四川省 校2021-2022学年高二理科数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

成都外国语学校2021-2022学年度下期半期考试高二理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题有12个小题，每题5分，共60分，请将答案涂在答题卡上）1.向量＝（－2，1）所对应的复数是（　　）A.z＝1＋2iB.z＝1－2iC.z＝－1＋2iD.z＝－2＋i【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义即可.【详解】根据复数的几何意义，向量＝（－2，1）所对应的复数是z＝－2＋i；故选：D.2.由①是一次函数；②的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提､小前提和结论的分别是（）A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【答案】D【解析】【分析】根据三段论的概念，即可判断出结果.【详解】该三段论应为：③一次函数的图象是一条直线（大前提），①y=2x+5是一次函数（小前提），②y=2x+5的图象是一条直线（结论）故选：D.3.用反证法证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”时，反设是“关于的一元二次方程（）A.有两个相等实数根B.无实数根C无实根或有两个相等实数根D.只有一个实数根【答案】C【解析】 【分析】根据反证法证明方法与步骤即可得出选项.【详解】证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”反证法需假设“关于的一元二次方程无实根或有两个相等实数根，推出矛盾.故选：C4.要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（）A.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变B.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变C.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D.横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象变换前后的解析式，确定图象变化过程.【详解】将在横坐标方向上缩短到原来的，即可得，∴.故选：C5.已知在上是增函数，则实数a的最大值是（）A.0B.1C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由在上恒成立，参变分离求出a的取值范围即可求解.【详解】由题意知：，在上是增函数，即在上恒成立，则在上恒成立，又在上的最小值为3，故，即a的最大值是3.故选：C. 6.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意得两平面的法向量平行，从而得到，进而求出结果.【详解】由题意得：与平行，故，即，解得：.故选：C7.在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，设异面直线与所成角为（），则. 故选：A8.下列三个数：，，，大小顺序正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，对其求导，判断单调性，进而可得出结果.【详解】构造函数，因为对一切恒成立，所以函数在上是减函数，从而有，即.故选：A．【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.9.函数的部分图象是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明其单调性，即可判断；【详解】解：因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；当时，，则，所以当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，故C错误、B正确；故选：B10.若函数在上无极值，则实数的取值范围（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】求，由分析可得恒 成立，利用即可求得实数的取值范围.【详解】由可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在上无极值，则恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围为，故选：D.11.现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为且用料最省，则水桶底面圆的半径为（）A.1B.3C.5D.7【答案】B【解析】【分析】设圆柱的高为，半径为,得，即，要使用料最省即求全面积的最小值，将表示为的函数，令，结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径，此时用料最省，即水桶的表面积最小.【详解】解：设高为，底面半径为，则，即，所用材料的面积是，则，令，得，解得：，且时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，故当时S取得极小值，也是最小值，故当水桶底面半径为3时，用料最省．故选：B.12.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分离参数，将变为，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.【详解】由不等式对任意恒成立，此时，可得恒成立，令，从而问题变为求函数的最小值或范围问题；令，则，当时，，当时，，故，即，所以，，当且仅当时取等号，令，则，当时，，当时，，故，且当时，也会取到正值，即在时有根，即等号成立， 所以，则，故，故选：C【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本题有4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上）13.函数，其导函数为，则________________【答案】##0.5【解析】【分析】先求导，然后代入，进行求解【详解】因为，所以故答案为：14.设复数满足（为虚数单位），则______．【答案】【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.15.定积分______．【答案】【解析】 【分析】利用微积分的基本定理求解.【详解】，故答案为：-416.已知是函数且的个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据函数解析式可得，，由此可得知，，可将所求式子化为；令，利用导数可求得，由此可得所求式子的范围.【详解】，当时，；又，，，；令，则，在上单调递减，，的取值范围为.故答案为：.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上）17.（1）在极坐标系中，已知点，请将点的极坐标化为直角坐标；（2）在平面直角坐标系中，求曲线经过伸缩变换后的曲线方程．【答案】（1）；（2）． 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标关系可直接转化得到结果；（2）由变换原则可得，代入曲线方程即可得到所求曲线方程.【详解】（1）由题意得：，，，；点的直角坐标为.（2）由得：，，即，变换后的曲线方程为：.18.已知函数在处取得极值．（1）求的解析式；（2）当时，的图象与的图象有两个公共点，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由解出，代回导数，检验在处取得极值即可；（2）先确定函数在上的单调性，求出最值及端点值，即可求得m的取值范围.【小问1详解】，∵在处取得极值，∴，∴，解得： ，∴，此时，当时，；当时，，在单增，在单减，满足在处取得极值，故.【小问2详解】由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减；又，，，所以．19.已知长方体，，，为棱的中点，为线段的中点．（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点G，连接GF，GB，可得四边形为平行四边形，则，进而可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可.【详解】解：（1）如图：取的中点G，连接GF，GB， 则，又，，则四边形为平行四边形，，又面，面，平面；（2）如果建立空间直角坐标系,则，则，设面的法向量为，则，即，令，可得，设直线与平面所成角为， 则，所以直线与平面所成角的正弦值.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查向量法求线面角，是基础题.20.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证：．【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，令导函数与大于0，小于0即可得出答案.（2）设，对求导，此题转化为求.【小问1详解】依题意知函数的定义域为，∵，由，得；由，得，∴的单调增区间为，单调减区间为．【小问2详解】设，∴，∵当时，，当时，，∴在上为减函数，上为增函数， ∴，即．21.如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：因为平面，面，所以.因为正方形，所以又，面，面，故平面（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示. 因为平面，且与平面所成角为，即，所以，由已知，可得，.则，，，，，所以，.设平面的法向量为，则，即.令，则因为平面，所以为平面的法向量，.所以.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.22.已知函数，其中e是自然对数的底数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若存在，，使得，且，求a的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）对求导，求，由点斜式即可求出答案.（2）设，，结合，代入整理得，构造函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得a的取值范围．【小问1详解】当时，，，，所以在处的切线方程为：，所以.【小问2详解】不妨设，，所以关于t方程有正实数解，所以，即有正实数解，设，则，，所以单调递增，所以，①当时，，所以单调递增，所以，不合题意；②当时，存在，使得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即存在，符合题意．综上，a的取值范围为．