四川省资阳中学2021-2022学年高二数学理科下学期期中考试试题（Word版附解析）

资阳中学高2020级第四学期半期检测理科数学一、单选题（每小题5分，共60分）1.中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可．【详解】解：设双曲线的方程为．由已知得：，，再由，，双曲线的方程为：．故选：D．2.曲线在点处的切线方程为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用切点和斜率求得切线方程.【详解】由，有．曲线在点处的切线方程为，整理为．故选：A 3.已知随机变量服从正态分布，，则（）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【答案】A【解析】【分析】利用正态分布的性质即可得出结果.【详解】因为随机变量服从正态分布，，所以，.故选：A4.二项式的展开式中第3项为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题直接运用二项式的展开式的通项公式计算即可.【详解】解：∵二项式的展开式的通项公式为：，∴二项式的展开式中第项是：，故选：C【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，是简单题.5.函数的部分图象大致为（）AB. C.D.【答案】A【解析】【详解】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BC，又由时，，排除D，即可得答案．【解答】根据题意，函数，其定义域为，则有，则函数为奇函数，排除BC，当时，，排除D，故选：A6.年初，我国突发新冠肺炎疫情，面对“突发灾难”，举国上下齐心，在以习近平同志为核心的党中央的领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性.在此疫情期间，为分担“逆行者”的后顾之忧，某教育机构团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线免费辅导功课.现教育机构安排了位经验丰富的老师对小王、小李、小刘、小陈名学生进行功课辅导，假设每位老师至少辅导一位学生，且每名学生至多一名老师辅导，则不同的分配方案共有（）A.种B.种C.种D.种【答案】C【解析】【分析】将名学生先分为组，再将这组学生分配给位老师，利用分步乘法计数原理可求得不同的分配方案种数.【详解】将名学生先分为组，组学生人数分别为、、，分组方案数为，再将这组学生分配给位老师，有种， 因此，不同的分配方案种数为.故选：C.【点睛】本题考查人员的分配问题，一般先分组再排序，考查计算能力，属于中等题.7.设双曲线C：的左，右焦点分别是，，点M是C上的点，若是等腰直角三角形，则C的离心率是（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到或，进而得到，构造出关于的齐次式，解出答案.【详解】显然，或，不妨令，将代入双曲线方程，，解得：，由等腰直角三角形可得，则，方程两边同除以得：，解得：，因为，所以离心率为.故选：D8.下列命题中，真命题的是（）A.若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8B.若回归方程，则变量与正相关C.若随机变量服从正态分布，，则D.在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好【答案】A【解析】【分析】结合新样本数据的方差公式可判断A正确；由前系数可判断B正确；结合正态分 布对称性可求的值；相关指数越大，模拟效果越好.【详解】若样本数据的方差为2，则数据的方差为，A项正确；，，则变量y与x负相关，B项错误；因为X服从正态分布，，则，故C项错误；在线性回归分析中相关指数越大，则模型的拟合效果越好，故D项错误.故选：A9.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出导函数，只要在上有唯一零点即可得．【详解】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.故选：B．10.设抛物线的焦点为F，准线为，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作的垂线，垂足为，.若，且的面积为，则抛物线C的方程为（　　）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由题，设直线的方程为，，进而与抛物线方程联立得①，②，再结合得③，进而得，最后根据的面积求解即可得，进而得答案.【详解】解：由题知，，准线的方程为，因为，故直线斜率存在，设直线的方程为，，所以联立方程得，所以①，②因为，③，所以，由①②③得：，，即，因为的面积为，所以，即，所以，即抛物线C的方程为.故选：B 11.如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用线面垂直的向量证明方法可构造方程组求得点与重合，可知所求外接球即为长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线长的一半，由球的表面积公式可得结果.【详解】以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，设，，，，平面，，解得：，与重合，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球，外接球表面积.故选：B.12.已知函数，，若，t>0，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知， ，这样转化，利用导数求函数的最大值.【详解】由题意得，，，即，，易得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，又当x∈(-∞，0)时，f(x)<0，x∈(0，+∞)时，f(x)>0，作函数的图象如图所示.由图可知，当t>0时，有唯一解，故，且，∴.设，则，令解得t=e，易得在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，∴，即的最大值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形，，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数f(x)＝4lnx＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则a的值为________.【答案】1【解析】【详解】由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f′(x)＝＋2ax－6，∴f′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1，经验证符合题意.填1．14.2022年3月我市连续5天的日平均气温如下表所示：日期89101112平均气温（℃）20.521.521.52222.5由表中数据得这5天的日平均气温关于日期的线性回归方程为，据此预测3月16日我市的平均气温为______℃.【答案】24.3【解析】【分析】先求的平均数，利用回归直线经过样本中心点求出，然后数据可得答案.【详解】由题意得：，，故，，则3月16日成都市的平均气温为（℃），故答案为：24.315.位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点移动五次后位于点的概率是________．【答案】【解析】【分析】可判断出质点需向右移动次，向上移动次，从而利用二项分布求得概率.【详解】质点移动五次后，位于点处，则需向右移动次，向上移动次则所求概率本题正确结果：【点睛】本题考查二项分布的应用问题，属于基础题.16.