四川省成都市东部新区2021-2022学年高二数学理科下学期期中考试试题（Word版附解析）

成都东部新区2021~2022学年度（下）半期调研考试高二数学理科试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数在区间上的平均变化率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平均变化率的定义代入求解即可.【详解】.故选：A.2.已知i是虚数单位，则复数的虚部是（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘方运算和乘法运算化简复数，再根据复数的概念可得结果.【详解】，所以复数的虚部是.故选：C3.在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（）A.B.C.2D.3【答案】A【解析】【分析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.【详解】，，由中点坐标公式，得， 所以.故选：A4.若直线l的方向向量，平面的法向量，则（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】根据可得结果.【详解】因为，所以，所以或.故选：D5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义以及复合函数求导法则可求出结果.【详解】因为，所以，.故选：D6.若是函数的极值点，则的值是（）A.B.0C.1D.【答案】A【解析】【分析】根据即可得解.【详解】的定义域为， ，因为是函数的极值点，所以，即，所以，当时，，令，得，令，得，所以在处取得极小值，符合题意.综上所述：.故选：A7.已知在上单调递增，则实数a取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】转化，即在上恒成立，利用最小值可得结果.【详解】因为，所以，即在上恒成立，当时，，所以.所以实数a的取值范围为.故选：A8.如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，.故选：D9.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10.已知函数，则方程实根的个数为（）A.2B.3C.4D.5 【答案】C【解析】【分析】将原方程化为或，利用导数研究函数的性质，作出函数的图象，利用图象可得结果.【详解】由，得，得或，则问题转化为求函数的图象与直线和的交点的个数，当时，，，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上的图象如图：由图可知，原方程实根的个数为4.故选：C11.已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】等价于，构造函数 ，对其求导结合已知条件可判断在上的单调性，所要解的不等式等价于，根据单调性即可求解.【详解】令，则，因为导函数满足恒成立且，所以，所以在单调递增，因为，所以不等式等价于，因为所以在单调递增，所以，所以不等式的解集为，故选：D12.在平面向量中，我们用表示在方向上的投影，换个角度，向量在直线OB的法向量方向上的投影的绝对值就是点A到直线OB的距离（如图1），如果利用类比的方法，那么图2中点A到平面BCD的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及法向量的定义求出平面BCD的法向量，类比点A到直线OB的距离即可求解.【详解】由题意可知，，设为平面BCD的一个法向量，则 ，即，令，则，所以，因为，所以点A到平面BCD的距离为.故选：B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.【答案】【解析】【分析】由题意结合微积分基本定理运算即可得解.【详解】由题意.故答案为：.【点睛】本题考查了微积分基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14.已知复数满足（是虚数单位），则．【答案】5【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 15.已知向量，，若与互相垂直，则___________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由题设可知：，因为与互相垂直，所以，即：，解得：，故答案为：16.已知是函数的切线，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义及切点在切线上和函数上得出的关系，再结合导数法求函数最值即可求解.【详解】设切点为，则由，得，所以切线方程为，即，又由切线方程，则.所以.设，则.令，即，解得；令，即，解得.所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，取得极小值，也为最小值所以的最小值为为.故答案为：. 三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设数列满足，.（1）求，，，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1），，，猜想：（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据首项和递推公式可求出，根据，可猜得通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可.【小问1详解】由，，可得：，，由，，，可猜想：【小问2详解】证明：①当时，成立；②假设当时，猜想成立，即.则当时，即当时，猜想成立由①②可知，对于任意的，都有成立.综上所述，猜想得证.18.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求的值； （2）求在区间上的最值.【答案】（1），（2）最大值为13，最小值为5【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）利用导数判断单调性，根据单调性可求出最值.【小问1详解】，，又∵曲线在处的切线方程为.，，即得：，解得：，【小问2详解】由（1）得：，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，，所以.在区间上的最大值为13，最小值为5.19.已知空间三点，，.（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；（2）设，若A，B，C，D四点共面，求的值【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由空间向量的数量积得夹角后求解（2）由空间向量共面定理求解【小问1详解】由已知，得：，，∴，∴∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为【小问2详解】由，得：∵A，B，C，D四点共面∴存在实数，，使得∴，即得：解得：，，∴20.如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由直三棱柱的性质结合可得平面，进而，结合即可得线面垂直；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量为，求出两法向量夹角的余弦值即可得结果.【详解】（Ⅰ）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以.因为，，所以平面. 因为平面，所以.因为，，所以平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系.则,,,.设，所以，因为，所以，即.所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，所以所以即令，则，所以平面的一个法向量为.所以.由已知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21.设函数，其中.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2） 【解析】【分析】（1）根据题意得，再分，和三种情况分类讨论即可；（2）根据题意得，构造函数，则上式等价于在区间上单调递增，所以，再构造函数，求在上的最小值即可.【小问1详解】的定义域为，，所以，因为，令，得或，①当时，则当由，得或；由，得所以在区间和单调递增，在区间单调递减；②当时，在恒成立，所以在单调递增；③当时，则由，得或；由，得，所以在区间和单调递增，在区间单调递减；综上所述：当时，在区间和单调递增，在区间单调递减；当时，在上单调递增；当时，在区间和单调递增，在区间单调递减；【小问2详解】对任意，恒成立等价于对任意，恒成立， 设函数，则上式等价于在区间上单调递增，即，从而在恒成立，令，则，令，解得；令，解得，故在单调递减；在单调递增，所以所以的取值范围是.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）若曲线在点处的切线与x轴交于点，求a的值；（2）求证：时，存在唯一极值点，且.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程，再结合点在切线上即可求解；（2）根据已知条件及函数导数极值的定义，再利用导数研究函数极值即可证明.【小问1详解】因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，令，得， 因为切线与x轴正半轴交于点，所以，所以；【小问2详解】因为，设，因为，所以时，，故在上是减函数，因为，若，则时，，当时，，若，则，故当时，，所以有唯一零点，当时，即，故为增函数，当时，即，故为减函数.所以存在唯一极大值点，又因，即，所以等价于所以，因为是增函数，故