四川省成都市郫都区2021-2022学年高一理科数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

郫都区2021-2022学年度下期期中考试高一数学（理科）说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.第I卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.若等差数列满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用等差中项的性质进行计算.【详解】因为是等差数列，所以.故选：B2.在中，若，，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由面积公式直接进行求解.【详解】故选：D3.已知平面直角坐标系上三点、、，那么（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先化简，再求模长【详解】所以故选：C4.若的三边长分别为、、，则该三角形最大角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用大边对大角，确定最大角，进而利用余弦定理进行求解.【详解】因为大边对大角，所以边长为7的边所对的角为最大角，设为，则故选：A5.若，是方程两个实数根，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由根与系数关系得到两根之和，两根之积，代入正切的和角公式即可.【详解】由韦达定理得：，，所以故选：A6.某项数为的等差数列的前三项的和为，后三项的和为，则所有项的和为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 分析】由题设，根据等差数列下标和性质可得，即可得结果.【详解】由题设，，所以，而，则，故，则.故选：D7.若数列的首项，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.【详解】因为，，所以，所以该数列的周期为，于是有，故选：C8.已知、为锐角，且，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】凑角法，利用正弦的差角公式进行求解.【详解】因为、为锐角，所以，因为，所以， 因为，所以，故故选：A9.如下图所示，在某场战争中，一架侦察机在高度为的上空由西向东巡航，发现正前方的地面上有一支装甲车队成直线地由东往西移动，侦察机测得队首车和队尾车的俯角分别为和，则车队长度大约是（）（参考数据：，）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图象，利用锐角三角函数求得，再利用正弦定理求出，车队长度就是的长度.【详解】根据题意，可作图，于，得，，所以，，，根据锐角三角函数，得，利用正弦定理，得，，所以，车队长度大约是.故选：B10.已知，若，则的值为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据与的关系及x的范围求得，再由二倍角余弦公式求目标式的值.【详解】由，则，又，则，，则，所以.故选：B11.已知等差数列的前项和为，若，且，则使成立的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由可解得，再利用等差数列的前项和公式并结合等差数列的性质即可求解【详解】由又，所以公差 所以使成立的最大值为故选：C12.在平面四边形中，，，角、均为直角，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，以点为坐标原点，方向分别为轴建立平面直角坐标系，设，过点作，垂足为，进而得，，再根据数量积的坐标表示求解即可.【详解】解：如图，以点为坐标原点，方向分别为轴建立平面直角坐标系，设，在平面四边形中，，，角、均直角所以，，，过点作，垂足，则，所以，在中，，即，所以，即， 所以，所以.故选：D第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.的值为____________．【答案】【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式求解.【详解】解：，,故答案为：14.若数列的前项和，则数列____________．【答案】【解析】【分析】利用数列的通项与前n项和的关系求解.【详解】解：数列的前项和，当时，，当时，，因为适合上式，所以，故答案为： 15.在矩形中，，，若点、满足，，则____________．【答案】【解析】【分析】由，结合向量数量积运算律及已知条件即可求数量积的值.【详解】由，又，，为矩形且，，所以.故答案为：2416.如图，△ABC中，，，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且，则__________.【答案】【解析】【分析】设未知量，利用是直角三角形并对使用正弦定理求出,对三角形和三角形使用余弦定理即可求解. 【详解】设,则，对三角形使用正弦定理得，，所以，化简得，所以.即,设，对三角形使用余弦定理得，，解得，所以，对三角形使用余弦定理得，，化简得，.故答案为：.三解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.根据下列条件，求相应的等差数列的有关未知数：（1）已知，，，求；（2）已知，，求．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由等差数列的基本量进行计算；（2）由等差数列的前项和的基本量计算．【小问1详解】因为，解得；【小问2详解】因为，，18.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的商数关系，再结合齐次式即可求解；（2）根据已知条件及正弦的二倍角公式，再利用同角三角函数的关系，结合齐次式即可求解；【小问1详解】因为，所以，原式.【小问2详解】因为，所以，原式.19.已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求，夹角的余弦值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算求解；（2）利用向量共线的坐标运算和夹角公式求解；【小问1详解】解：易知，因为，所以，即，解得；【小问2详解】易知，因为，所以即，解得，所以，所以．20.已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）证明数列是等差数列．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，，，利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程，即可求出和，由此即可求出结果； （2）由（1）即可求出，即，再根据等差数列的定义即可证明结果.小问1详解】解：设各项均为正数的等差数列的公差为，因为，所以，解得，即，所以；即.【小问2详解】解：由（1）知，所以，因为，又因为所以数列是首项为，公差为的等差数列．21.已知向量，向量，定义函数．（1）求函数的解析式及单调减区间；（2）在中，若，且，，求边上的中线长．【答案】（1），单调减区间为（2）【解析】【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，并利用两角和的余弦公式化简，然后由余弦函数的单调性求减区间；（2）由已知求得角，再用余弦定理求得得三角形为等腰三角形，最后求余弦定理求得 中线长．【小问1详解】，因为，解得所以函数的单调减区间为；【小问2详解】由（1）知函数在上单调，因为，所以，为三角形内角，则，所以，由余弦定理知，所以，所以，不妨设的中点为，则22.已知中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，且满足．（1）求角A；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式计算可得；（2）根据数量积的定义及正弦定理得到，再根据 ，将两角的三角函数化为一角的三角函数，再利用两角和差的正弦公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，即，所以，所以，所以，因为，所以，又因为，所以；【小问2详解】解： 又因为，所以，所以所以.