四川省自贡市2021-2022学年高二数学（文）下学期期末考试试题（Word版附解析）

2021~2022学年高二年级下学期期末考试数学试题（文史类）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（i是虚数单位）的在复平面上对应的点位于第（）象限.A.一B.二C.三D.四【答案】D【解析】【分析】化简复数，确定其代数形式，由复数的几何意义确定其对应的点的坐标，再确定点所在象限.【详解】由题意可得，所以复数在复平面上对应的点为（2，-3），该点在第四象限，故选：D.2.下列函数中，在区间上存在最小值的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性即可判断.【详解】对A，在单调递减，在单调递增，所以函数在取得最小值，故A正确；对BCD，，，在单调递增，且在不能取到，所以不存在最小值，故BCD错误.故选：A. 3.如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，连接，根据双曲线的对称性得到，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，所以.故选：C.4.过点与抛物线只有一个公共点的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.无数条【答案】C【解析】【分析】由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在 三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断.【详解】由已知，可得①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，，，解得，故直线方程.所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.故选：C.5.若以双曲线（）的左、右焦点和点为顶点的三角形为直角三角形，则等于（　）A.B.1C.D.2【答案】B【解析】【分析】由题得，求出即得解.【详解】由题意，双曲线的左右焦点为，所以所以.所以，所以.故选：B6.已知命题，，则是（）A.，B.， C.，D.，【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题，是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题即：，故选：D【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.7.若函数在上可导，且，则（）A.B.C.D.以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数，令，即可求出，从而得到的解析式，再根据二次函数的性质判断可得；【详解】解：因为，所以，所以，解得，所以，函数开口向上，对称轴为，因为，所以；故选：C8.是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】记集合A,B，利用集合法进行判断即可. 【详解】记集合A,B或.因为AÜB,所以是成立的充分不必要条件.故选：A9.函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可判断；【详解】解：因为，所以，当时，当或时，即在上单调递增，在、上单调递减，结合图象可知只有B符合题意.故选：B10.点是双曲线左支上一点，其右焦点为，若是线段 的中点且到坐标原点距离为，则双曲线离心率的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意设双曲线的左焦点为，则在中，点（为坐标原点）分别为的中点，所以，即在双曲线的左支上存在点使，同时即：解得：即且，所以，故答案为A.考点：1.三角形的中位线；2.双曲线的离心率.11.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．12.设、分别是椭圆C：的左、右焦点，直线过交椭圆C于 A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用已知条件求出点的坐标，利用两点间的距离公式求得，，利用椭圆的定义求得，整理求得离心率.【详解】设点坐标为，，，，所以有，解得，因为，所以直线的方程为，所以有点坐标为，所以有，，所以，所以，故选：A.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆离心率的求法，方法如下：（1）根据题意，求得点的横坐标，代入直线方程求得点的纵坐标；（2）利用两点间距离求得，； （3）根据椭圆定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为；（4）之后利用离心率的定义求得结果.二､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则______．【答案】【解析】【分析】先求导，再代入计算即可．【详解】解：函数，则，则，故答案为：点睛】本题考查了基本导数公式和导数值，属于基础题．14.已知双曲线的一个焦点为，则C的渐近线方程为___________.【答案】【解析】【分析】先由焦点和已知方程，可求出，从而可得双曲线的方程，进而可求得双曲线的渐近线方程【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，得，双曲线的方程为，由，得，所以C的渐近线方程为，故答案为： 15.若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据二次不等式恒成立进行求解即可.【详解】当时，不满足题意；∴，，则且，解得.故答案为：[，+∞）.16.若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______【答案】e【解析】【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．【详解】解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（，），与曲线C：g（x）＝切于点（，），∴2，化简可得，2，∴∵2，a，设h（x）（x＞0），则h′（x），∴h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减， ∴h（x）max＝h（），∴实数a的的最大值为e，故答案为e．点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．三､解答题（本大题共6个小题，共70分）17.随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃.正值寒假期间，高山滑雪场迎来了众多的青少年.某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣.（1）完成下面列联表；有兴趣没有兴趣合计男女合计（2）判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．【解析】【分析】（1）根据已知条件，完善列联表； （2）计算出卡方，即可判断；【小问1详解】解：依题意对滑雪运动有兴趣的人数为人，女生中有人对滑雪运动没有兴趣，则对滑雪运动有兴趣的有人，所以男生中对滑雪运动有兴趣的有人，男生中对滑雪运动没有兴趣的有人，所以列联表：有兴趣没有兴趣合计男302050女45550合计7525100【小问2详解】解：由（1）可得，有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．18.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）.已知M是曲线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON.设点N的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）设点，若射线：与曲线，分别相交于异于极点O的A，B两点，求的面积.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）先把化为普通方程，再化为极坐标方程；利用代入法求出的极坐标方程； （2）利用极径的几何意义求出，再用点到直线的距离公式求出点到的距离,即可求面积.【小问1详解】对于曲线的参数方程为（为参数），消去，得：，即，化为极坐标方程：.设，则.设，则，所以，代入得：.即的极坐标方程为：【小问2详解】把射线：与曲线联立，解得：；把射线：与曲线联立，解得：.所以.在直角坐标系xOy中，射线：可化为：，所以点到的距离为.所以的面积.19.已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.（1）求函数的解析式：（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根据题意由列出方程组，即可解出答案.（2）求出函数的单调递增区间，即可求出的取值范围.【小问1详解】∵的图象经过点，∴，又，则，由条件，即，解得，代入解得，故【小问2详解】，，令得或，∴的单调递增区间为和；由条件知或，∴或.20.设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.（1）双曲线C的方程；（2）若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角 形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程；（2）设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；【小问1详解】解：抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.【小问2详解】解：依题意设，，由消去整理得，由，所以，，所以21.已知函数.函数在处取得极值.（1）求实数a；（2）对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）求导，根据函数在处取得极值，结合极值点的定义可得（2）根据不等式的形式化简得，构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.【小问1详解】，因为在处取得极值，故，解得.当时，，，故在处导函数为0，且在左右导函数异号，满足极值点条件，故【小问2详解】，构造函数，即，因为任意，，当时，不等式恒成立，所以函数在上单调递减，即在上恒成立，由，设，因为，所以，所以函数单调递减，故，因此，故实数m的取值范围为22.已知椭圆一个焦点为，经过点，过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D 的直线交椭圆于M，N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）四边形AMBN面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据焦点，椭圆所过的点，之间的勾股关系即可求出答案；（2）利用设而不求联立椭圆和直线方程，利用韦达定理解出根与系数的关系，对面积表达式进行化简，利用参数的范围得出最终答案.【小问1详解】解：由题意可得，解得,故椭圆的方程为.【小问2详解】解：当直线斜率不存在时,的坐标分别为,四边形面积；当直线斜率存在时,设其方程为，点,点到直线的距离分别为，则四边形面积为,由得,则， 所以，因为所以中点,当时,直线方程为,解得所以.当时,四边形面积的最大值综上四边形面积的最大值为.