江苏省南通市海安市实验中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

实验中学2021-2022学年度第二学期期中考试试题高二数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四不选项申，只有一项是符合题目要求的.1.直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，直线的方向向量与平面的法向量平行，由此即可求出结果.【详解】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，所以，所以.故选：A.2.展开后的项数为（）A.10B.18C.24D.36【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】根据分步乘法原理，展开后的项数有：项.故选：C3.给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位.其中说法正确的是（）A.①②④B.②③④C.①③④D.②④ 【答案】B【解析】【分析】①中，根据回归直线方程的特征，可判定是不正确；②中，根据相关系数的意义，可判定是正确的；③中，根据方差的计算公式，可判定是正确的；④中，根据回归系数的含义，可判定是正确的.【详解】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.故选：B.4.2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】【分析】先安排甲乙两人，然后剩余3人分两组，一组1人，一组2人，先分组后安排即可．【详解】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，则共有种， 故选：．5.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解.【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，所以，则，解得或，又因，所以，则，所以.故选：C.6.北京时间年月日时分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定矩形以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有两队报名参加，两队均由两名高一学生和两名高二学生组成，比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不会来自同一年级的概率是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求出四个学生来自同一年级的概率，再利用对立事件，即可得到答案；【详解】四个学生来自同一年级的概率为，四个学生不全来自同一年级的概率为，故选：C．7.已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（）A.1B.2C.-1D.-2【答案】D【解析】【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，， ，所以.故选：D8.已知，则A.B.0C.14D.【答案】B【解析】【分析】由题可知，将转化为，再根据二项式展开式的性质，即可求出和，便可得出.【详解】解：由题知，，且，则，，所以.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用以及二项展开式的性质，考查计算能力.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（） A.直线BC1与直线所成的角为90°B.B1D⊥平面ACD1C.点B1到平面ACD1的距离为D.直线B1C与平面所成角的余弦值为【答案】BD【解析】【分析】根据空间向量夹角公式，结合空间点到面的距离公式逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：.A：，因为，所以，因此本选项不正确；B：，因为，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以本选项正确；C：因为平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，，所以点B1到平面ACD1的距离为，因此本选项不正确； D：由上可知：，所以直线B1C与平面所成角的余弦值，因此本选项正确，故选：BD10.则下列说法正确的是（）A.在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；B.在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；C.若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为2；D.对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大.【答案】ABC【解析】【分析】根据残差的意义，可判定AB真命题；根据数据的平均值的计算公式，可得C真命题；根据独立性检验中观测值的几何意义，可判定D为假命题.【详解】根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以A正确；由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，所以B正确；若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为也扩大为原来的2倍，即平均数为2，所以C正确；对分类变量与的随机变量的观测值来说，应该是越大，判断“与有关系” 的把握越大，所以D不正确.故选：ABC.11.设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，下列判断正确的是（）A.B.C.存在，满足D.存在，满足【答案】BC【解析】【分析】根据已知X、Y的正态分布，利用正态分布曲线的性质，即可判断各选项的正误【详解】由题设知，的正态分布的参数为，，的正态分布的参数为，.A：，，所以，错误；B：，，所以，正确；C：由，所以，正确；D：大致作出和的正态曲线，如图所示，可知在轴左侧，的正态曲线总在的正态曲线的下方，的正态曲线下方的区域面积总小于的正态曲线下方的区域面积，即，从而，错误.故选：BC12.2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模国际体育赛事. 运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（）A.设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则B.设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则C.用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则D.用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则【答案】BD【解析】【分析】理解题意，利用超几何分布，求概率，求期望，求方差即可.【详解】对于A：从7名志愿者中抽取3人，所有可能的情况有（种），其中恰有1名女志愿者的情况有（种），故，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以，故C错误对于D：由题可知Y的可能取值为0，1，2，3，则，，，，则，，则，故D正确.故选：BD. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算______.【答案】35【解析】【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.14.若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据函数在区间上是单调增函数，转化为导数不小于0在区间上恒成立，分离参数，利用函数最值求解.