四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二数学（理）下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022年5月绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共6页．满分150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.命题“,若,则”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：原命题是假命题，故其逆否命题是假命题.逆命题为“,若,则”为真命题，故其否命题为真命题.故选C.考点：四种命题及真假性判断．2.设复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数（）A.1B.－1C.2D.－2【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再结合纯虚数的意义求解作答.【详解】，因复数z为纯虚数，则 ，解得，所以实数.故选：B3.已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（）A.，，共线B.O，A，B，C中至少有三点共线C.与共线D.O，A，B，C四点共面【答案】D【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面故选：D4.一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（）A.一切自然数成立B.一切正整数成立C.一切正奇数成立D.一切正偶数成立【答案】C【解析】【分析】依据数学归纳法规则去判断即可解决【详解】已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，命题对成立即该命题对于一切正奇数成立故选：C5.4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺，则最终获奖结果种数为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答.【详解】每一项比赛的冠军在4个人中选取有4种方法，由分步乘法计数原理得：最终获奖结果种数为.故选：C6.如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON， 由G是的重心，可得，则则故选：D7.是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简不等式，再判断二者间的逻辑关系【详解】当时，，，，则有成立，即成立；当时，，即成立，但此时不成立.综上可知，是的充分不必要条件故选：A8.若函数在为增函数，则实数的取值范围是A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.【详解】依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.9.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A.8种B.14种C.20种D.116种【答案】B【解析】【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下 两个舱位，则有种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故选：B.10.已知a，b是异面直线，A，B是a上的点，C，D是b上的点，，，且，，则a与b所成角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】【分析】先计算出,再根据计算夹角的余弦值，即可写出答案【详解】设又，故选：C11.已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（）A.1B.4C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得，再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数在处取得极小值0，又t是函数的另一零点，因此函数 只有两个零点，从而有，求导得：，当或时，，当时，，于是，在处取得极小值，在处取得极大值，所以的极大值为4.故选：B12.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得到，即可判断；【详解】解：令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，即（当时取等号），所以，∴，又（当时取等号），所以当且时，有，∴，∴．故选：A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：用钢笔将答案直接写在答题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷中的横线上．13.已知函数，则的值为______． 【答案】【解析】【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.【详解】由解析式知：，∴，解得.故答案：.14某单位拟从A，B，C，D，E，F六名员工中选派三人外出学习，要求：（1）A，C二人中至少选一人；（2）B，E二人中至少选一人；（3）B，C二人中至多选一人；（4）A，D二人中至多选一人．由于E因病无法外出，则该单位最终选派的三位员工为：______．【答案】A，B，F【解析】【分析】依据条件（2）（3）（1）（4）的顺序去选人即可解决【详解】由于E因病无法外出，依据条件（2）B，E二人中至少选一人，可知一定选派B，依据条件（3）B，C二人中至多选一人，可知一定不选派C，又依据条件（1）A，C二人中至少选一人，可知一定选派A，又依据条件（4）A，D二人中至多选一人，可知一定不选派D，则一定选派B，A二人，一定不派出C，D，E三人.又共需选派3人，则一定选派F综上，该单位最终选派的三位员工为：A，B，F故答案为：A，B，F15.