上海市延安中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

上海市延安中学2021-2022学年高二下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.在空间直角坐标系中，过作平面的垂线，为垂足，则点坐标为__．【答案】【解析】【分析】空间中点在平面的投影坐标取即可.【详解】在空间直角坐标系中，点，过作平面的垂线，为垂足，则．故答案为：2.在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程是________.【答案】【解析】【分析】利用，可得出普通方程【详解】由（为参数），即由，可得：故答案为：【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程，属于基础题.3.是椭圆上的动点，作轴，为垂足，则中点的轨迹方程为_________． 【答案】【解析】【分析】设点的坐标为，可得出点，设的中点为，利用中点坐标公式可得出，可得，代入等式化简可得中点的轨迹方程.【详解】设点的坐标为，则，由于轴，为垂足，则，设的中点为，则，可得，将代入等式可得，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.4.已知等差数列前三项分别为，则这个数列的通项公式为__ 【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质可求出，即可得出首项和公差，求出通项公式.【详解】∵等差数列的前三项分别为，∴，解得．∴，∴数列是以1为首项，4为公差的等差数列，．故答案：．5.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则______．【答案】【解析】【分析】由，得，利用向量坐标平行计算公式代入计算.【详解】由，得，所以，解得，，∴．故答案为：6.已知数列的前n项和公式，则其通项公式________.【答案】.【解析】【分析】利用关系式，当时，，当时，，即可求解.【详解】由题意，数列{an}的前n项和公式当时，，又由当时，，所以数列的通项公式为. 故答案为：7.用数学归纳法证明“”时，从“到”时，左边应增添的式子是__．【答案】【解析】【分析】左边应增添的式子是，整理得到答案.【详解】左边应增添的式子是故答案为：8.已知正方体的棱长为4，，点为的中点，则________．【答案】【解析】【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.因为正方体的棱长为4，，点为的中点，所以，，故． 故答案为：.9.在数列中，，，则通项公式______.【答案】【解析】【分析】利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和.【详解】因为，即则，，所以，即，又因为，所以， 故答案为：10.已知向量，若向量、、共面，则实数等于__．【答案】10【解析】【分析】根据向量共面得到，代入数据计算得到答案.【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得．所以，所以．故答案为：11.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆，若两定点的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为___________.【答案】.【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据，求得点的轨迹方程，结合圆的面积公式，即可求解.【详解】以原点，直线为轴建立平面直角坐标系，因为两定点的距离为3，可得，设，因为动点满足，可得，整理得，即，所以点的轨迹围成区域的面积为.故答案为：.12.对于数列，若存在正整数，使得对任意正整数，都有（其中为非零常数），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“ 类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为__．【答案】1090【解析】【分析】确定，数列从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计算得到答案.【详解】，故，由题意得数列从第二项起连续四项成等比数列，，则数列前21项的和为．故答案为：二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为(-2，-2)的点的极坐标是（）A（4，）B.（4，）C.（﹣4，﹣）D.（4，）【答案】B【解析】【分析】根据极坐标公式，求出ρ、θ即可．【详解】解：∵x=﹣2，y=﹣2；∴ρ==4；又x=ρcosθ=﹣2，∴cosθ=﹣=﹣，且θ为第三象限角，∴θ=；∴该点的极坐标为（4，）．故选：B．14.数列中，，，则（　　） A.32B.62C.63D.64【答案】C【解析】【分析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.【详解】数列中，，故，因为，故，故，所以，所以为等比数列，公比为，首项为.所以即，故，故选C.【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：（1），取倒数变形为；（2），变形为，也可以变形为；15.已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（）A.10B.11C.20D.21【答案】C【解析】【分析】由题结合等差数列的性质可得，，即可判断当时，的最大值.【详解】由等差数列的性质，知，又，∴和异号．∵数列的前项和有最大值，∴数列是递减的等差数列，∴，， ，，∴当时的最大值为20．故选：C.16.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可以求得向量夹角的余弦值，再根据向量夹角与异面直线夹角的关系可以求得异面直线夹角的余弦值.【详解】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.解：四面体是由正方体四个顶点构成的，如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为故选：C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，(为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与圆相切，求实数的值．【答案】．【解析】【分析】将圆的参数方程转化为直角坐标方程，将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】圆的参数方程为为参数），化为普通方程．直线的极坐标方程为，即，所以直角坐标方程．因为直线与圆相切，所以，解得．18.如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．（1）若中点为，证明：平面；（2）求点到平面距离．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，证明即可；（2）利用待定系数法求出平面的法向量，求出的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】解：（1）证明：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，因为，，的长度分别为1，2，2，且，则，，，，，又是的中点，所以，所以，由已知可得平面的一个法向量为，则，所以，又平面，所以平面；（2）解：设平面的法向量为，因为，，则有，即，令，则，，故，又， 所以点到平面的距离．【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，为的中点，为的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.【小问1详解】因为底面是菱形，，所以△为等边三角形，所以平分，所以，所以，又因为平面，所以，且，所以平面，又平面， 所以平面平面；【小问2详解】据题意，建立空间直角坐标系如图所示：因为，所以所以，设平面一个法向量为，平面一个法向量为，因为，，所以，取，所以，所以，又因为，，所以，取，则，所以，所以，由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为．20.如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且△ 是正三角形是坐标原点）．（1）求、、的值及数列的递推公式；（2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】（1），，；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）根据几何关系和抛物线的标准方程代入即可求解；（2）根据数学归纳法即可求解.【小问1详解】解：设，则，解得，所以，所以，设，则，解得，所以，所以，设，则，解得，所以，所以，设，所以，所以，整理得.【小问2详解】根据猜想. 下面用数学归纳法证明：①当时，猜想显然成立．②假设当时，猜想成立，即，则当时，因为，所以，即，解得不合题意，舍去）即当时，猜想也成立．由①②得对一切的猜想均成立．21.已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求使得成立的所有的值；（3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）所有的值为1，3，4；（3）.【解析】【分析】（1）利用等比数列公式计算得到，解得答案；（2）确定，，验证得到答案；（3）计算，，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】 设等比数列的公比为，则，整理得，解得，或（舍去），所以，所以；【小问2详解】由题可得，易得，当时，令，得，，所以，使得成立的所有的值为1，3，4；【小问3详解】由题可得，所以，所以，，两式相减得，所以．