重庆市长寿区2021-2022学年高二数学下学期期末（B）试题（Word版附解析）

长寿区2022年春期期末学业质量监测高二数学试题（B卷）注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页.2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写.4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，所以直线的斜率为，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.故选：C2.在等差数列中，，则的值是（）A.36B.48C.72D.24【答案】A【解析】【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.【详解】由题设，，则，所以.故选：A3.已知是直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则y 的值为（）A.B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】根据得，计算得解.【详解】因为，所以，所以，计算得.故选：D.4.若直线：与：垂直，则实数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，代入运算求解．【详解】由题意可得：，则故选：D．5.双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可【详解】由题意，的渐近线方程为故选：C6.已知圆，圆，则圆与圆的位 置关系是（　）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D【解析】【分析】利用圆心距跟半径的和差关系，判断圆与圆的位置关系.详解】圆心距，所以两圆外切.故选：D7.已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（）A.31B.32C.63D.64【答案】C【解析】【分析】首先根据题意求出和的值，再计算即可.【详解】设等比数列的公比为，则，解得，∴.故选：C.8.函数的单调递减区间为（）A.（0，2）B.（2，3）C.（1，3）D.（3，+∞）【答案】B【解析】【分析】对求导，令求出的范围，即可得出答案.【详解】的定义域为,,令，解得： 所以函数的单调递减区间为（2，3）.故选：B.9.如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．【详解】-＝，.故选：A．10.若函数在区间上只有一个零点，则常数m的取值范围为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数探讨函数在上的单调性，再结合已知列不等式，即可求解作答.【详解】函数，求导得：，当时， ，即函数在上单调递减，而函数在区间上只有一个零点，因此，解得，所以常数m的取值范围为.故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．【答案】4【解析】【分析】由点到直线的距离代入即可求出答案.【详解】在一象限，所以，点到直线的距离为3，则，解得：或.因为，所以.故答案为：4.12.已知数列的前n项和，则该数列的通项公式是__________．【答案】【解析】【分析】时，，利用时，可得，最后验证是否满足上式，不满足时候，要写成分段函数的形式.【详解】当时，，当时，=，又时，不符合上式，所以 故答案为：.13.已知函数，是的导函数，则__________．【答案】1【解析】【分析】先求出函数的导数，再代入计算.【详解】，则.故答案为：1.14.已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再由三点共线求最小值.【详解】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.15.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________． 【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可.【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：，，，，所以，，，.设平面APC的法向量为，∴ 不妨设，则，设平面PBC的法向量为，∴不妨设，则，，设为，则.故答案为：三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知等差数列满足，前4项和．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.小问1详解】设等差数列首项为，公差为d．∵∴ 解得：∴等差数列通项公式【小问2详解】设等比数列首项为，公比为q∵∴解得：即或∴等比数列通项公式或17.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；（2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.【小问1详解】∵，∴BC边的中点D的坐标为，∴中线AD的斜率为， ∴中线AD的直线方程为：，即【小问2详解】设△ABC的外接圆O的方程为，∵A、B、C三点在圆上，∴解得：∴外接圆O的方程为，即，其中圆心O为，半径,又圆心O到直线l的距离为,∴被截得的弦长的一半为,∴被截得的弦长为.18.设函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，求函数的极值．【答案】（1）（2）极大值为；极小值为．【解析】【分析】（1）对求导，求出在处的斜率，代入点斜式计算可得；（2）对求导，根据导函数的正负判断单调性和极值.【小问1详解】∵∴∴切线的斜率 又切点的坐标为，即∴切线的方程，即【小问2详解】∵∴令，则，或列表：x3正0负0正单调递增单调递减单调递增∴当时，取得极大值为；当时，取得极小值为．19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；（2）求点E到平面PBF的距离．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. （2）由（1）求出平面PBF的法向量，利用空间向量即可求出点E到平面PBF的距离.【小问1详解】因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则，则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，，所以直线DE和PF夹角的余弦值为.【小问2详解】由（1）知，，，，设平面PBF的法向量，则，令，得，所以点E到平面PBF的距离为.20.中心都在坐标原点的椭圆与双曲线，它们有共同的在x轴上的焦点、，且，其中椭圆与双曲线的离心率之比为1:4，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6．（1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）若点N是椭圆和双曲线的一个交点，求．【答案】（1）和；（2）.【解析】【分析】（1）设椭圆长半轴长为a，利用给定条件列式计算出a，再结合半焦距即可求解作答.（2）由椭圆、双曲线对称性确定点N位置，再由椭圆、双曲线定义结合余弦定理计算作答.【小问1详解】依题意，椭圆与双曲线的半焦距，设椭圆长半轴长为a，则双曲线实半轴长为，则椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，于是得，解得，因此，椭圆长半轴长为8，短半轴长为，双曲线实半轴长为2，虚半轴长为，所以椭圆和双曲线的方程分别为：和.【小问2详解】由椭圆、双曲线的对称性，不妨设点N在第一象限，分别为左右焦点，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得：，解得，，而，在中，利用余弦定理可得：,所以.