四川省遂宁中学2021-2022学年高二数学（理）下学期期中考试试题（Word版附解析）

遂宁中学2021～2022学年度下期半期考试高二理科数学考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（每小题5分，共60分）1.椭圆的长轴长为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程直接求解即可.【详解】由椭圆方程知：，长轴长为.故选：C.2.命题的否定为（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定形式可得.【详解】全称量词命题的否定形式为全称量词改特称量词，然后否定结论，故的否定为.故选：D 3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】由可求出，比较与的关系可得出结论.【详解】因为，所以，显然由推不出，由可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4.已知命题，命题函数的定义域是，则以下为真命题的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】推导出命题是真命题，命题是假命题，从而是假命题，是真命题，是假命题，是假命题．【详解】因为命题是真命题，因为函数的定义域为，所以命题函数的定义域是是假命题，所以在A中，是假命题，故A错误；在B中，是真命题，故B正确；在C中，是假命题，故C错误； 在D中，是假命题，故D错误．故选：B．5.已知双曲线的方程为，那么它的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接求出渐近线方程.【详解】因为双曲线的方程为，所以.故选：D6.已知函数的导数为，若，则（）A.26B.12C.8D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意求出导函数，进而可得，，即可得解.【详解】∵，∴，所以，解得，∴，∴.故选：D.7.与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.【详解】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为，设所求椭圆的长半轴长为，则，故所求椭圆的标准方程为.故选：B.8.设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据中点坐标公式可求得，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果.【详解】设，，中点横坐标为，则，解得：；.故选：C.9.直线与双曲线在第一、第三象限分别交于P、Q两点，是C的右焦点，有，且，则C的离心率是() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知为矩形，求出、即可根据双曲线定义求出2a，从而根据离心率计算公式求解.【详解】由对称性可知四边形为平行四边形，又由得四边形为矩形，∴，又，∴，，∴有，∴.故选：C.10.如图，已知抛物线：的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点.已知，，若△，△的面积分别为，，且，则抛物线的方程为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】过A，B分别作C的准线的垂线交y轴于点M，N，根据抛物线定义可得，，再由即可求参数p，进而可得抛物线方程.【详解】如图，过A，B分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M，N，因为C的准线为，所以，，所以，解得，故C为.故选：B.11.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，-些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲线C：为四叶玫瑰线.①方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限；②曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2；③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点). 则上述结论中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】对于①，由判断，对于②，利用基本不等式可判断，对于③，以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成的面积进行比较即可，对于④，将和联立，求解出两曲线的切点，从而可判断【详解】对于①，由，得异号，方程(xy<0)关于原点及y=x对称，所以方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限，所以①正确，对于②，因为，所以，所以，所以，所以由曲线的对称性可知曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2，所以②正确，对于③，由②可知曲线C上到原点的距离不超过2，而以为圆心，2为半径的圆的面积为，所以曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于4π，所以③错误，对于④，将和联立，解得，所以可得圆与曲线C相切于点，，，，而点（1，1）不满足曲线方程，所以曲线在第一象限不经过任何整数点，由曲线的对称性可知曲线在其它象限也不经过任何整数点，所以曲线C上只有1个整点（0，0），所以④错误，故选：B 12.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，，分别为直线BP，QF的斜率，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系可得，设，则可以求出，然后设，则，进而求出范围.【详解】对椭圆C，，右焦点，易知，则，，设，则，设，则，所以，因为，所以，所以，易知，于是，. 故选：D.【点睛】本题运算量较大，但圆锥曲线题目的思路一定要直接，点在圆上，我们可以借助参数方程的方法来设点的坐标，然后再进行换元法来进行处理.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________．