，不为偶数，故B不正确；，此时，故A正确；，此时归纳可得，此时，故C正确；则，，，……，累加可得所以，则，即，故D正确.故选：ACD.12.定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（）A.在处取得极小值B.有两个零点C.若，恒成立，则D.若，，，，则【答案】AD【解析】【分析】首先根据题意构造，结合，求得；对于A，通过导数与函数极值点的关系求解即可；对于B，令直接求解即可；对于C，通过研究函数在的单调性与最值情况即可；对于D，先大致研究函数图像变化趋势，假设，并假设正确，通过转化，从而证明与0的关系，进而证明原不等式正确即可. 【详解】因为，所以，令，则，所以设，所以，又因为，所以；对于A，因为，所以，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值，故A正确；对于B，令，得，所以有一个零点，故B错误；对于C，因为在单调递增，所以时，，所以，故C错误；对于D，因为在单调递减，在单调递增，且唯一零点为，当时，且，所以若，，，，可以设，假设正确，下证明，即证，因为，在单调递减，所以即证，即证，构造， 则，因为，所以，，，则，所以在上单调递增，所以，即得证，原式成立，故D正确.故选：AD【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用问题.要利用导数这一工具来研究函数的相关性质，通过函数的单调性、极值与最值等性质从而求解选项答案.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，，若，则的值为______.【答案】##【解析】【分析】由题知，进而根据集合关系求解即可.【详解】由得，所以或，解得或，因为，所以.故答案为：14.已知，，且，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据对数运算法则，结合基本不等式求解即可.【详解】因为，，所以，即，当且仅当，即时等号成立，所以， 即最大值为.故答案为：15.若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，则______.【答案】【解析】【分析】设公切线与相切于，与相切于，根据公切线斜率为以及点在函数图像上列出方程求解.【详解】因为，，则，，设公切线与相切于，与相切于，则，，解得，，所以，，所以切线方程为，即，又在切线上，所以，所以.故答案为：16.已知数列满足，，，，则______；设，其中表示不超过的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的最小值为______【答案】①.29②.2022【解析】【分析】根据数列满足，，，，递推求得，再由，变形为，得到是等比数列，再由，利用累加法求得，进而求得求解. 【详解】因为数列满足，，，，所以，由，得，则是以2为首项，以3为公比的等比数列，所以，则，，则，所以，所以，因为，所以n的最小值为2022.故答案为：29；2022四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题：“，使得不等式成立”是真命题.（1）求实数m的取值集合A；（2）设不等式的解集为B，若是的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分离参数得，利用二次函数的图象与性质即可得到答案； （2）因式分解得，设，证明出，从而得到的解集，则得到不等式，解出即可.【小问1详解】由，使得不等式成立，所以因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，当时，，所以，.【小问2详解】由可得.设，令，，单调递递减，，，单调递增，，所以，所以从而或，因为是的充分条件，则，则，即；实数的取值范围是.18.已知.（1）若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（2）设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据在区间上单调递减，转化为在区间恒成立求解；（2）根据函数在上有两个零点，转化为在上有两个不等的实根，令，利用根的分布求解.【小问1详解】解：因为在区间上单调递减，所以在区间恒成立.即区间恒成立，即，即在上恒成立，易知在上单调递增，当时，，所以，即.【小问2详解】函数在上有两个零点，即在上有两个不等的实根.即在上有两个不等实根，令，则，解得. 19.已知数列是等差数列，其前n和为，，，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）数列满足求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量相关运算直接得到的通项公式，结合已知等式令得到第二个等式，两式相减并验证的情况得到的通项公式；（2）先写出通项公式，再结合裂项相消法、等比公式求和公式，运用分组求和的方法求解答案.【小问1详解】设等差数列的首项为，公差为d，因为，，所以，即，解得，所以①当时，②，可得，，，所以，当时，适合， 所以【小问2详解】由（1）可得，n为奇数时，，n为偶数时，.20.已知函数，.（1）若是的极值点，求函数的极值；（2）若时，恒有成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为（2）【解析】【分析】（1）利用极值点与导数的联系，结合导数与单调性的关系即可求解；（2）将恒成立问题参变分离转化为（），通过导数研究右侧函数最值即可求出实数a的范围.【小问1详解】，因为是的极值点，所以，所以，所以 当或时，；当时，.所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.所以极大值，极小值为【小问2详解】若时，恒有恒成立，即，即，因为，所以，令，则，则时，，时，所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，所以.所以a取值范围为【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用.利用导数可以很好的求解函数的相关性质，恒成立问题常转化为函数最值问题，通过导数研究函数最值从而求出参数范围.21.2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图， 并计算得：，，，，.（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；（2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润年销售额年投入成本）参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值【解析】【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值．【小问1详解】令，则y关于u的线性回归方程为， 由题意可得，，则，所以，y关于x的回归方程为.【小问2详解】由可得，年利润，当时，年利润M取得最大值，此时，所以，当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值22.已知函数，.（1）当时，判断的零点个数；（2）若恒成立，求实数a的值.【答案】（1）的零点个数为0（2）【解析】【分析】（1）求导得函数的单调性，即可由单调性求解最值，进而可判断，（2）将问题转化为，构造函数和，，利用导数求解函数的单调性，分类讨论并结合零点存在性定理即可求解.【小问1详解】 当时，，则，当，，函数在上单调递增，当，，函数在上单调递减，所以，所以的零点个数为0.【小问2详解】不等式，即为，设，，则，设，，当时，，可得，则单调递增，此时当而当时，，故不满足题意；当时，由，单调递增，当x无限趋近0时，无限趋近于负数a，当x无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点，即，则，，当时，，可得，单调递减；当时，，可得，单调递增，所以， 因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以因为恒成立，即恒成立，令，，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即又由恒成立，则，所以.【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．