上海市上海中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

上海市上海中学2021-2022学年高二下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.直线的倾斜角的大小为____．【答案】##60°．【解析】【分析】根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由得直线的倾斜角.【详解】由得，所以直线的斜率，设直线的倾斜角为且，由，解得.故答案为：．2.圆心为(1,2)且与直线相切的圆的方程为_____________．【答案】【解析】【分析】利用点到直线距离公式求出半径即可.【详解】因为圆与直线相切，所以圆心(1,2)到直线的距离等于半径，即，所以圆心为(1,2)且与直线相切的圆的方程为，故答案为：【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程，属于基础题.3.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是__．【答案】16【解析】【分析】分两位数不含0和含0两种情况，进行求解. 【详解】当两位数不含0时，有种；当这个两位数含有0时，只有4种情况，总的个数为．故答案为：164.直线与直线垂直，则__．【答案】3【解析】【分析】根据直线一般式垂直的充要条件列方程求解即可得的值.【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，解得．故答案为：3.5.对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．【答案】或【解析】【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．【详解】解：，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.6.用“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”这六个字可以组成__种不同的六字短语（不考虑短语的含义）.【答案】360【解析】 【分析】先将六个字全排列，再除以2即可.【详解】先将六个字进行排列，有种选择，由于六个字中有两个相同的“墩”，故均重复计算了一次，所以共有种不同的六字短语.故答案为：3607.在3月举行的“SBG”篮球赛中，8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是__．【答案】【解析】【分析】分2个强队都分在A组和都分在组两种情况讨论，结合古典概型运算求解.【详解】2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在组个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为；2个强队都分在组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为．因此，2个强队分在同一个组的概率为．故答案为：.8.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则__．【答案】##0.36【解析】【分析】黑球的个数为，通过从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，求出，然后求解记取出3个球中黑球的个数为，的概率得到分布列，然后求解期望与方差即可．【详解】解：设黑球的个数为，由得， 记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3；，，，则分布列如下：123所以，则．故答案为：.9.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为__．【答案】576【解析】【分析】先将甲丁捆绑，后与剩余3人排列，最后将乙丙插空排入不与甲相邻的位置，计算得到每步的方法，用分步计数原理相乘即可得出结果.【详解】可以分步完成：①甲丁捆绑后排序有种方法，②捆绑后的甲丁与另外的3人（不包含乙丙）排序，有种方法，③第②步完成后，有5个空位，去掉与甲相邻1个空位，将乙丙用插空法排入四个空位中，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法．故答案为：.10.已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是________．【答案】； 【解析】【详解】由于两点在以原点为圆心，为半径的圆上，若圆上至少存在一点，使得，则两圆有公共点，设圆心距为，，则，则，则的取值范围是.11.盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．【答案】##【解析】【分析】根据，由全概率公式计算可得结果.【详解】记事件：第一次抽取是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则；，；，，.故答案为：.12.在平面直角坐标系中，已知圆和圆，且圆和圆相交于两点，若在直线上存在一点，使得，则的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】求出两圆的圆心、半径.根据已知，可得在直线两侧或在直线上，进而即可得出的取值范围.【详解】由已知可得，圆的圆心，半径；圆的圆心为，半径.所以，. 因为两圆相交，所以，所以.若直线上存在一点，使得，所以在直线两侧或在直线上.当在直线两侧时，显然有成立.如图1，只需，即，所以，当在直线上时，如图2.此时由，可知，显然此时值最大.从而的取值范围是．故答案为：．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求得，，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，可得，，根据条件概率的计算公式，可得.故选：D.14.设，随机变量的分布列是012若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据分布列、期望、方差的定义列方程组，即可求出a、b、c.【详解】由分布列可知：.，，即 所以联立方程组得：，解得：故选：B【点睛】在离散型随机变量的分布列中，概率和为1.15.已知直线(、为非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）条A.66B.60C.52D.50【答案】B【解析】【分析】由已知求出圆上的整数点，然后分别分析直线与圆相切以及直线与圆相交两种情况，求出满足条件的直线条数，即可得出答案.【详解】由已知可得，直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点.而圆上的整数点共有12个，分别为，，，，，.当直线与圆相切时，显然切点为或时，不满足题意，此时满足条件的有8条；当直线与相交时，则可知过任意两点，构成条直线，其中垂直于轴直线的有4条，垂直于轴直线的有4条，根据圆上点的对称性，知过原点的直线有6条.故满足题设的直线有条．综上，满足题设的直线共有条.故选:B．16.已知方程有两个不等实根和，那么过点、的直线与圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.随值变化【答案】A 【解析】【分析】由根与系数的关系得到和，根据两点的坐标求出直线方程，再根据圆心到直线的距离求出距离与圆的半径大小进行比较可得答案.【详解】由和为方程的两个不等的实根，得，，又、，得到直线的斜率，线段的中点坐标为，所以直线，即，由圆，得圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离：，所以直线与圆位置关系是相交．故选：A．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程．【答案】或．【解析】【分析】先求出的倾斜角，根据两直线的夹角，求得的倾斜角，结合直线过点，可求得直线方程.【详解】由于直线的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线和直线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故直线的斜率不存在或斜率为．再根据直线经过点，得直线的方程为或，即或．18.现有一些小球和盒子，完成下面的问题．（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【答案】（1）256；（2）144.【解析】【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【小问1详解】4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有种不同的放法；【小问2详解】①将4个小球分为3组，有种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有种情况，则种不同的放法．19.在核酸检测中，“合1”混采核酸检测是指：先将个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．（1）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测． ①如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：②已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为．设是检测的总次数，求的分布和期望．（2）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设是检测的总次数，求的分布和期望，并比较与（1）中的大小．【答案】（1）①20次；②分布列见解析，（2）分布列见解析，，【解析】【分析】（1）①分析得到先检验10次，再由两名患者在同一组，检验10次，共20次；②求出的可能取值及对应的概率，得到分布列；（2）得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出期望，方法一：与直接比较出大小即可；方法二：先设“10合1”和“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率分别为，，则，得到和，从而比较出大小关系.此时有；而，所以．【小问1详解】①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查20次．②由题意得的可能取值为20，30．当时，两名患者在同一组，故，当时，两名患者不在同一组，故，从而得到分布列如下：2030 期望．【小问2详解】由题意得：采用“5合1”混采核酸检测，先检测20次，若两名感染患者在同一组，此时，若两名感染患者不在同一组，则．，．得分布列为2530故期望，法一：因为，所以．法二：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，则，此时有；而，所以．20.设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电.（1）假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；（2）若甲、乙、丙3个车间产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少?【答案】（1）；（2）甲车间，乙车间，丙车间． 【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理，可直接求解；（2）求出各种产量的数量，然后根据全概率公式求出次品率，然后根据条件概率求解即可.【小问1详解】第3次才抽到合格品的概率.【小问2详解】设“从一批产品中检查出1个次品”，“零件为甲车间加工”，“零件为乙车间加工”，“零件为丙车间加工”.则，且两两互斥.由题意可知，，，，，，.由全概率公式可得，.则该次品来自甲车间的概率，该次品来自乙车间的概率，该次品来自丙车间的概率.21.已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方．（1）求圆C的方程；（2）过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设出圆心，根据相切求出圆心即可得出方程；（2）设出直线方程，与圆方程联立，根据建立关系可求出.【小问1详解】设圆心，由题可得圆心到直线的距离，解得或（舍去），所以圆的方程为；【小问2详解】当直线轴，则轴必平分，此时可以为轴上任一点，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，设，由，可得，经检验，所以，若轴平分，则，即，整理得，即，解得，综上，存在点，使得x轴平分.