四川省 2021-2022学年高二数学文科下学期期中试题（Word版附解析）

2021~2022学年度下期高2023届半期考试数学试卷（文科）一､选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1.复数模（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的模的公式求解即可.【详解】因为，所以，故选：A.2.已知函数，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义，结合基本初等函数的求导公式，即可求得答案.【详解】由题意得，，由于，则，故。故，故选：C3.对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当时，，不等式成立； ②假设当时，不等式成立，即，则当时，．故当时，不等式成立．则下列说法正确的是（）A.过程全部正确B.当时的验证不正确C.当时的归纳假设不正确D.从到的推理不正确【答案】D【解析】【分析】根据数学归纳法证明基本过程判断即可.【详解】在证明当时的结论中，没有应用时的假设，根据数学归纳法证明的基本过程可知：从到的推理不正确．故选：D.4.有一段演绎推理：所有的质数是奇数，是质数，所以是奇数.这段推理（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的【答案】A【解析】【分析】由是质数，但不是奇数可知大前提错误.【详解】大前提为所有的质数是奇数，但是质数，但不是奇数，大前提错误.故选：A.5.函数在R上是（）A.偶函数､增函数B.奇函数､减函数C.偶函数､减函数D.奇函数､增函数【答案】D【解析】【分析】根据的关系可判断奇偶性，求导可判断单调性.【详解】，所以是奇函数， ，所以是增函数.故选：D6.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数，以及在时的单调性即可由排除法解出．【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以错误；当时，，由可得，所以函数在上递减，在上递增，所以错误；而，排除，所以正确．故选：D．7.设等差数列的公差，且．记，用，d分别表示，，，并由此猜想（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】写出等差数列的通项公式，裂项求和即可.【详解】依题意，，，，，故猜想，故选：C.8.已知函数，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a取值范围是（　　）A.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B.（﹣2，1）C.（﹣1，2）D.（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【答案】B【解析】【分析】先分类讨论，并利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性转化不等式，解一元二次不等式即可求得结果．【详解】当x≥0时，f（x）＝x﹣sinx，（x）＝1﹣cosx≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）＝0； 当x＜0时，f（x）＝ex﹣1在（﹣∞，0）上单调递增，且f（x）＜f（0）＝0，故f（x）在R上单调递增，∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a，解得﹣2＜a＜1，故选B．【点睛】此题考查分段函数的单调性问题，体现了分类讨论的思想，利用函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，属于中档题.9.已知三棱锥中，，，，，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角直角坐标系，进而通过空间向量的夹角公式求得答案.【详解】如图所示：设.因为，，两两相互垂直，所以以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，∴，，∴.故选：C.10.各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进 制.通常我们用函数表示在x进制下表达个数字的效率，则下列选项中表达M个数字的效率最高的是（）A.四进制B.三进制C.八进制D.七进制【答案】B【解析】【分析】求出的最大值，不是整数时，比较两边的两个整数对应的函数值大小后可得．【详解】设，则，时，，递增，时，，递减，所以，由于中，下面比较和的大小即得．，所以，所以最大．故选：B．11.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以㳟，其形露矣.”现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的外接球的表面积为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，得到，当四棱锥体积取得最大值时，根据基本不等式得到，利用三棱柱的外接球的球心为的中点，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】设，因为，则，所以四棱锥的体积为，当且仅当时，等号成立，此时三棱柱的外接球的球心为的中点，所以外接球的半径为，所以三棱柱的外接球的表面积为.故选：B.12.已知是定义在的减函数.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】构造研究其在的单调性可得，再由指数函数的性质有，结合的单调性即可得答案.【详解】令且，则，所以上，即递减，故，则，又，即，由在的减函数，则.故选：B二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.）13.已知函数，则在点处的切线的斜率k=___________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义，求出在点处的切线的斜率即可.