【答案】2【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程为得进行变形可求解.【详解】焦点在轴上的双曲线，设双曲线的标准方程为，，，又因为双曲线的渐近线方程为，，，，所以此双曲线的离心率.故答案为：14.抛物线的焦点坐标为，则C的准线方程为______.【答案】【解析】【分析】由抛物线的标准方程及焦点坐标直接写出准线方程.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以C的准线方程为.故答案为：15.函数的导函数___________.【答案】【解析】【分析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解 【详解】故答案为：16.已知焦距为2的椭圆C:(a>b>0)，椭圆C上的动点P到一个焦点的最远距离等于3.现有一条直线l过点Q(1，1)与椭圆C相交于A，B两点，且点Q恰为AB的中点，则△AOB的面积为__________________.【答案】##【解析】【分析】根据题意求出椭圆的方程，点差法求出直线斜率得直线方程，联立方程由根与系数的关系及弦长公式求解即可.【详解】椭圆上的点到一个焦点的最远距离等于3；则，解得，所以，所以椭圆的方程为：，设，，则①，②，①②得：，即，因为，，所以，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即由可得：，所以，，所以弦长，原点到直线距离，所以的面积为.故答案为：三、解答题17.已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.求：（1）m的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.【答案】（1），；（2）准线方程为，渐近线方程为【解析】【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，而后根据题意求出m的值，再根据双曲线的离心率公式求出双曲线的离心率；（2）根据抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程直接求解即可. 【详解】（1）抛物线的焦点为，由双曲线，可得，解得，双曲线的，，则；（2）抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为.【点睛】本题考查了抛物线的准线方程和焦点坐标，考查了双曲线的离心率和渐近线方程，考查了数学运算能力，属于基础题.18.已知曲线（1）求曲线S在点A(2，4)处切线方程；（2）求过点B(1，—1)并与曲线S相切的直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数在点A处的值为切线方程的斜率可得答案；（2）先设切点坐标，然后得出斜率，最后根据直线的点斜式方程列出切线方程，解出即可得结果．【小问1详解】∵，则，∴当时，，∴点处的切线方程为：，即.【小问2详解】设为切点，则切线的斜率为，故切线方程为：，又知切线过点，代入上述方程， 解得或，故所求的切线方程为或.19.已知命题实数满足，其中；命题方程表示经过第二､三象限的抛物线.（1）当时，若命题为假，且命题为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法和抛物线的性质，先求得命题分别为真命题时，实数的取值范围，（1）根据命题为假且为真命题，列出不等式组，即可求解；（2）由是的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，命题中，由，可得，因为，所以，即命题，命题中，由方程表示经过第二､三象限的抛物线，可得且，解得，即命题，（1）若，可得命题，因命题为假且为真命题，所以，解得，所以的的取值范围为.（2）由是的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，由（1）可得，解得，经检验和满足条件， 所以实数的取值范围是.20.在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点.（1）如果直线的方程为，求弦的长；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值.【答案】（1）8（2）-3【解析】【分析】（1）直线与抛物线联立，由两点间距离公式结合韦达定理求解即可；（2）设直线方程为：，与抛物线联立，由，结合韦达定理代入求解即可.【详解】设，.（1）联立得：.由韦达定理得：，.∴.（2）由直线过抛物线焦点且与抛物线有两个不同交点，故可设方程为：，联立得：，由韦达定理：，，∴.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，属于基础题. 21.已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，（1）求椭圆的标准方程；（2）倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于､两点，求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、椭圆中的关系进行求解即可；（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.【小问1详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为：，因为椭圆的离心率为且过点，所以，所以椭圆的标准方程为：；【小问2详解】由（1）可知：，所以直线的方程为：，代入椭圆方程中，得，设，所以， 因此.22.椭圆的两焦点分别为，，椭圆与轴正半轴交于点，.（1）求曲线的方程；（2）过椭圆上一动点(不在轴上)作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得曲线的方程.（2）利用弦长公式、点到直线的距离公式求得的表达式，再结合导数求得的取值范围.【小问1详解】，椭圆方程为.【小问2详解】设，线段的中点为，，，以为直径的圆的半径为， 以为直径的圆的方程为，即，又圆，两式相减，由，消去并化简得，，，，，，由于，所以，，对于函数，在上递增.，所以，， ，.【点睛】求解椭圆中三角形面积的取值范围，关键步骤有两个，一个是利用弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形面积的表达式.二个是利用基本不等式、导数、二次函数等知识来求面积的取值范围.