【详解】，函数在区间上是单调增函数，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 由(),所以，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式恒成立问题，二次函数最值，转化思想，属于中档题.15.电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是______.【答案】16【解析】【分析】将四人作全排列，再排除两个家长相邻和两个小孩相邻情况，即可得结果.【详解】将四个人全排列，再减去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故.故答案为：16.16.新冠病毒存在人际间传播现象，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代､第二代､第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代､第二代､第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为___________；若小明被感染，则是被第三代传播者感染的概率为___________.【答案】①.0.83##；②..【解析】【分析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，，，，，，根据事全概率公式以及贝叶斯公式计算可得答案.【详解】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”， 事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，，，，，，所以小明被感染的概率为；小明被感染,则是被第三代感染的概率为故答案为：0.83；.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在等差数列中，已知且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【小问1详解】解：由题意，设等差数列的公差为，则,，解得,,；【小问2详解】 解：，.18.在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，___________.（1）求的值；（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有的有理项.【答案】（1）条件选择见解析，（2）有理项为：，，.【解析】【分析】（1）选①，根据二项式系数的性质求得正确答案；选②，根据二项式系数的最值求得正确答案；选③，根据二项式系数和求得正确答案.（2）利用二项式展开式的通项公式求得所有的有理项.【小问1详解】选①，，所以；选②，第5项的二项式系数最大，所以；选③，二项式系数的和为.【小问2详解】二项式展开式的通项公式为：，当时，，（负根舍去）. 所以有理项为，，；即，，.19.教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记A为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；B为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件A的频率是事件B的频率的2倍.（1）求表中a，b的值，并补全表中所缺数据；（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响?不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数12学习成绩不优秀人数26合计参考数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析（2）有【解析】【分析】（1）根据题意列方程组求解（2）根据数据计算后判断【小问1详解】 由已知得，解得补全表中所缺数据如下：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880【小问2详解】根据题意计算观测值为，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.20.如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是的菱形，侧面PAD是边长为2的等边三角形.（1）求直线PC与平面APB所成角的余弦值；（2）求平面PAD与平面APB所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理、空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可【小问1详解】 连接，因为侧面PAD是边长为2的等边三角形，所以，又因为侧面底面ABCD，侧面底面ABCD，侧面，所以底面ABCD，连接OB，在等边三角形ABD中，，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.设平面APB的法向量为，由得令，可得.设直线PC与平面APB所成角为，，直线PC与平面APB所成角的余弦值为；【小问2详解】平面APB的法向量，平面PAD的法向量，设平面PAD与平面APB所成角为，所以21. 高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.（1）若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；（2）若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望【解析】【分析】（1）根据题意小球需要向右1次向左5次，根据n次独立重复事件的概率公式求解即可；（2）计算出一次试验中掉入偶数槽的概率，问题转化为服从二项分布问题，由二项分布求解即可.【小问1详解】设这个小球掉入2号球槽为事件A.掉入2号球槽，需要向右1次向左5次,所以所以这个小球掉入2号球槽的概率为.【小问2详解】 小球掉入偶数号球槽的概率为,由题意知，且的可能取值为0,1,2,3,4,5,由，，可得分布列为：012345P22.已知椭圆：的离心率为，圆：与x轴交于点M、N，P为椭圆E上的动点，，面积最大值为．（1）求圆O与椭圆E的方程；（2）圆O的两条平行的切线分别与椭圆交于点A、B、C、D，求四边形的面积的取值范围．【答案】（1）圆方程为，椭圆的方程为.（2）【解析】【分析】（1）由离心率公式和的关系，结合椭圆的定义可得即为椭圆的焦点，可得，再由位于椭圆短轴端点时，的面积取得最大值，解方程即可得到的值，从而得到圆和椭圆的方程；（2）根据圆与椭圆的对称性，由两条平行的圆切线与椭圆交点构成的四边形为平行四边形，且两平行线间距离为，即可得四边形面积为.讨论直线 的斜率不存在时，求得切线的方程，代入椭圆方程可得交点和弦长；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，运用直线和圆相切的条件可知与的关系，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，将弦长化为关于的函数式，结合换元法和二次函数的最值求法，即可得到所求弦长的范围，进而得到四边形面积的范围．【小问1详解】由题意得，解得，①因为，所以点、为椭圆的焦点，则，设，则，所以，当时，，代入①解得，所以，，所以，圆的方程为，椭圆的方程为.【小问2详解】因为，平行，且与圆O相切，所以两条直线间的距离，且四边形为平行四边形，设四边形的面积为，则，①当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，因为直线与圆相切，所以，即，联立消去可得，， ，，，令，则，所以，，所以，所以，则；②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，解得，，故，则．综上，四边形的面积的取值范围的取值范围是．【点睛】（1）解决直线与椭圆的题目时，时常需把两个方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，一定要考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.