重庆市长寿区2021-2022学年高一数学下学期期末（B）试题（Word版附解析）

长寿区2022年春期期末学业质量监测高一数学试题（B卷）注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页.2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写.4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.若向量与共线，则x的值为（）A.B.4C.D.9【答案】C【解析】【分析】利用向量平行的性质直接求解．【详解】解：向量与共线，，解得．故选：C．2.现要从高一、高二、高三学生中按1∶2∶5的比例进行分层随机抽样．若抽取的样本总容量为24，则高一、高二、高三分别抽取的人数为（）A.3；6；15B.15；6；3C.3；15；6D.6；15；3【答案】A【解析】【分析】按照分层抽样的比例进行抽取，即可求解.【详解】高一、高二、高三分别抽取的人数为，，，故选：A3.若向量，是单位向量，且，则向量与的夹角为（）A.150°B.120°C.60°D.30° 【答案】B【解析】【分析】先求得向量与的夹角的余弦值，进而即可求得向量与的夹角【详解】向量，单位向量，且，则又，则故选：B4.投掷一枚质地均匀的骰子，则向上的点数是3的倍数的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解【详解】因为投掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数的所有的情况为1，2，3，4，5，6，其中是3的倍数有3和6，两种，所以所求概率为，故选：B5.设i为虚数单位，已知复数，则（）A.z的虚部是2iB.z的模为1C.z的共轭复数是D.z在复平面内对应的点在第二象限【答案】D【解析】【分析】求得z的虚部判断选项A；求得z的模判断选项B；求得z的共轭复数判断选项C；求得z在复平面内对应的点所在象限判断选项D.【详解】选项A：复数的虚部是2.判断错误；选项B：复数的模为.判断错误；选项C：复数的共轭复数是.判断错误；选项D：复数在复平面内对应的点是，位于第二象限.判断正确.故选：D 6.已知直线a，b与平面，，，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】利用线面垂直判定定理判断选项A；利用线面平行判定定理判断选项B；利用线面垂直的性质定理判断选项C；利用面面平行的判定定理判断选项D.【详解】选项A：若，，则或或与相交.判断错误；选项B：若，，则或.判断错误；选项C：若，，则.判断正确；选项D：若，，则或与相交.判断错误.故选：C7.在已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理边化角，可解得，由角度范围可确定特殊角，从而判断三角形形状.【详解】解：，由正弦定理得：，，即，，则一定是直角三角形.故选：B.8.甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别为，，若甲、乙分别去完成这项任务且相互之间不受影响，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】利用相互独立事件概率公式求解即可.【详解】依题意，甲、乙分别去完成这项任务相互独立，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为，故选：A.9.用一张长为8cm，宽为4cm的矩形纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的体积为（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】分两种情况求圆柱底面圆的半径，再求体积.【详解】当长方形的长卷成圆柱的底面时，，得，则圆柱的体积；当长方形的宽卷成圆柱的底面时，，得，则圆柱的体积；故选：C10.已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（）A.148B.168C.193D.88【答案】A【解析】【分析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解.【详解】棱台的侧面是等腰梯形，高，所以一个侧面积，所以该棱台的表面积.故选：A二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11.设复数z满足，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】由得故答案为：12.某学生5次数学考试的成绩从小到大排列为91，93，94，96，98，则这组数据的第80百分位数是__________．【答案】97【解析】【分析】利用百分位数的定义去求这组数据的第80百分位数【详解】5次数学考试的成绩从小到大排列为91，93，94，96，98，，则这组数据的第80百分位数是故答案为：9713.