设椭圆的左、右顶点分别为，，是椭圆上不同于， 的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取得最小值时，椭圆的离心率是______.【答案】【解析】【分析】设出的坐标,得到(用,表示)，求出，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求．【详解】解：，，设，，则，则，，，，令，则．，当时，函数取得最小值．．，故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、关键利用导数研究函数的单调性极值与最值．三、解答题（共70分）17.疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验. 若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在名受访者中，名接种灭活疫苗，剩余名接种核酸疫苗，根据临床试验数据绘制等高条形图如图所示.已知事件“名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为.（1）求等高条形图中的值；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：抗体情况灭活疫苗核酸疫苗总计抗体为阳性抗体为阴性总计100（3）判断能否有％把握认为两种疫苗的预防效果存在差异？参考公式：，其中【答案】（1）（2）列联表见解析（3）没有％的把握认为两种疫苗的预防效果存在差异【解析】【分析】（1）根据“名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率求得.（2）根据已知条件填写列联表. （3）计算出的值，由此作出判断.【小问1详解】依题意“名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为，所以.【小问2详解】列联表如下：抗体情况灭活疫苗核酸疫苗总计抗体为阳性抗体为阴性总计6040100【小问3详解】，所以没有％的把握认为两种疫苗的预防效果存在差异.18.已知函数在点（1，）处的切线方程为.（Ⅰ）求实数和的值；（Ⅱ）求在[1，3]上的最小值.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程即可求解；（Ⅱ）结合导数与单调性关系可先判断函数的单调性，进而可求最小值．【详解】解：（Ⅰ）因为所以，由题意可得，，解得，，，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 所以，因为，，易得，当，时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值也就是最小值【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的最值，属于基础题．19.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动为了了解学生在越野滑轮和早地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（1）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（2）现有一名早地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据组合数求出基本事件件数，利用古典概型求解即可；（2）写出离散型随机变量的可能取值，由超几何分布分别求对应概率，列出分布列，求出期望即可.【小问1详解】记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为种， 参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，所以；【小问2详解】的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所，故，，．的分布列为：012.20.如图1所示，四边形为梯形且，，为中点，，，现将平面沿折起，沿折起，使平面平面，且重合为点（如图2所示）．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】（1）易证，再由平面平面，得到平面ABCD，则，再由四边形BCDE是正方形，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）以E为原点，EA，EB，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的一个法向量，易知平面PAD的一个法向量为，然后由求解.【小问1详解】证明：因为，即PA=PD=，E为AD的中点，所以是等腰三角形，且，即，又因为平面平面，且平面平面=AD，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又因为，且，所以四边形NCDE为直角梯形，且DE=DC=1，所以四边形BCDE是正方形，所以，又因为，所以平面PBE，又因为平面PBC，所以平面平面；【小问2详解】由（1）知：以E为原点，EA，EB，EP为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 则,，所以，设平面PAC的一个法向量为，则，即，令，则，易知平面PAD的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值是.21.已知，.（1）当时，求极值；（2）讨论单调性；（3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）先求导数，再结合导数判断单调性，求出极值；（2）先求导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性；（3）利用导数分别求解的最大值，然后可得答案.【小问1详解】由题可知，函数定义域，由当，解得，当，解得，所以函数在处取得极大值，无极小值.【小问2详解】，①所以当时，有恒成立，在单调递增，②当时，由解得：，在上单调递增；由解得：，在上单调递减；综上，时，在单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.【小问3详解】当时，，根据题意，不等式等价于，， 对于，，，所以在上单增，所以，则有，设，，则，在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是.22.如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，设是第一象限内上一点，，的延长线分别交于点，.（1）求的周长；（2）设，分别为，的内切圆半径，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；（2）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解.【小问1详解】 ，为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，由椭圆定义得，由题意，得，即的周长为.【小问2详解】易知，，设，，，由条件知，，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，则，得，，故．当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，同理，可得，因为，所以，当且仅当时，等号成立. 若轴时，易知，，，此时，综上，的最大值为.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．