将A，B，C，D四份不同的文件放入编号依次为的五个抽屉，每个抽屉只能放一份文件，要求文件A，B必须放入相邻的抽屉，文件C，D不能放入相邻的抽屉，则满足要求的放置方法共有______种．【答案】24【解析】【分析】依据先分类再分步的原则去求解即可解决【详解】文件A，B放入1、2号抽屉时，文件C，D只能放入3、5号抽屉； 文件A，B放入2、3号抽屉时，文件C，D只能放入1、4号或1、5号抽屉；文件A，B放入3、4号抽屉时，文件C，D只能放入1、5号或2、5号抽屉；文件A，B放入4、5号抽屉时，文件C，D只能放入1、3号抽屉.则满足要求的放置方法共有故答案为：2416.双曲正弦函数和双曲余弦函数在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数的图象分别相交于点、，曲线在处的切线与曲线在处切线相交于点，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．①，；②；③点必在曲线上；④的面积随的增大而减小．【答案】①④【解析】【分析】利用求导法则可判断①；利用指数运算可判断②；求出切线、的坐标，联立两切线方程可得出点的坐标，可判断③的正误；求出的面积关于的表达式，结合函数的单调性可判断④的正误.【详解】对于①，，，①对；对于②，不恒为，②错；对于③，、， 所以，切线的方程为，切线的方程为，联立，解得，即点，所以，点不在曲线上，③错；对于④，，点到直线的距离为，则，所以，的面积随的增大而减小，④对.故答案：①④.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）请将下列真值表补充完整；（空格处填上“真”或“假”）pq真真真______真假______真假真______假假假真______（2）给定命题p：对任意实数x都有成立；命题q：关于x的方程有实根．已知命题和命题都是真命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】【分析】（1）依据真值表去判断所给命题的真假即可解决； （2）先判断出题给条件对命题p，q真假的要求，再去求实数a的取值范围．【详解】（1）从上至下依次为“真”，“假”，“真”，“真”；（2）若命题p为真命题，则或，解得，若命题q为真命题，由，解得，要使和都是真命题，则需p，q同真同假，若p，q同真，则有，若p，q同假，则有，综上可知，a的取值范围为．18.如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点，.（1）求的长；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）证明，再利用相似三角形求解；（2）证明为直线与平面所成角，再解三角形求解.【小问1详解】 解：取中点，连接，，则，∵平面ABC，∴，又，平面，∴平面，故平面，AN即为AM在平面内的射影，又，∴，故，∴，而，∴；【小问2详解】解：连接，由（1）知平面，故为直线与平面所成角，，，∴，即所求角的正弦值为.19.某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，总比例常数为．现已知相距10km的A，B两家化工厂（污染源），A化工厂的污染强度未知，暂记为，B化工厂的污染强度为4， 它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和，设．（1）试将y表示为关于x，k，a的等式；（2）调研表明y在处取得最小值，据此请推断出A化工厂的污染强度．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意去将y表示为关于x，k，a的等式；（2）利用导数去求A化工厂的污染强度．【小问1详解】，；【小问2详解】，由题意，，经检验知，当时，y在上单减，在上单增，满足题意．所以，A化工厂的污染强度为．20.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，侧棱底面ABCD，且，棱PC的中点为E，，连接DE，DF，EF． （1）若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，求的值．（2）设棱PA与平面DEF相交于点G，且，求的值；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，先利用向量求得的值，再去求的值；（2）利用，由向量列出关于的方程，再去求的值.【小问1详解】以D为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，并设，，则，，，，，于是，，，又，所以，设平面DEF的一个法向量．则，令，则，则平面DEF的一个法向量． 易知平面ABCD的一个法向量，∴，由题意知，，由此解得，∴；【小问2详解】由，，可得，由题意，G平面DEF上一点，则，则，由此解得：．21.已知函数．（1）若恰有一个零点，求a的值；（2）若是的零点，且在点处的切线恰与相切，求a的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得函数，进而可得，即得；（2）利用导数的几何意义可得在处切线l：，结合条件可得，，即得.【小问1详解】 ∵，由可得，∴当时，，当时，，∴在单调递减，在单调递增，所以，当时，，当时，，∴由题意可知，是的唯一零点，由，解得：；【小问2详解】由可得，∴在处切线l：，整理得：l：，设该切线与相切于，又，则l：，整理得：l：，∴，∴，又由题知：，∴，∴即为所求． 22.已知函数，为的导函数．（1）讨论的单调性；（2）若，证明：对任意，存在唯一的，使得成立．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）构造函数，然后结合导数以及零点存在性定理证得结论成立.【小问1详解】，①当时，，∴在单调递增；②当时，在，，在，，∴在单调递增，在单调递减.【小问2详解】依题意，，设，，在定义域内单调递减， ，令，，则，∵，∴在，在单调递增，∴，故.同理可得：，令，，则，∵，∴在，在单调递减，∴，故，综上可知，在单调递减，且，，∴在存在唯一零点，使得，命题得证．【点睛】利用导数研究方程的根的个数，首先将方程变形，然后构造函数，结合导数、零点存在性定理、图象等知识来进行研究.