已知随机事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且，，则__________．【答案】##【解析】【分析】利用互斥事件概率公式即可求得的值.【详解】事件A和事件B是互斥事件，且，，则故答案为：14.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，，，则角C为__________．【答案】90°或30°【解析】【分析】直接利用正弦定理求出，得角的大小，从而由三角形内角和求角C的大小.【详解】解：由正弦定理得：，所以 又，所以或，均符合题意所以或.故答案为：90°或30°15.如图，直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】【分析】首先构造线面角，再计算线面角的正弦值.【详解】由条件可知平面平面，且平面平面，，平面，是直线与平面所成角， 故答案为：三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．（1）求角A；（2）若，且△ABC面积为，求边a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求得，进而求得角A的值；（2）先利用题给条件求得，再利用余弦定理即可求得边a的值．【小问1详解】∵，又，∴，即又∵，∴【小问2详解】∵且， ∴，∴则解之得17.如图，正方体的棱长为2，E是的中点．（1）证明：平面BDE；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）利用三棱锥等体积转化，换成易求底面积与高的，从而求得三棱锥体积.【小问1详解】证明：连接AC交BD于点O，连接OE，则∵点O，E分别是，AC的中点， ∴又∵面BDE，面BDE，∴面BDE【小问2详解】解：∵又∵BC⊥面∴点B到面的距离等于BC∴∴.即三棱锥的体积为.18.某校为了了解学生一周内在生活方面的支出情况，从全校4000人中抽取一个容量为200的样本，样本中学生的生活方面的支出费用介于100元到180元之间．将抽样结果按如下方式分组：第一组，第二组，第三组，第四组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200个样本中分布在区间内的人数；（2）估计这200名学生一周内在生活方面支出费用的平均值；（3）用样本估计总体，从本校中任抽2名学生，求2人至少有一人一周在生活方面的支出费用为内的概率．【答案】（1）60（2）1472（3）0.51【解析】 【分析】（1）利用题给条件即可直接求得这200个样本中分布在区间内的人数；（2）利用频率分布直方图即可直接求得这200名学生一周内在生活方面支出费用的平均值的估计值；（3）利用对立事件的概率去求从本校中任抽2名学生，2人至少有一人一周在生活方面的支出费用为内的概率．【小问1详解】这200个样本中分布在区间内的人数：【小问2详解】样本中学生一周的消费的平均数为：【小问3详解】样本中学生一周消费在区间内的频率为0.3，用样本估计总体，则本校中一周生活消费在区间内概率为0.3．则从本校中任抽2人一周生活消费至少有一人在区间内的概率为：19.某商场搞活动，只要购物达到300元以上的消费者就可以参加一次抽奖活动，抽奖活动有两种游戏供消费者选择．两种游戏规则如下：游戏1游戏2袋子中球的数量和颜色2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则依次不放回取2个球获奖规则两个球同色获奖；否则，无奖．（1）游戏2中依次取出2个球一共有多少种结果，并用适当的符号表示这些结果；（2）如果你是消费者你会选择哪一种抽奖游戏，说明你的理由．【答案】（1），，，，，，，，，，，共12个结果（2）选择游戏2抽奖获奖的概率大些，理由见解析【解析】【分析】（1）设游戏2中3个红球为，，，白球为b，利用列举法即可得出答案； （2）利用古典概型分别求出选择两游戏的概率，从而可得出结论.【小问1详解】解：设游戏2中3个红球为，，，白球为b，则依次取出2个球结果如下：，，，，，，，，，，，共12个结果；【小问2详解】解：游戏1获奖的概率为：，游戏2获奖的概率为：，由知，选择游戏2抽奖获奖的概率大些.20如图，正四棱锥中．（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直判定定理证明平面PAC⊥平面PBD；（2）先作出二面角的平面角，再去求其余弦值即可．【小问1详解】设点O是AC与BD的交点，连接PO， 则由正四棱锥得：AC⊥BD且PO⊥面ABCD又∵面ABCD，∴PO⊥BD，又∵，∴BD⊥面PAC，又∵面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD【小问2详解】过点O作OE⊥PC交PC于点E，连接BE，由（1）知BD⊥平面PAC，平面PAC，∴BD⊥PC，又∵OE⊥PC，且∴PC⊥平面BOE，又∵平面BOE，∴PC⊥BE则ÐBEO是二面角B-PC-A的平面角．设，，则在Rt△POC中，，，得，在Rt△BOE中，∴ 故二面角的余弦值为．