【详解】因为，所以，所以在点切线的斜率为.故答案为：.14.如图，正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是___________. 【答案】##【解析】【分析】等体积法求解点到平面的距离.【详解】设点A到平面的距离为，因为正方体的棱长为1，则，，又，所以故答案为：15.历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它满足，且满足递推关系，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列，___________.【答案】1 【解析】【分析】通过列举法发现数列为周期数列，然后根据周期数列的性质进行计算即可.【详解】由题可知，，，，，；，，，，，，故可以发现，数列是周期为6的周期数列，由于，所以故答案为：116.若对，关于x的不等式恒成立，则整数m的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】将恒成立问题转化为两个函数的图象位置关系，找到临界点为两个函数相切，然后求出临界处的范围，进而求得的最小整数【详解】设，，只需保证的图象在的上方即可易知：在区间上单调递增，且（否则当无限趋近无穷大时，不能成立）则存在与在某个点处相切，设切点为可得：化简可得：设，易知在区间上单调递增可得：， 可得：则，这是与在某个点处相切的范围，当比相切时大，则会在上方，即也满足题意故的最小整数为故答案为：2【点睛】对于函数，，常用到以下两个结论：（1）恒成立，等价于；（2）恒成立，等价于；（3）但有时候需要利用函数的图象来求，根据原不等式构造出两个函数，利用图象的关系求得三､解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分.在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知复数.（1）若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；（2）当时，且（表示的共轭复数），若，求z.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义建立不等式即可求解；（2）将复数、代入中化简即可求解.【小问1详解】若对应复平面上点在第四象限，则，解得.【小问2详解】 当时，，则.∴，∴.18.已知数列，为数列的前n项和.（1）求，，，；（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1），，，（2）猜想：，证明见解析【解析】【分析】（1）根据可求得，从而可得答案；（2）由（1）的计算结果，猜想，再由数学归纳法证明即可.【小问1详解】因为，，所以，因为，所以，因为，所以.所以，，，.【小问2详解】猜想：证明：①当时，左边，右边，等式成立②假设当时，等式成立，即.则当时，左边 右边，所以当时，等式成立，由①②可知对于任意的时，.19.如图，在长方体中，点E，F分别在，上，且，.（1）证明：；（2）当，，时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）用空间向量法证明线线垂直，计算，，可得；（2）由体积公式得，在矩形中由相似形计算出，得面积，从而得棱锥体积．【小问1详解】因为，所以.因，所以. ，所以.【小问2详解】∵，在面中，∽，∴，可得，∴，.20.第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元.（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）需新建多少个桥墩才能使y最小？【答案】（1）；（2）需新建9个桥墩才能使y最小.【解析】【分析】（1）求出，即得y关于x的函数关系式；（2）利用导数求出函数的单调区间即得解.【小问1详解】解：由，得，所以.【小问2详解】 解：由（1）知，，令，得，所以.当时，，则在区间内为减函数；当时，，则在区间内为增函数.所以在处取得最小值，此时.故需新建9个桥墩才能使y最小.21.函数.（1）若，对一切恒成立，求a的最大值；（2）证明：，其中e是自然对数的底数.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分类讨论，当，恒成立；当，利用导数确定函数的最小值为，由题意可得，即可求得答案；（2）由（1）可得，然后令，可得，分别令n取即可证明结论.【小问1详解】由题意得，，又，①当，恒成立，满足题意；②当，令，，当，，单调递减，当，，单调递增；所以在处取得极小值，即最小值.要使恒成立，即，代入得，解得. 综上，∴a的最大值为1.【小问2详解】证明：当时，由（1）可知，当且仅当成立.令，即.∴，，…，，将各式相乘可得，即.22.设函数.（1）当时，判断函数在上的单调性；（2）设，且，当时，判断在的极值点个数.【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）两个极值点.【解析】【分析】（1）利用导数研究的区间单调性即可.（2）令得到，构造利用导数研究在上的单调性，根据的极值确定的唯一性，进而判断与在给定区间内交点个数，即可得结果.【小问1详解】由题设，.当时，，当时，. 当时，，当时，，在单调递增，在单调递减.【小问2详解】令，则，即.设，则.①当时，，，令，则，令，则，从而，单调递减，又，，由零点存在定理知：存在唯一，使得.当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；又，，由零点存在定理知：存在唯一使，即.当时，，则单调递减，当时，，则单调递增；②当时，，则单调递减. 综上，在上单调递减，上单调递减，在上单调递增.因为，即.从而.由①唯一性知：，则.当时，；当时，.当时，直线与函数的图象在上有两个交点，从而有两个变号零点，即在上恰有两个极值点.所以在上恰有两个极值点.【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为与在上的交点情况，注意确定参数的唯一性及对应值，判断上以上两函数图象的交点个数.