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江苏省南通市2021-2022学年高二数学下学期期末试题(Word版附解析)

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2021~2022学年(下)高二期末质量检测数学本试卷共6页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出给定函数的定义域、值域化简集合A,B,再利用交集的定义求解作答.【详解】由得或,则有,而,所以.故选:B2.在的展开式中,含项的系数为()A.50B.35C.24D.10【答案】D 【解析】【分析】根据多项式乘法法则,分析计算即可作答.【详解】展开式的项是4个因式中任取3个用x,另一个因式用常数项相乘积的和,则展开式中的项为,所以含项的系数为10.故选:D3.《孙子算经》中曾经记载,中国古代诸侯的爵位等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男,共有五级.若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵,则在甲的爵位等级比乙高的条件下,甲、乙两人爵位相邻的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】应用条件概率公式计算即可【点睛】记“甲的爵位等级比乙高为事件A”,“甲、乙两人爵位相邻为事件B”事件A包含10个基本事件:(公,侯),(公,伯),(公,子)(公,男),(侯,伯),(侯,子),(侯,男),(伯,子),(伯,男),(子,男)事件AB包含4个基本事件:(公,侯),(侯,伯),(伯,子),(子,男)则故选:C4.若x=a是函数的极大值点,则a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导后,得导函数的零点,比较两数的大小,分别判断在两侧的导数符号,确定函数单调性,从而确定是否在处取到极大值,即可求得的范围.【详解】解:, 令,得:当,即此时在区间单调递增,上单调递减,上单调递增,符合x=a是函数的极大值点,反之,当,即,此时在区间单调递增,上单调递减,上单调递增,x=a是函数的极小值点,不符合题意;当,即,恒成立,函数在上单调递增,无极值点.综上得:.故选:A.5.“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数,留下头一个2不动,剔除掉所有2的倍数;接着,在剩余的数中2后面的一个数3不动,剔除掉所有3的倍数;接下来,再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理;……,依次进行同样的剔除.剔除到最后,剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为()A.333B.335C.337D.341【答案】B【解析】【分析】根据给定条件,求出2到30全部整数和,再求出2到30的全部素数和即可计算作答.【详解】2到30的全部整数和,2到30的全部素数和,所以剔除的所有数的和为.故选:B6.已知双曲线的左、右焦点分别为、,、是双曲线上关于原点对称的 两点,,四边形的面积为,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可知四边形为矩形,利用勾股定理结合双曲线的定义可得出,利用三角形的面积公式可求得的值,即可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由已知,所以,,,所以,,可得,由勾股定理可得,由双曲线的定义可得,所以,,由双曲线的对称性可知,四边形为矩形,所以,,所以,,故该双曲线的离心率为.故选:A.7.等差数列的各项均为正数,前n项和为.设甲:,乙:数列是等差数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义,结合等差数列的定义、前n项和公式推理判断作答.【详解】正项等差数列中,,则公差,前n项和 ,则有,即,数列是等差数列,正项等差数列中,前n项和为,令等差数列的公差为,显然,则,有,当时,,数列的公差为,于是得,解得,因此有,所以甲是乙的充要条件,C正确.故选:C8.已知函数,,,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析可知函数在上为增函数,推导出函数的图象关于直线对称,则函数在上为减函数,可得出,利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.【详解】令,其中,则,因为函数、均为上的增函数,故函数也为上的增函数,当时,,此时,故函数在上为增函数,因为 ,故函数的图象关于直线对称,则函数在上为减函数,所以,,,则,即,,则,则,即,因此,.故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.,越小,该正态分布对应的正态密度曲线越扁平B.运用最小二乘法得到的线性回归直线-定经过样本中心C.相关系数越接近1,y与x相关的程度就越弱D.利用进行独立性检验时,的值越大,说明有更大的把握认为两事件有关系【答案】BD【解析】【分析】根据正态曲线的几何特征,判断选项A;由回归直线方程的性质,判断选项B和C;【详解】解:对于A,根据正态曲线的几何特征,可知当不变时,即越小,该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高,故A错误;对于B,运用最小二乘法得到的线性回归直线-定经过样本中心,故B正确;对于C,线性相关系数绝对值越接近1,表明2个随机变量相关性越强,故C错误;对于D,因为随机变量的观测值越大,说明两个变量有关系的可能性越大,即犯错误的概率越小,故D正确。