上海市川沙中学2021-2022学年高三数学下学期期中试题（Word版附解析）

上海市川沙中学2021-2022学年高三下期中考试数学试卷一､填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，，则___________【答案】【解析】【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为，，所以.故答案为：.2.已知复数z满足：（为虚数单位），则___________.【答案】【解析】【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出，再根据复数模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，所以，所以故答案为：3.已知向量，，且，则___________.【答案】【解析】【分析】根据向量平行列方程，求得，进而求得【详解】由于，所以， 所以.故答案为：4.关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为，则_________.【答案】5【解析】【分析】根据二元一次函数的增广矩阵求得二元一次方程组，解得x，y，从而求得结果.【详解】由增广矩阵知二元一次方程组为，解得，故，故答案：55.某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的表面积(单位：)为___________．【答案】【解析】【分析】根据俯视图发现几何体底面为直角三角形，有一条棱与底面垂直，那么四个面都是直角三角形，画出几何体的直观图，求四个直角三角形面积之和即为表面积．【详解】该几何体的直观图如图所示，表面积为.故答案为：. 6.已知的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于_________．【答案】60【解析】【分析】首先根据条件求出，然后写出展开式的通项，然后可得答案.【详解】因为所有二项式系数的和等于64，所以，所以，所以展开式的通项为，令得，所以该展开式中常数项的值等于.故答案为：60.7.已知在单调递增，则实数的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】根据正弦函数的单调性求得正确答案.【详解】在上递增，在上递减.，当时，，由于在单调递增，所以， 所以的最大值是.故答案为：8.若满足约束条件，则的最小值为___________．【答案】.【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．【详解】解：画出，满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数过时，取得最小值，由，解得，所以的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．9.已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是___．【答案】（﹣7，3）【解析】 【详解】设x<0，则－x>0.∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，∴f(x)＝由f(x)＝5得或∴x＝5或x＝－5.观察图像可知由f(x)<5，得－5<x<5.∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3.∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．10.一个三位数，个位､十位､百位上的数字依次为，当且仅当且时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为___________.【答案】【解析】【分析】首先分析只能去3,4,5，然后分类讨论满足题意的凸数个数，最后相加即可.【详解】由题意可得只能去3,4,5，当时，凸数有132,231共2个；当时，凸数有142,241,143,341,243,342共6个；当时，凸数有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453共12个； 综上，共有20个凸数.故答案为：20【点睛】本题主要考查分类加法技术原理，在求解过程中要明确分类标准，在每一类里面的计算要注意不重不漏.11.在正方形中，O为对角线交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由向量的线性运算得的关系式，然后由基本不等式得最小值．【详解】由题意，，，因为在线段上，所以，，，所以，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 12.已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____【答案】【解析】【分析】方程在上恰有2021个零点，等价于存在，使在上恰有2021个交点，作出函数的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在之间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围.【详解】由函数在上的解析式作出如图所示图像，由知，函数是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，若使时，存在，方程在上恰有2021个零点，等价于在上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即时满足条件，且必须每个周期内均应使处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点，则当时，需使最后一个完整周期中的极小值， 即，解得，即当时，需使最后一个极大值，即，解得，即，综上所述，故答案为：【点睛】方法点睛：作出函数图像，数形结合将问题转化为函数交点问题，根据边界条件列出不等式组，从而求得参数取值范围.二､选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.若则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D【解析】【分析】由特殊值法，根据，，得到“”不是“”的充分条件；根据，，得到“”不是“”的必要条件，进而可得出结果.【详解】若，，满足，但不能推出；所以“”不是“”的充分条件；若，，满足，但不能推出；所以“”不是“”的必要条件；因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.14.下列命题为真命题是（）A.若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行 C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D.若直线l上不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理与判定定理、空间直线平面间的位置关系判断．