四川省绵阳南山中学2021-2022学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

绵阳南山中学高2021级高一下期半期考试试卷数学第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.化简（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的运算法则直接求解．【详解】解：．故选：．2.已知a，b是实数，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】由于，所以，A选项正确.，BD选项错误.，C选项错误.故选：A3.设是等比数列，且，，则（   ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，即可求得答案.【详解】由是等比数列，设公比为q，且，，则可得，故，所以，故选：C4.在中，已知，，，则的长为（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形的内角关系求出角，再利用正弦定理即可得解.【详解】解：因为，，所以，又因，所以.故选：D.5.已知向量与向量，若//，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示，带值计算即可.【详解】因为//，故可得，解得.故选：C. 6.已知数列是等比数列，是等差数列，若，，则（）A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】【分析】运用等比数列和等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】因为数列是等比数列，所以，由，即，因为是等差数列，所以，故选：D7.已知△的三个顶点A，B，C及平面内一点P，若，则点P与△的位置关系是（）A.P在BC边上B.P在AB的边上C.P在AC的边上D.P在△内部【答案】C【解析】【分析】由已知条件，结合向量加减法、数乘的几何意义判断共线，即可得答案.【详解】由题设，，则，即共线，所以在边上.故选：C8.已知在中，，则的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据，可得，再根据结合余弦定理即可得出结论. 【详解】解：因为，所以，所以，则，即，所以，所以，所以为等腰三角形，又，所以为等边三角形.故选：D.9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，”（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲得钱数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把给定问题转化为等差数列，列出首项、公差的方程组即可求解作答.【详解】甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次记为，，，，，依题意是等差数列，设其公差为，依题意有，即，解得，所以甲得钱.故选：C10.已知实数，，且，则的最小值为（） A.12B.14C.16D.18【答案】C【解析】【分析】对等式变形，根据基本不等式求解最值.【详解】实数，，且，所以，，当且仅当即时取得等号.故选：C11.设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（   ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由可得，由可得，结合求和公式可得，，结合选项即可求解.【详解】由可得，又，可得，由，可得，则，，，故使得的正整数的最小值为19.故选：B12.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且 ，则的取值范围为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可．【详解】解：△ABC中，，由，得，∴；即，∵，∴，∴，∴，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，∴，∴,∴，故选：D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知实数x、y满足条件，则的最大值为____________【答案】2【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，目标函数化为，结合图象求出最优解．【详解】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：目标函数可化为，结合图象可知目标函数过点时，截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值为2．故答案为：2．14.为了测量灯塔的高度，第一次在点测得，然后向前走了20米到达点处测得，点､､在同一直线上，则灯塔高度为___________.【答案】米【解析】【分析】结合等腰三角形的性质求得正确答案.【详解】，所以， 在中，米.故答案为：米15.在菱形中，，，，则___________.【答案】【解析】【分析】利用向量加减法的几何意义可得，，再应用向量数量积的运算律及已知条件求即可.【详解】由题意知，，故答案：16.已知数列的前项和为，，，且，若对任意都成立，则实数的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将已知条件化简可得，利用累加法求出数列的通项公式以及前项和的表达式，利用分离参数的思想得出，最后利用作差法判断数列的单调性求出最值即可.【详解】数列的前项和为，=1，=3，且， 所以，故：，因为，所以，所以，，则，故，所以=，所以，因为对任意都成立，所以．设则．当时，当时，因此即．故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面向量，满足：，，.（1）求与的夹角；（2）求向量在向量上的投影.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对已知等式两边进行平方可得，由向量夹角公式即可得结果； （2）直接根据向量投影的概念即可得结果.【小问1详解】∵，∴，又∵，∴，∴．∵，∴．【小问2详解】∵，∴，∴向量在向量上的投影为．18.已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解不等式.【答案】（1）a＝1；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为【解析】【分析】（1）由已知可知或是方程的根，把根代入方程中可求出的值；（2）由（1）可知不等不等式化为，然后分，和求解即可【详解】解：（1）因为不等式的解集为或，所以或是方程的根，所以，解得（2）由（1）可知不等式化为，即 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为【点睛】此题考查由一元二次不等式的解集求参数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题19.在中，角所对的边分别为，，．且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得，再利用正弦定理和三角恒等变换化简即得解；（2）由余弦定理求出，即得解.【小问1详解】解：因为，所以，所以，由正弦定理可得，整理得：，即．在中，∴，  ∵        ∴．【小问2详解】 解：由余弦定理及已知条件可得：，，解得，的面积．20.已知为等比数列，前n项和为，，.（1）求的通项公式及前n项和；（2）若，求数列的前100项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设公比为，依题意根据等比数列通项公式得到方程求出，即可求出与；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可；【小问1详解】解：设公比为，∵，，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵，∴， ∴.21.如图，在中，点在边上，为平分线，．（1）求；（2）若,,求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）令，正弦定理，得，代入面积公式计算得到答案.（2）由题意得到，化简得到，，再利用面积公式得到答案.【详解】(1)因为的平分线，令在中，，由正弦定理，得所以(2)因为，所以，又由,得，，因为，所以 所以.【点睛】本题考查了面积的计算，意在考查学生灵活利用正余弦定理和面积公式解决问题的能力.22.设数列的前项和为，若，．（1）证明为等比数列；（2）设，数列的前项和为，求；（3）求证：．【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用可得答案；（2）利用错位相减求和可得答案；（3）利用可得，再利用等比数列求和可得答案.【小问1详解】由得：，即，由得：，所以是以为首项，为公比的等比数列．【小问2详解】 由（1）知，故，，，，两式作差得：，所以．【小问3详解】由（1）知，则，，恒成立，，即，.