山东省德州市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

高一数学试题2023.7本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—3页，第Ⅱ卷4—6页，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.复平面内复数所对应的点为，则（）A.B.2C.D.1【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何含义以及复数模长的定义计算即可.【详解】因为复数所对应的点为，所以，所以，所以.故选：B.2.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（）A.B.C.D.5【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度.【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测法则知，，，所以.故选：C3.第七次全国人口普查数据显示，德州市各区县常住人口数据如下图所示，则这些区县的人口数据的分位数为（）A.43.86B.48.8C.55.92D.52.36【答案】D【解析】【分析】利用百分位数计算方法求解即可.【详解】把德州市各区县常住人口数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，因为，所以第百分位数为数据从小到大排列的第、两个数的平均数，即.故选：D4.如图所示正八边形为正八边形的中心，且，则下列选项正确的是（） A.B.在上的投影的数量为C.D.【答案】C【解析】【分析】A选项，根据向量相等的定义判断；B选项，根据向量投影的数量公式计算；C选项，计算，的模长然后比较即可；D选项，根据数量积的定义计算.【详解】如图所示的正八边形被过的线段分成八个全等的等腰三角形，每个顶角均为.A选项，根据相等向量定义，应该是，A选项错误；B选项，由图所示，的夹角含有三个等腰三角形的顶角，故为，于是在上的投影的数量为，B选项错误；C选项，，连接，则等腰直角三角形，故，又，故，C选项正确；D选项，结合图形可知的夹角为，根据数量积的定义，，D选项错误.故选：C 5.若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由正切的二倍角公式代入化简，即可求得，从而得到结果.【详解】因为，化简可得，即，且，则.故选：D6.长方体中，，则二面角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取中点，连接、，则即为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解即可. 【详解】取中点，连接、，因为，，所以，，所以即为二面角的平面角，连接，因为长方体中，，所以，，所以，又因为，在中，，所以二面角的余弦值为，故选：A.7.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可.【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种，个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种，共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为.故选：B8.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可.【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高.因为，所以，所以，设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，所以，所以小球的体积为.故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数B.甲种的样本方差大于乙种的样本方差C.甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数D.甲乙两种水稻近五年的总方差为【答案】ACD【解析】【分析】计算平均数判断A，根据方差判断B，计算百分位数判断C，计算总方差判断D.【详解】对于A，，，正确；对于B，因为甲、乙平均值都为，所以，，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误；对于C，，故甲种样本的分位数为，乙种样本的分位数为，所以甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数，正确；对于D，甲乙两种水稻近五年的总方差为0.072， 故甲乙两种水稻近五年的总方差为，正确.故选：ACD10.设函数在区间恰有两个零点，则可能是（）A.B.2C.D.【答案】BCD【解析】【分析】由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出的范围，从而可求得结果.【详解】由，得，因为在区间恰有两个零点，所以，解得，所以BCD选项符合题意，故选：BCD11.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（）A.与是互斥事件B.与互为对立事件C.发生的概率为D.与相互独立【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件，对立事件相互独立事件的定义结合古典概型注意判断即可.【详解】由题意，不放回的随机取两次，共有种情况， 共个基本事件，共个基本事件，故，故C正确；显然事件与有交事件，不是互斥事件，故A错误；共个基本事件，故，共个基本事件，所以与互为对立事件，故B正确；事件共个基本事件，所以，所以与相互独立，故D正确.故选：BCD.12.如图（1）所示，和都是直角三角形，，如图（2）所示，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接，下列说法正确的是（）A.平面B.与平面的夹角的正弦值为C.三棱锥外接球的表面积为 D.点到平面的距离为【答案】AC【解析】【分析】A:由线面垂直性质定理可得答案;B：首先找到线面所成角，在求得其正弦值；C：首先确定球心，然后求得半径，可得其表面积；D:首先确定点到平面的距离所在位置，即可求得答案.【详解】因为平面平面，平面平面，为直角三角形，，∴平面，平面，为直角三角形，，平面,∴平面.故选项A正确.取中点，连接，因为平面平面，平面平面，平面,平面,即为与平面所成角即与平面的夹角的正弦值为故选项B错误. 取中点，连接，则又平面,，易知为外心，则三棱锥外接球球心在直线上,又，则为外心，为三棱锥的外接球球心∴外接球半径，则三棱锥外接球表面积故选项C正确.由于平面，平面,所以平面平面，过点作于，平面,∴即为点到平面，点到平面的距离为故选项D错误.综上，选项AC正确第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知是单位向量，且，则向量与的夹角为________________．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积求解向量夹角即可.【详解】设向量与的夹角为，则， 代入，解得：又，所以向量与的夹角为.故答案为：.14.如图，平面为正方形，且，分别是线段的中点，则异面直线与所成的角为______.【答案】##【解析】【分析】取AD的中点G，连接FG，EG，则，可得或其补角就是异面直线与所成的角，然后在中由余弦定理可得答案.【详解】如图，取AD的中点G，分别连接FG，EG，AF，则，通过异面直线所成角的性质可知或其补角就是异面直线与所成的角.