【详解】A.若直线l与平面α上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线l与平面α不一定垂直，A错；B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B正确；C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两个平面可以相交，也可以平行，C错；D.若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，直线l与平面α可能相交也可能平行，D错．故选：B．15.若无穷等比数列各项的和为4，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据无穷等比数列各项的和为4，得到，求得，进而得到求解.【详解】因为无穷等比数列各项的和为4，所以，解得，所以， 由二次函数的性质得：，故选：D16.已知抛物线、的焦点都为，的准线方程为，的准线方程为，与相交于M、N两点，则直线MN的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义可以判定M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN的倾斜角为60°且经过原点.【详解】如图所示，根据抛物线的定义，可得M，N到直线的距离和到y轴的距离都等于到焦点的距离，故M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN是直线与y轴的角平分线上的点，由于直线是过原点且倾斜角为30°的直线，由图可知，直线MN的倾斜角为60°，且经过坐标原点，故直线MN的方程为,故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义，关键是利用抛物线的定义得到M,N直线的距离和到y轴的距离相等. 三､解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一周.（1）求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；（2）设，求异面直线与所成角的大小.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依题意旋转一周所得的几何体为大圆锥里面挖去一个小圆锥，根据圆锥的体积公式及侧面积公式计算可得；（2）取的中点，连接、，即可得到为异面直线与所成的角，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】解：在等腰直角中，所以，又点是的中点，所以，所以，所以旋转一周所得旋转体的体积；表面积.【小问2详解】解：如图取的中点，连接、，因为点是的中点，所以，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 因为，所以，在中由余弦定理，即，解得，所以，即异面直线与所成角为.18.已知函数，将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图象.（1）当时，求的值域；（2）已知锐角的内角的对边分别为，，，若，，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据正弦函数图像变换得，再求上的值域即可；（2）根据，为锐角三角形，得，再由，，根据余弦定理解决即可.【小问1详解】由题知，函数，将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的，得到，再向左平移个单位，得到，然后向上平移个单位，得到，由于，所以，所以，所以所以函数的值域为；【小问2详解】由题知，函数，，为锐角三角形所以，因为，，所以由余弦定理，即， 所以，所以，所以的面积为.19.已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收人为万美元，且（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万部）的函数解析式（利润=销售收入成本）；（2）当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）（2）年产量为32万部时，利润最大，最大利润为6104万美元【解析】【分析】（1）分段分别求出利润与的函数解析式，再写出分段函数的形式即可；（2）当时，利用二次函数性质求的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者大小，即可得到的最大值.【小问1详解】当时，，当时，，∴．【小问2详解】①当时，， ∴当时，，②当时，，当且仅当，即时，等号成立，即当时，，综上所述，当时，取得最大值为6104万美元，即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．20.已知椭圆上有两点及，直线与椭圆交于A、B两点，与线段交于点C（异于P、Q）．（1）当且时，求直线的方程；（2）当时，求四边形面积的取值范围；（3）记直线、、、的斜率依次为、、、，当且线段的中点M在直线上时，计算的值，并证明：．【答案】（1）（2）（3），证明见解析【解析】【分析】（1）设，根据求解；（2）设直线的方程是，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得，再由直线与线段PQ相交，得到b的范围，然后由，由求解；（3）设直线的方程是，与椭圆方程联立，由AB的中点坐标是 ，由，结合韦达定理解得求解.【小问1详解】解：设，则，因为，所以，解得，所以直线的方程是，即；【小问2详解】设直线的方程是，与椭圆方程联立得，则，因为线与线段PQ相交，所以，解得，因为，则，所以，且，所以四边形的面积是，所以以四边形的面积的范围是；【小问3详解】设直线的方程是，与椭圆方程联立得，设则，线段AB的中点坐标是，由题意得， 即，因为，所以，即，即，解得（舍去）或，当时，，，因，因为，由基本不等式得成立.21.已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ~k”数列．（1）若等差数列是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）根据定义得，再根据和项与通项关系化简得 ，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，即得；（3）根据定义得，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）（2），（3）假设存在三个不同的数列为数列.或或∵对于给定的，存在三个不同的数列为数列，且或有两个不等的正根. 可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设.①当时，，即，此时，，满足题意.②当时，，即，此时，，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.