江苏省南通市重点中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2021～2022学年度第二学期期中考试高二数学试题考试时间：120分钟，总分150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设、，向量，，且，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.2.（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用排列数公式可组合数公式可求得结果.【详解】.故选：C.3.对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（）ABC A.22种B.18种C.12种D.6种【答案】C【解析】【分析】根据染色的规则排列组合即可.【详解】先给A选色，有种方法；再给B选色，有种方法；再给C选色，有种方法；共有种方法；故选：C.4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（）A.2022B.2021C.2020D.2019【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理可得，再利用二项式定理展开即可得解.【详解】因为,四个选项中，只有时，除以10余数是1．故选：B．5.已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解．【详解】依题意得则点C到直线AB的距离为故选：A6.在四面体OABC中记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，即得.【详解】由题意得：.故选：B.7.已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出，因此概率为．故选：A．8.若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（）A.事件A发生的概率B.事件B发生的概率C.事件B不发生条件下事件A发生的概率D.事件A、B同时发生的概率【答案】A【解析】【分析】理解条件概率和的含义，可得阴影部分面积表示的含义.【详解】由题意可知：表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示在事件B不发生的条件下，事件A发生的概率，结合在一块就是事件A发生的概率.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（） A.由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C.由“第行所有数之和为”猜想：D.由“，，”猜想【答案】ABC【解析】【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.10.已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）A.B.C.D.与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，，故B正确； 对于C选项：，，则，故C正确；对于D选项：，，所以，故D正确；故选：BCD.11.下列说法中，正确的选项是（）．A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列．B.．C.若组合式，则成立．D.．【答案】BD【解析】【分析】根据排列的而定义判断A;根据排列数公式判断B;根据组合数的性质判断C，D.【详解】对于A，因为排列是有顺序的，因此元素相同顺序可能不同，这样的排列是不同的排列，故A错误；对于B，根据排列数的公式，正确；对于C，组合式，则或，故C错误；对于D，，故D正确，故选：BD12.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（）A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B.任取一个零件是次品概率为0.053 C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为【答案】BCD【解析】【分析】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，再依次求选项中的概率即可．【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，对于选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故错误；对于选项，任取一个零件是次品概率为，故正确；对于选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为，故正确；对于选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为，故正确；故选：．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则_________．【答案】-1【解析】【分析】运用赋值法，令x=0即可求解. 【详解】令x=0，则，，故答案为：-1.14.若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为_________．【答案】【解析】【分析】利用空间向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角的正弦值为,故答案为：．15.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）【答案】210【解析】【分析】由题意分析得路线应该是3次向上,2次向右,2次向前，从而得到答案.【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有,故答案为：210 16.将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答）【答案】①.240②.56【解析】【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得．【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共种方法．故答案为：240；56．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，，平面平面BCEF.（1）求证：平面CDE；（2）平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，求出平面CDE的一个法向量，计算，即可证明结论；（2）求得平面ADE的一个法向量，再求得平面BCEF一个法向量，根据向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】证明：∵四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，∴，，又∵平面平面BCEF，且平面平面，∴平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意可得以下点的坐标：，，，，，，则，．∵，，，CD、平面CDE，∴平面CDE，∴为平面CDE一个法向量．又，且平面CDE，∴平面CDE．【小问2详解】 设平面ADE的一个法向量为，则，，，令，可取得，∵平面BCEF，∴平面BCEF一个法向量为，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则，因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．18.（1）解方程：；（2）解不等式：【答案】（1）或（2）．【解析】【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于的方程，解得的值；（2）根据排列数的公式，得到关于的分式不等式，解出的范围，再结合，得到答案【详解】解：因为,所以或,解得或,解原不等式即，整理得，即 ，所以所以得到，而故或．原不等式的解集为．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.19.已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．（1）求n的值；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中含的项的系数.【答案】（1）（2）60（3）147【解析】【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n；（2）在第一问求出的n的基础上，写出展开式的通项公式，求出含的项的系数；（3）利用通项公式分别写出与的符合题意得项，相乘再相加即可.【小问1详解】∵，∴．【小问2详解】设的展开式的通项为，则，令．∴含的项的系数为；【小问3详解】 由（1）知：展开式中含项系数为：所以展开式中含项的系数为14720.今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．（1）求所选3人中恰有1名女医生的概率；（2）设“男医生甲被选中”为事件A，“女医生乙被选中”为事件B，求和．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出．【小问1详解】设所选3人中恰有1名女医生为事件M，，故所选3人中恰有1名女医生的概率为.【小问2详解】，，．21.如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点． （1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.（2）根据空间向量求点面距离.（3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解.【小问1详解】∵，是AB的中点，∴，∵平面平面，平面平面，平面ABE，∴平面ABCD，平面ABCD，∴.【小问2详解】由（1）知平面ABCD，平面ABCD，∴，菱形ABCD中，，所以是正三角形，∴．∴两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M-xyz． 则，，，，，，，，设是平面ACE的一个法向量，则，令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则，∴点B到平面EAC的距离为小问3详解】因为轴垂直平面,所以设平面的法向量为，，设，，则，∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，，由，解得， ∴．22.请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．利用上述的想法，结合等式（，正整数）．（1）求的值．（2）求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）在等式两边对求导，然后令，，可求得所求代数式的值；（2）由（1）可得出，在此等式两边对求导，然后令可证得结论成立.【小问1详解】解：在等式（，正整数），两边对求导得：①，令，，可得.【小问2详解】证明：①式两边同时乘以x得②，②式两边对求导得：，令，得.