四川省成都市简阳市2021-2022学年高一数学文科下学期期末试题（Word版附解析）

2021～2022学年度下期期末高一年级调研考试文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A.B.1C.2D.5【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的模长公式代入计算.【详解】，.故选：A2.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角余弦公式计算可得. 【详解】解：.故选：D3.等差数列中，若，，则公差（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由，得故选：A4.若，，，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的定义求解夹角.【详解】设向量与的夹角为，由题意，，得，.故选：C5.已知l，b，c为空间中三条不同的直线，为空间中一个平面，若，，，则l与的关系是（）A.B.C.l在内D.不确定【答案】D【解析】【分析】利用线面垂直的性质和判定分析判断即可 【详解】因为，，，所以当为相交直线时，，当为平行直线时，则或l在内都有可能，所以l与的关系不确定，故选：D6.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正切两角差的公式即可求解.【详解】因为；故，故选：D7.下列说法正确的是（）A.若，则向量与的夹角一定为直角B.等比数列前n项和公式为C.D.圆台（棱台）体积公式为（其中，S分别为上､下底面面积，h为圆台（棱台）高）【答案】D【解析】【分析】利用特例判断A，根据等比数列求和公式判断B，作差、利用辅助角公式判断C，根据圆台的体积公式判断D； 【详解】解：对于A：当（或）时，也满足，故A错误；对于B：当时，当时，所以，故B错误；对于C：，所以，故C错误；对于D：圆台（棱台）体积公式为（其中，S分别为上､下底面面积，h为圆台（棱台）高），故D正确；故选：D8.已知都是锐角，若，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出，再由两边取余弦函数化简可求得结果【详解】因为锐角，，所以，因为都是锐角，所以，因为，所以， 所以，故选：B.9.如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（）A.相交B.平行C.异面D.不确定【答案】C【解析】【分析】取的中点，可得，进而可得平面，平面，平面，即得.【详解】取的中点，连接，则，又，∴，则确定平面，又平面，平面，，平面， ∴直线FQ与PB是异面直线.故选：C.10.已知在递减等比数列中，，，若，则（）A6B.7C.8D.9【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的计算可求，进而可得公比，即可求解.【详解】由，且可解得，因此可得等比数列的公比为，所以故选：A11.三棱锥的顶点都在同一球面上，其中、、两两垂直，且，，，则该球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出该三棱锥外接球半径，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】在三棱锥中，、、两两垂直，将该三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线长为，所以，三棱锥的外接球半径为， 因此，该三棱锥外接球的表面积为.故选：C.12.如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最小值.【详解】以为原点建立如图所示平面直角.依题意，，，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以而，所以.在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.在三角形中，，所以三角形是等边三角形，所以. 所以，设依题意令，即，所以，所以，所以.对于二次函数，其对称轴为，开口向上，所以当时，有最小值，也即有最小值为.故选：B【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，且，则______．【答案】3【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，即可得答案.【详解】根据题意，向量，，若，则，解得.故答案为：314.若圆锥的高为，底面半径为，则其体积为___________. 【答案】【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】由题意可知，该圆锥的体积为.故答案为：.15.如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线，又名“雪花曲线”．根据上图可知，第3个图形的边长为________，第4个图形的周长为________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据题中给出的图形，先分析边长之间的变换规律，再分析边数的变化规律即可.【详解】由观察知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，则各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，所以边长，所以第3个图形的边长为.由观察知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，数，周长为.所以第4个图形的周长为 故答案为:；.16.在三棱锥A-BCD中，有，，，且，分别经过三条棱AB，AC，AD作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系是________（按从大到小顺序排列，并用“>”号连接）．【答案】【解析】【分析】根据题意，可由，直接计算出，，，可得，，，在用作差法，可得最后答案.【详解】因为，，，所以三棱锥A-BCD可由以点为顶点的长方体所截，设三边分别为，即，经过三条棱AB作一个截面平分三棱锥的体积，作图如下：因为，，且，所以平面，在平面内，分别过作，因为平面，所以，因为，所以平面，同理平面，因为截面平分三棱锥的体积，所以，易得为的中点，从而易得，同理可得：，， 则，因为，所以，同理可得：，所以，故答案为：.