江苏省南通市2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2021~2022学年（下）高二期中质量检测数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由垂直得直线斜率，再由点斜式写出直线方程，化简即得．【详解】直线的斜率为，直线与之垂直，则，又过点，所以直线方程为，即．故选：A．2.若随机变量，则数学期望E（X）＝（）A.6B.3C.D. 【答案】B【解析】【分析】由二项分布的数学期望即可得出答案.【详解】随机变量，则数学期望.故选：B.3.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为，则，所以，，，因此，曲线在点处的切线方程为，即.故选：C.4.已知等差数列前n项和为，则（）A.40B.60C.120D.180【答案】B【解析】【分析】先由等差数列的性质求出，再按照等差数列求和公式及等差数列性质求解即可.【详解】由题意知：，则，则.故选：B.5.若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（） A.18种B.24种C.36种D.72种【答案】C【解析】【分析】先选后排可得答案.【详解】将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有种.故选：C.6.若m是1和4的等比中项，则曲线的离心率为（）A.或B.或C.D.【答案】A【解析】【分析】求出的值，利用椭圆、双曲线的性质求离心率.【详解】m是1和4的等比中项,所以，当时，曲线化为是焦点在轴上的椭圆，离心率为：.当时，曲线化为是焦点在轴上的双曲线，离心率为：.故选：A.7.已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】 【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为，所以直线过定点，所以点P到直线l的距离的最大值为，故选：D8.一个袋子中装有大小完全相同的3个红球和2个白球.若每次均从袋中随机摸出1个球，记录其颜色后放回袋中，同时再在袋中放入2个与摸出的球颜色、大小相同的球，则第二次摸出白球的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合分类与分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，若第一次摸出红球，则第二次摸出白球的概率；若第一次摸出白球，则第二次摸出白球的概率.综上，第二次摸出白球的概率.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（）A.函数在上单调递增B.函数在上单调递减 C.函数在处取得极小值D.函数在处取得极大值【答案】AB【解析】【分析】由导函数的正负可得函数的单调性，再逐项判断可得答案.【详解】有的图象可得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数在上单调递增，故A正确；函数在上单调递减，故B正确；函数在处无极值，故C错误；函数在处取得极小值，故D错误.故选：AB.10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于两点，则（）A.B.C.D.△AOB的面积为【答案】BC【解析】【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A、B，根据焦点弦公式判断C，再求出原点到直线的距离，即可求出三角形的面积；【详解】解：抛物线的焦点坐标为，所以直线：，则，消去得，所以，，所以，故A错误，C正确； ，故B正确；又到直线：的距离，所以，故D错误；故选：BC11.若，则（）A.B.CD.【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法判断A、C，两边求导再利用赋值法判断B、D；【详解】解：①，令则，故A正确，令则，故C正确；对①两边求导可得：②，令得，则，两式相减得所以，故D正确；对②两边求导可得：， 令，可得，解得，故B错误．故选：ACD12.如图，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分别是的中点，则（）A.B.BE∥平面C.与CD所成角的余弦值为D.与平面所成角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，对选项ACD一一判断；对选项B，连接与交于点，连接，易知，则由线面平行的判定定理可知BE∥平面，即可判断B.【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，对于A，，，所以，所以与不垂直，所以A错误； 对于B，连接与交于点，连接，易知，所以面，面，所以BE∥平面，所以B正确；对于C，，，所以，，所以，与CD所成角的余弦值为，故C正确；对于D，，设面，，，令，，所以，与平面所成角为，，所以，与平面所成角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若随机变量，，则___________.【答案】0.14##【解析】【分析】直接由正态分布的对称性求解概率即可.【详解】由题意知：，则.故答案为：0.14.14.已知某商品的广告费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）有如下表所示的统计数据：x12345y5096142185227若根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为ŷ＝x＋5，则当投入6万元广告费用时，销售额的估计值为___________万元.【答案】【解析】【分析】先计算样本中心点，将其代入回归方程，可得的值，再代入 ，即可求得答案.【详解】，所以样本中心点为：，将其代入回归方程ŷ＝x＋5中，有，解得：，所以线性回归方程为，当时，.故答案为：.15.写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.①；②.