故选:BD. 10.若,则()A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项,利用幂函数的单调性即可判断;对于B选项,作差可以判断;对于C选项,可以举反例;对于D选项,构造函数,先证明不等式,再利用不等式的传递性即可判断【详解】对于A选项,设,则,所以在上单调递增,则由,故A正确对于B选项,因为,所以,即,故B正确对于C选项,当时,,故C错误对于D选项,设,则,且当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,则即,故当时,,故D正确故选:ABD11.已知圆:和圆:相交于A,B两点,且点A在x轴上方,则()A.B.过作圆的切线,切线长为C.过点A且与圆相切的直线方程为 D.圆的弦AC交圆于点D,D为AC的中点,则AC的斜率为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件,求出点A,B的坐标,再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意,由解得,则,圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,,A正确;过作圆的切线,切线长为,B不正确;直线的斜率为,过点A且与圆相切的直线斜率为,该切线方程为,即,C正确;因D为圆的弦AC的中点,则,于是得点D在以线段为直径的圆上,而点D在圆上,则由得直线的方程,其斜率为,D正确.故选:ACD12.已知数列的通项公式,记数列的前n项和为,则下列说法正确的是()A.B.是偶数C.若,则 D.若,则存在n使得能被8整除【答案】BCD【解析】【分析】计算判断A;探求数列的性质,寻找规律判断B;利用数列的性质,结合累加法判断C;取特值计算判断D作答.【详解】,,,,A不正确;,因数列从第3项起的每一项都等于其相邻前2项的和,又都是奇数,则必为偶数,又都是奇数,又为偶数,由此,是奇数,是偶数,照此规律依次进行,因此,数列中,是奇数,是偶数,而,是偶数,B正确;因,,即,则,C正确;,显然能被8整除,因此,存在n使得能被8整除,D正确.故选:BCD【点睛】 关键点睛:涉及给出递推公式探求数列规律的问题,按条件写出变量的前几个取值对应数列,认真分析每个变量对应的数列,找准变化规律是解决问题的关键.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“”的否定是_________.【答案】【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.【详解】命题“”是全称量词命题,其否定是“”.故答案为:14.数学家波利亚说:“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来,即将一个量算两次,从而建立相等关系”这就是算两次原理,又称为富比尼原理.由等式利用算两次原理可得____.【答案】【解析】【分析】利用二项式定理,结合所求式子的意义求解作答.【详解】因,因此是展开式中项的系数,而展开式中项的系数为,所以故答案为:15.直线过抛物线的焦点为,且与抛物线交于、两点,则的最小值为_______.【答案】## 【解析】【分析】推导出抛物线的焦半径的性质,再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】易知,可得,所以,抛物线的方程为.若直线与轴重合时,则该直线与抛物线只有一个交点,不合乎题意.所以,直线的斜率存在,设直线的方程为,联立可得,即,,由韦达定理可得,.所以,,所以,,则,当且仅当时,等号成立,故的最小值为.故答案为:.16.已知函数.若时,直线与曲线相切,则的所有可能的取值为_________;若a∈R时,直线与曲线相切,且满足条件的k的值有且只有3个,则a的取值范围为_________.【答案】①.,5②.【解析】 【分析】求出函数的导数,利用导数的几何意义求出过点的曲线切线斜率即可;再利用过点的曲线的切线有3条,构造函数,借助函数有3个零点求解作答.【详解】当时,,求导得:,设直线与曲线相切的切点为,则,且,即,整理得,解得或,则或,所以的所有可能的取值为,5;由求导得:,设直线与曲线相切的切点为,于是得,且,则,显然函数在R上单调递增,因直线与曲线相切的k的值有且只有3个,则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个,即方程有3个不等实根,令,求导得:,当或时,,当时,,即函数在,上递增,在上递减,当时,取得极大值,当时,取得极小值,方程有3个不等实根,当且仅当函数有3个不同的零点,因此,解得,所以a的取值范围为.故答案为:,5;【点睛】思路点睛:解决过某点的函数f(x)的切线问题,先设出切点坐标,求导并求出切线方程,然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.从下面两个条件中选择一个求出,并解不等式①函数是偶函数;②函数是奇函数.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】先利用赋值法求,化简的解析式之后应用对数函数的单调性解不等式【详解】根据题意,易得函数的定义域为.选择①:为偶函数,因此,故,解得.经检验符合题设,,即即或不等式的解集为;选择②:函数为奇函数,有,即,解得.经检验符合题设,,, 即即不等式的解集为.18.记数列{an}的前n项积为Tn,且.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和Sn.