四川省遂宁市2021-2022学年高二数学文科下学期期末试题（Word版附解析）

遂宁市高中2023届第四学期期末教学水平监测数学（文科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确.2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3．考试结束后，将答题卡收回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，根据复数的几何意义得到所在象限.【详解】因为，所以复数在复平面内对应坐标为（1,1），所以复数对应的点位于第一象限，故选：A.2.命题“，使得”的否定是（）A.，使得B.，使得C.，都有D.，都有【答案】C 【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“，使得”的否定是“，都有”.故选：C3.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用常见函数的导数对选项分别求导即可.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确．故选：D4.用反证法证明命题“如果可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）Aa，b都不能被5整除B.a，b都能被5整除C.a，b不都能被5整除D.a不能被5整除【答案】A【解析】【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.故选：A. 【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题.5.如图，在一组样本数据，，，，的散点图中，若去掉后，则下列说法正确的为（）A.样本相关系数r变小B.残差平方和变大C.相关指数变小D.自变量x与因变量y的相关程度变强【答案】D【解析】【分析】根据散点图结合相关系数，相关系数及残差平方和的意义判断即得.【详解】从散点图分析可知，只有D点偏离直线较远，去掉D点后，x与y的线性相关程度变强，所以相关系数r变大，相关指数变大，残差平方和变小,故选：D.6.已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为（）A.3B.3C.5D.5【答案】B【解析】【分析】利用导函数可求出，然后利导数的几何意义即得.【详解】由题可得，令，得，所以，即， 所以的图象在点处的切线的斜率为.故选：B.7.已知圆与抛物线的准线相切，则（）A.B.C.4D.8【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切即得．【详解】因为圆的圆心为，半径为，抛物线的准线为，所以，∴，故选：C8.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；【详解】解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；故选：A9.考拉兹猜想是引人注目数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在世纪年代提出，其内容是：任意正整数，如果是奇数就乘加，如果是偶数就除以，如此循环，最终都能够得到．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入的值为，则输出的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，不成立，，，不成立；第二次循环，成立，，，不成立； 第三次循环，成立，则，，不成立；第四次循环，成立，则，，不成立；第五次循环，成立，则，，成立.跳出循环体，输出.故选：C.10.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（）A.3B.5C.D.13【答案】B【解析】【分析】由，结合图形即得.【详解】因为椭圆，所以，，则椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得：，当点P在点处，取等号，所以的最大值为5， 故选：B.11.定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，不等式可转化为，根据判断F(x)的单调性即可求解不等式.【详解】令，则，∴在R上单调递减，又∵，∴，即，∴.故选：C.12.已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（）A.B.双曲线C的渐近线方程为C.若，则的面积为D.曲线的离心率为【答案】D【解析】 【分析】设，由题可得，可得双曲线方程，进而判断ACD，然后利用双曲线的定义及三角形的面积公式可判断C.【详解】由，可得，设，则，即，∴，设，则，，所以，即，又，，所以，∴，即，故A错误；所以双曲线，，双曲线C的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D正确；若，则，所以，的面积为1，故C错误.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上.2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若为虚数单位，复数满足，则的虚部为______. 【答案】##2.5【解析】【分析】根据复数的除法运算可得，进而即得.【详解】因为，所以，所以复数z的虚部为.故答案为：.14.若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方程是___________.【答案】【解析】【分析】由题设双曲线方程，进而待定系数求解即可.【详解】解：因为双曲线的渐近线为，故设其方程为，因为点在双曲线上，所以，，即所求方程为.故答案为：15.甲､乙､丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我没去过A城市；乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断甲去过的城市为___________ 【答案】B【解析】【分析】通过三句话逐一验证排除.【详解】由甲、丙的叙述，可知甲去过的城市是B或C，又由乙、丙的叙述，可知甲没有去过城市C，由此可判断甲去过的城市为B.故答案为:B.16.已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题知，函数在区间不是单调函数，进而转化为在上有解问题求解即可.【详解】由题可得，因为在区间上存在，使得成立，所以函数在区间不是单调函数，所以在上有解，所以在上有解，所以.所以，实数a的取值范围是.故答案为：.三、解答题（17题10分，18至22每小题12分，共计70分） 17.在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于两点，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去t可得直线在直角坐标系的方程，运用极坐标与直角坐标的关系，可得曲线C的直角坐标方程；（2）理解参数方程中t的意义，联立C与直线方程，应用韦达定理即可.【小问1详解】对于直线，消去t得；由于，曲线C的方程为，所以，即；【小问2详解】联立方程，得，设和对应的参数为和，由韦达定理，以及t的几何意义得： ===.18.设，其中，．（1）若，且为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，分别求出p，q为真命题时，实数x的取值范围，即可求出为真命题，实数x的取值范围；（2）利用集合的包含关系即可求得.【小问1详解】当时，，即p为真命题时，实数x的取值范围是同理q为真命题时，实数x的取值范围是因为为真命题，所以实数x的取值范围为；【小问2详解】，因为p是q的充分不必要条件，所以包含于所以，所以a的取值范围是19.已知函数在和处取得极值．（1）求a，b的值；（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即得；（2）令，则问题转化为与轴有三个交点，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与极值，即可得到不等式组，解得即可.【小问1详解】由题可得，由题意，得，则，解得，经检验，此时满足在和处取得极值，所以；【小问2详解】令，则原题意等价于图象与轴有三个交点．∵，∴由，解得或，由，解得，∴在时取得极大值，在时取得极小值， 依题意得，解得，故m的取值范围为．20.某汽车总公司计划在市的区开设某种品牌的汽车专卖分店.为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.（个）23456（百万元）346（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（2）如果总公司最终决定在A区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该种品牌的汽车，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买这种汽车.依据小概率值的独立性检验，试问两个店的顾客下单率有无差异？参考公式：，.【答案】（1）（2）两个分店下单率没有差异【解析】分析】（1）根据表中数据计算平均数和回归系数即可写出线性回归方程；（2）根据已知条件得出的列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.【小问1详解】 由上表数据可知，，，，，设关于的线性回归方程为，则，，关于的线性回归方程为；【小问2详解】设零假设为：两个分店顾客下单率无差异，则由题意可知列联表如图所示：不下单下单合计分店一25530分店二602080合计8525110根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以两个分店下单率没有差异.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C． （1）求C的方程；（2）A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为且，求证直线过定点．【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得，进而即得；（2）设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理法结合条件可得，即得.【小问1详解】设C上任意一点P的坐标为，则有：，当时，有；当时，有，所以C的方程为或；【小问2详解】由题意知直线AB的斜率存在，设AB的直线方程为，，联立方程，整理得，所以，且，又由，即，由,解得，故直线的方程为，所以直线恒过定点. 22.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后通导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由函数有两个极值点可得方程的有两个不等正根，则有，求得，，将问题转化为可化为对恒成立，构造函数，利用导数求其最小值即可【小问1详解】的定义域为，由，求导得，令，得，解得，，所以当或时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】 的定义域为，求导得，有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，所以，所以，，此时不等式恒成立，等价于对恒成立，可化为对恒成立，令，则，令，得，得或（舍去），所以当时，，当时，，故所以在恒成立，所以在上单调递减，所以，所以.故实数的取值范围是【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是由有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，从而可求得，，所以将恒成立，进一步转化为对恒成立，然后通过构造函数，利用导数求出函数的最小值即可，考查了数学转化思想和计算能力，属于较难题