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，是夹角为的单位向量，设．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积计算即可.（2）根据向量的模长公式计算，在求的最小值.【小问1详解】由向量，是夹角为的单位向量，可得．且．【小问2详解】，，．当且仅当时等号成立，的最小值为．18.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且，．（1）若，求角A； （2）若________，求△ABC的面积．请从①，②，这两个条件中任选一个，将（2）中的条件补充完整，并作答（注意：只需选一个，若两个都选，则按所选的第一个计分）．【答案】（1）或（2）选①：或；选②：【解析】【分析】（1）运用正弦定理求得，根据角的范围可求得答案；（2）若选①：由正弦的二倍角公式得或，再由三角形的面积公式可求得答案．选②：由余弦定理求得，从而得，运用三角形的面积公式可求得答案.小问1详解】解：在△ABC中，由可得：，又，∴或；【小问2详解】解：选①：∵，∴，∴或．∴或．选②：∵， ∴，∴19.已知正项数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求出首项，根据等差数列的通项公式即可写出；（2）利用裂项求和即可.【小问1详解】∵，∴数列是以公差为3的等差数列.又，∴，，∴.【小问2详解】由（1）知，于是20.设函数．（1）求的周期和最值；（2）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，，，，求线段CD的长． 【答案】（1）．，（2）【解析】【分析】(1)对作恒等变换，将表示为单个三角函数的解析式即可求解；(2)先算出角B，再运用余弦定理求出c，再根据D点的位置即可求解.【小问1详解】∵，∴，∴，；【小问2详解】∵，，∴，∵，∴，∴（舍）．∵，∴，∴，∴；综上，的周期为，最大值为2，最小值为-2，. 21.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且，．（1）求证：平面PCD；（2）若，，求点D到平面EFP的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到且，再由且，即可得到是平行四边形，从而，即可得证．（2）由面面垂直的性质得到平面，再证平面，即可得到点到平面的距离等于点到平面的距离，最后根据等体积法计算可得．【小问1详解】证明：如图，取的中点，连接，．在中，点，分别为，的中点，∴且．在矩形中，点为的中点， ∴且，∴且．∴.四边形是平行四边形，∴．又∵平面，平面，∴平面．【小问2详解】解：∵四边形是矩形，∴．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，∵，，，平面.∴平面，即就是点到平面的距离．∵，平面，平面，所以平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离．又∵，∴．同理可证平面，即，且，，平面，∴平面.∴，即．∴，∴点到平面的距离为．22.数列在实际生活中有很多应用．例如某县城一位居民为了改善家庭的住房条件，决定重新购房．2022年7月1日，他来到了当地一个房屋交易市场，面对着房地产商林林总总的宣传广告，是应该购买一手商品房还是二手房呢，他一时拿不定主意．经过一番调查，这位居民收集到一些住房信息，然后在下表中列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案： 家庭经济状况家庭每月总收入3000元，即年收入3.6万元．现有存款6万元，但是必须留2万元~3万元以备急用．预选方案①买一手商品房：一套面积为80平方米的住宅，每平方米售价为1500元．②买二手房：一套面积为110平方米的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元．购房还需要贷款，这位居民选择了当地一家商业银行申请购房贷款．该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%，购房的首付款一般为实际购房总额的30%（最低20%），贷款额一般为实际购房总额的70%，还款方式可选择等额本金还款，一般采用按季还款的方式，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为：本金部分=贷款本金÷贷款期季数；利息部分=（贷款本金－已归还贷款本金累计额）×季利率．请用学过的数列知识帮这位居民算一算需要偿还的贷款总和，根据计算结果，你认为预选方案①、②到底哪个是他的最佳选择？阐述你的建议，并说明理由．参考资料i．对于家庭经济收入的分配，国内外经济学家提供了下述参考标准：家庭收入的30%用于偿还购房贷款，30%用于投资储蓄，20%用于子女教育，20%用于日常开销．因此，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%~30%为宜．ⅱ．月利率=年利率÷12，季利率=年利率÷4．【答案】建议选方案①，建议和理由见解析【解析】【分析】分别计算方案①和方案②的还款总额和还款情况，结合家庭收入基本情况，下结论.【详解】方案①：如果首付3.6万元（住房总价值的30%），贷款8.4万元，季利率为，以贷款期为15年为例． 每季等额归还本金为（元）因为第1个季度利息为（元），则第1个季度还款额为（元）．因为第60个季度的利息为（元），则第60个季度还款额为（元）．所以根据等差数列求和公式可得：前60个季度求和，共还款额为（元）．方案②：如果首付4万元，贷款10.2万元，季利率为，以贷款期为15年为例．每季等额归还本金为（元）．因为第1个季度利息为（元），则第1个季度还款额为（元）．因为第60个季度的利息为（元），则第60个季度还款额为（元）．所以根据等差数列求和公式可得：前60个季度求和，共还款额为（元）．故建议选方案①，首先因为家庭每月总收入3000元，则季总收入为9000元，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%~30%为宜，即每季度还款为1800~2700比较合适，而方案②前十几个季度的还款额都超过了2700，会导致家庭生活压力较大；其次方案②要比方案①多付利息（）；再次方案②中的房产是旧房，有折损，使用年限会缩短等等．