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】【分析】(1)利用与的关系可得,进而可得;(2)利用(1)的结论得,从而用“错位相减法”与等差数列求和公式,得所求.【小问1详解】证明:因为为数列的前项积,所以可得,因为,所以,即,所以,又,所以,故是以4为首项,2为公比的等比数列;【小问2详解】解:由(1)得:,所以,则设① ②则①-②得:则所以的前n项和19.如图,在四面体中,平面,,,点在线段上.(1)当是线段中点时,求到平面的距离;(2)若二面角的余弦值为,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得到平面的距离;(2)设点,其中,利用空间向量法可得出关于的方程,解出的值,即可得解.【小问1详解】解:因为平面,,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系, 因为为的中点,则、、、,设平面的法向量为,,,则,取,可得,,所以,点到平面距离为.【小问2详解】解:设点,其中,,,设平面的法向量为,则,取,可得,易知平面的一个法向量为,由已知可得,解得,此时点为的中点,故.20.某校在体育节期间进行趣味投篮比赛,设置了A,B两种投篮方案.方案A:罚球线投篮,投中可以得2分,投不中不得分;方案B:三分线外投篮,投中可以得3分,投不中不得分.甲、乙两位同学参加比赛,选择方案A投中的概率都为,选择方案B投中的概率都为,每人有且只有一次投篮机会,投中与否互不影响.(1)若甲同学选择方案A投篮,乙同学选择方案B投篮,记他们的得分之和为X,,求X的分布列和数学期望;(2)若甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮,问:他们都选择哪种方案投篮, 得分之和的均值较大?【答案】(1)分布列见解析,数学期望为;(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)求出及的可能值,再求出各个值的概率,列出分布列,求出期望作答.(2)求出都选择方案A,都选择方案B投篮得分之和的均值,再比较大小即可作答.【小问1详解】依题意,甲投中的概率为,乙投中的概率为,于是得,解得,的可能值为0,2,3,5,,,,,所以的分布列为:0235数学期望.【小问2详解】设甲、乙都选择方案A投篮,投中次数为,都选择方案B投篮,投中次数为,则两人都选择方案A投篮得分和的均值为,都选择方案B投篮得分和的均值为,有,,则, ,若,即,解得,若,即,解得,若,即,解得,所以,当时,甲、乙两位同学都选择方案A投篮,得分之和均值较大,当时,甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮,得分之和的均值相等,当时,甲、乙两位同学都选择方案B投篮,得分之和的均值较大.21.在平面直角坐标系xOy中,已知点,直线,点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为,记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)过点M且与C相切的直线交椭圆于A,B两点,射线MO交椭圆E于点N,试问的面积是否为定值?请说明理由.【答案】(1);(2)面积为定值.【解析】【分析】(1)设轨迹方程上动点,利用已知几何关系式,列式,得轨迹方程;(2)先由已知关系,确定直线方程中的参数关系,然后根据位置关系计算确定点M,N的坐标关系,从而得到,设,,,,将直线代入椭圆的方程,运用韦达定理,三角形的面积公式,即可得到所求面积为定值.【小问1详解】 解:设,根据题意,,其中表示M到直线l的距离.整理得,曲线C的方程为:.【小问2详解】解:的面积为定值,理由如下:设,①当直线斜率不存在时,过直线方程为,不妨令,则此时,,由题可得,故;②当直线斜率不存在时,设过直线方程为该直线与椭圆C相切得:①,,则直线MO的方程为:,,由题可得,M,N位于y轴两侧,故.即 设,,,,将直线代入椭圆的方程,可得,由,可得,②则有,,所以,将①代入得:由直线与轴交于,则的面积为.故综上:面积为定值.22.已知函数,,的导函数为.(1)若,,求实数的取值范围;(2)若函数,讨论的零点个数.【答案】(1)(2)答案不唯一,具体见解析【解析】【分析】(1)由参变量分离法可得出,利用导数求出函数在上的最大值,即可求得实数的取值范围;(2)对实数的取值进行分类讨论,利用导数分析函数的单调性,结合零点存在定理可得出函数的零点个数.【小问1详解】解:因为,则,对,由可得,则, 构造函数,其中,则,令,其中,则,所以,函数在上为减函数,则,故,所以,函数在上为减函数,,故.【小问2详解】解:,该函数的定义域为,且,.①当时,若时,,此时函数单调递增,若时,,此时函数单调递减,所以,,即函数的零点个数为;②当时,由,可得或.若时,即当时,对任意的,且不恒为零,则在上单调递增,由于,此时函数的零点个数为;若时,即当时,列表如下:增极大值减极小值增所以,, 设,其中,则,所以,在上为增函数,所以,,即,所以,,所以,,此时函数有且只有个零点,一个为,另一个在区间内;若时,即当时,列表如下:增极大值减极小值增所以,,因为,此时,函数有两个零点,一个为,另一个在区间内.综上所述,当或时,函数的零点个数为;、当或时,函数的零点个数为.【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线 与函数的图象的交点问题.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-04-14 09:32:02 页数:23
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文章作者:随遇而安

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