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题属于开放性问题，只需符合题意即可，根据，故构造指数型函数，再求出函数的导函数，即可得解；【详解】解：依题意令，则，，，所以，故满足①；又，则，即满足②；故答案为：（答案不唯一）16.已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n次，则当n＝6时，质子位于原点的概率为___________；当n＝___________时，质子位于5对应点处的概率最大.【答案】①.##0.3125②.23或25【解析】【分析】根据独立重复试验的概率公式求n＝6时质子位于原点的概率，再求质子位于5对应点处的概率表达式并求其最值.【详解】设第n次移动时向左移动的概率为，事件n＝6时质子位于原点等价于事件前6次移动中有且只有3次向左移动， 所以事件n＝6时质子位于原点的概率为,事件第次移动后质子位于5对应点处等价于事件质子在次移动中向右移了次，所以第次移动后质子位于5对应点处的概率，设，则，令可得，化简可得，所以，，所以令可得，，所以，又，所以m=9或m=10，即或时，质子位于5对应点处的概率最大.故答案为：；23或25.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）求的前n项和.【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）利用递推公式进行配凑，构造新数列，再求解出新数列的通项公式，进而求；（2）由（1）写出前项和的表达式，运用分组转化求和即可.【小问1详解】，即数列是以首相为，公比为的等比数列，【小问2详解】由（1）知18.已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数1:3.（1）求n的值；（2）求展开式中含的项.【答案】（1）7（2）2835【解析】【分析】（1）根据二项式系数的比值列式求解即可；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数可得答案．【小问1详解】因为二项式的展开式中第2项、第3项二项式系数分别为、， 所以，即，解得.【小问2详解】因为展开式通项，当时，解得，所以展开式中含项的系数为.19.如图，四棱锥中，平面，，，点在棱上，，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可推导出，由线面垂直的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值.【小问1详解】证明：因为，，，所以，， 又因为，即，所以，四边形为平行四边形，则，因为，则，因为平面，平面，则，，平面.【小问2详解】解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值为.20.为培养学生的创新精神和实践能力，某中学计划在高一年级开设人工智能课程.为了解学生对人工智能的兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了100 人进行调查，其中部分数据如下表.有兴趣没兴趣合计男生10女生30合计25（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有90%的把握认为对人工智能有兴趣与性别有关；（2）从参加调查的25个对人工智能没兴趣的同学中随机抽取2人，记2人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望.附：，n＝a＋b＋c＋d.0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）表格见解析，有90%把握认为对人工智能有兴趣与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望【解析】【分析】（1）先完善表格，再计算与比较即可判断；（2）直接计算X为0，1，2的概率，列出分布列，计算期望即可.【小问1详解】表格如下：有兴趣没兴趣合计男生451055女生301545 合计7525100，故有90%的把握认为对人工智能有兴趣与性别有关；【小问2详解】25个对人工智能没兴趣的同学中男生有10人，女生有15人，则X的取值为0，1，2，，，，则X的分布列如下：012则数学期望.21.已知椭圆的左顶点为Q，离心率为.若过点P（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，且当直线l垂直于x轴时，.（1）求C的方程；（2）若直线QA，QB的斜率存在且分别为，，求证：为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）当直线l垂直于x轴时，.，所以点在椭圆上，即又离心率为，即，再结合，解出即可得到椭圆的方程（2）先设出两点坐标以及直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理表示出 ，然后表示出，计算，得到关于关于的一个表达式即可得到题目所证，再验证不存在的情况即可【小问1详解】由题意，椭圆的离心率当直线l垂直于x轴时，.，所以点在椭圆上，即在椭圆中联立解得：故椭圆方程为：【小问2详解】如图所示；设，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为：，整理得：，因, 当直线的斜率不存在时，此时综上，为定值，这个定值是22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性；（2）令，当时，易知；当时，利用导数可求得在上单调递增，根据可得结论.【小问1详解】由题意知：定义域为，；当时，恒成立，在上单调递减；当时，令，解得：；当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】当时，，令，则；当时，，，，；当时，令，则，，，，，即，，即在上单调递增，，在上单调递增，；综上所述：，即.【点睛】关键点点睛：本题考查含参函数单调性的讨论、利用导数证明不等式；本题证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，令，利用导数可求得单调性，由此可得函数最值，从而得到结论.