设，则，，因为面，面，则，则， ，在中，由余弦定理得，又，所以，故异面直线与所成的角为.故答案为：15.如图所示是某电路子模块，位置1，2，3随机接入3个电子元件，不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响．当1号位置正常工作，同时2号位与3号位中至少有一个位置正常工作，该电路子模块才能正常工作．若电子元件正常工作的概率分别为0.6，0.7，0.8当接入电子元件后，则该电路子模块能正常工作的概率最大值是________________．【答案】0.704【解析】【分析】根据题意，可知正常工作的概率最大的电子元件C在1号位置时，电路子模块能正常工作的概率最大，再由相互独立事件概率的乘法公式求解即可.【详解】由题意，当正常工作的概率最大的电子元件C在1号位置时，电路子模块能正常工作的概率最大，且不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响，由相互独立事件概率公式，得，故答案为：0.70416.已知正方体棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________________．【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得球与侧面的交线为一段圆弧，即可得到结果. 【详解】取中点，中点，中点，中点，由题意可得，，，在平面内取一点，使得，则，且，所以以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心，为半径的圆弧，且，则，则圆弧的长为.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.先后抛郑一枚质地均匀的骰子，第一次抛郑的点数记为，第二次抛郑的点数记为．（1）求的概率；（2）求的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）表示出样本空间，然后筛选出的样本空间点，计算概率即可；（2）筛选出的样本空间点，计算概率即可；【小问1详解】由题意可知，数组表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间共有36个样本点． 记事件“”为，则，所以，从而；【小问2详解】记事件“”为，则，所以，从而．18.已知.（1）求函数的最小正周期和对称中心；（2）当时，求函数的最值.【答案】（1），（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】，所以函数f(x)的最小正周期；令得，所以函数的对称中心为 ；【小问2详解】因为，所以，所以，则，所以当或时，即或时，，当，即时，.即函数的最大值为，最小值为.19.某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求第七组的频率；（2）用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．【答案】（1）（2）102分（3）.【解析】 【分析】（1）根据各组的频率和为1求解即可；（2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解；（3）利用分层抽样的定义结合已知条件求出从的所抽取的人数，然后利用列举法求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图得第七组的频率为：；【小问2详解】用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：（分）；【小问3详解】由频率分步直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为，按照分层抽样抽取5人，则在分别抽取3人和2人，记这组三人的编号为这组两人的编号为，故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”则，共6种情况．故，即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为．20.如图：三棱台的六个顶点都在球的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，，和分别是边长为和的正三角形． （1）求三棱台的表面积；（2）计算球的体积．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）点分别是正和的中心，球的半径为，且三点共线，正三棱台的高为，在梯形中，由的长度求出的长度，即可求出侧面积从而求出表面积；（2）在中，，在中，，解出半径，根据球的体积公式即可求解.【小问1详解】如图设点分别是正和的中心，球的半径为，且三点共线，正三棱台的高为，在等边中，由，得， 同理，得，如下图，过点作，则在中，，，所以正三棱台的高为3，在直角梯形中，，所以，所以正三棱台的斜高为，正三棱台侧面积为，又因为正三棱台上下两底的面积之和为,所以正三棱台表面积为.【小问2详解】在中，，即，在中，，即，两式联立解得：，所以球的体积为：．21.从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．（1）求角的大小； （2）求取值范围；（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角结合辅助角公式化简，可得答案；选②，利用正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角三角函数关系化简，可得答案；选③，利用同角三角函数关系结合两角和的正弦公式化简，可得答案；（2）确定锐角中角A的范围，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦函数性质，即可求得答案；（3）确定；令，由正弦定理推出，结合余弦定理推得，利用三角形面积公式结合正弦函数最值，即可求得答案【小问1详解】若选①：由正弦定理得，即因为，所以，所以，整理得，又因为,则，所以若选②：因为，由正弦定理得，即，所以，由，得， 所以，即，因为，所以；若选③：因为，所以，即，又因为，所以又因为，所以，因为，所以；【小问2详解】在锐角中，由（1）得，，所以，由，所以所以的取值范围为.【小问3详解】当取得最大值时，，解得；在中，令， 则，所以；又，所以，所以．所以，而,故当时等号成立,所以面积的最大值为．【点睛】关键点睛：第三问求解三角形面积的最大值时，要利用面积公式表示出三角形面积，关键是要根据正余弦定理推得，继而结合正弦函数性质即可求解.22.已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．（1）请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；（2）求证：平面；（3）当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由． 【答案】（1）答案见解析，点为的中点；（2）证明见解析；（3）是定值，到平面距离为.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，依题意可得，即可得到，即可得解；（2）先证明，结合，利用线面垂直的判定定理即可得证；（3）先证明平面，又，则到平面的距离等于到平面的距离，再用等体积法求出点到面的距离.【小问1详解】如图，点为的中点，连接，由为中点，则，又，所以，所以四点共面，故平面与棱柱的截面为．【小问2详解】证明：因为在与中，，所以，又，所以，所以，，且平面，所以平面， 即平面；【小问3详解】由（2）知平面，又平面，所以，又，所以，又，且平面，所以平面，又，所以到平面的距离等于到平面的距离，所以，所以三棱锥的体积为定值．中，，所以，由，可得，所以点到平面的距离为．