浙江省温州市2021-2022学年高一数学下学期期末试题(B卷)（Word版附解析）

温州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（B卷）选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的坐标表示求解.【详解】解：因为，所以（3，-4），故选：C2.在中，角、、的对边分别是、、，若，则（）A.6B.7C.D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理计算可得；【详解】解：由余弦定理，即，所以；故选：B3.设，若复数是纯虚数(为虚数单位)，则（）A.0B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可； 【详解】解：因为，因为复数是纯虚数，所以，解得；故选：A4.已知两个平面，两条直线，满足，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】ABC均可以举出反例，D选项，可以根据面面垂直的判定进行证明.【详解】A选项，若，则或与异面，A错误；B选项，若，则或与斜交，或，B错误；C选项，如图，满足，但，C错误；D选项，根据面面垂直的判定，可知若，则故选：D5.月日是世界读书日，中国新闻出版研究院每年发布全国国民阅读调查报告．下面是年我国成年国民阅读情况折线图，记平均图书阅读率和平均数字化阅读方式接触率分别是和，相应的标准差分别是和，则下列说法正确的是（） A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】利用平均数可判断和的大小关系，利用数据的波动性程度可判断和的大小关系，即可得出合适的选项.【详解】由平均数公式可得，，所以，，由图可知，数字化阅读方式接触率的波动幅度较大，则.故选：D.6.已知向量，向量，则在上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的求解公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为故选：A7.奖金分配是《概率论》中的一道经典问题：甲、乙两人比赛，假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为，先胜3局者将赢得全部奖金8万，但进行到甲胜0局，乙胜2局时，比赛因故不得不终止，为公平起见，甲应分配到（）A.0万B.1万C.万D.4万【答案】B【解析】【分析】求出进行到甲胜0局，乙胜2局时，甲获胜的概率，从而求出甲应分配到的钱数.【详解】接下来，甲要获胜，则要连胜3场，因此甲获胜的概率为，因此甲应分配到（万元）故选：B8.如图，在Rt中，点是斜边的中点，点在边上，且，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设出，利用列出方程，求出，进而求出答案.【详解】因为，点是斜边的中点，设，则，由勾股定理得：， 因为在Rt中，，所以，而，因为，所以，解得：或（舍去），所以故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（）A.长方体B.圆台C.四棱台D.正四面体【答案】ACD【解析】【分析】利用特例判断A、C，显然B错误，画出图形，根据正方体的性质判断D；【详解】解：对于A：若长方体底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确；对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确；对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中，取的中点，的中点，取的中点，的中点，依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确； 故选：ACD10.疫情带来生活方式和习惯的转变，短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中B.在份有效样本中，短视频观众年龄在岁的有人C.估计短视频观众的平均年龄为岁D.估计短视频观众年龄的分位数为岁【答案】BCD【解析】【分析】根据频率和为可构造方程求得，知A错误；由频率和频数的关系可求得观众年龄在岁的人数，知B正确；由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD正确.【详解】对于A，，，A错误；对于B，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在岁的人对应频率为，短视频观众年龄在岁有人，B正确；对于C，平均年龄，C正确；对于D，设分位数为，则，解得： ，D正确.故选：BCD.11.已知是等腰直角三角形，，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】通过斜二测画法的定义可知BC为轴时，为最大值，以BC为轴，则此时为最小值，故的长度范围是，C选项可以以AB为轴进行求解出，从而求出正确结果.【详解】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，A正确，以BC为轴，则此时，则的长度范围是，若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，则，，由勾股定理得：，C正确； 故选：AC12.如图，已知均为等边三角形，分别为的中点，为内一点(含边界)．，下列说法正确的是（）A.延长交于，则B.若，则为的重心C.若，则点的轨迹是一条线段D.的最小值是【答案】ABC【解析】【分析】A选项，作出辅助线，根据面积比求出，判断A选项；B选项，建立平面直角坐标系，设出边长为1，写出各点的坐标，然后写出直线CN，BM，AG的方程，联立后求出的坐标，求出与的重心坐标，两者重合；C选项，设出点的坐标，利用向量关系及求出，得出C正确；D选项，利用C选项，得到，结合，求出的最小值.【详解】A选项，因为已知均为等边三角形，分别为的中点， 连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M，则，所以，则，，A正确；以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，延长AD交BC于点G，延长CF交AB于点N，由A选项可知：，设边长为1，则，则直线，直线BM：，联立直线CN与BM，求得：，所以，直线AG：，联立直线AG与BM，求得：，所以，联立直线AG与CN，求得：，所以，因为，则为的重心， 则，即，而的重心为，即，故为的重心，B正确；设，，结合B选项中建立的坐标系，可知：，即，解得：若，则，整理得：，因为为内一点(含边界)，所以点的轨迹是一条线段，C正确；结合C选项，可知，其中，当时，取得最小值，最小值为，故D错误. 故选：ABC【点睛】建立平面直角坐标系，利用坐标来解决平面向量问题，对于一些平面向量问题可以做到事半功倍.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直播带货已成为一种新的消费方式，据某平台统计，在直播带货销量中，服装鞋帽类占，食品饮料类占，家居生活类占19%，美妆护肤类占，其他占．为了解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知在抽取的样本中，服装鞋帽类有560件，则家居生活类有_____________件【答案】380【解析】【分析】根据服装鞋帽类的件数，求出，进而求出家具生活类件数.【详解】，故家具生活类件数为.故答案为：38014.从长度为的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是_____________．【答案】##【解析】【分析】首先列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从长度为、、、的条线段中任取条有、，，共4种取法，满足三条线段能构成一个三角形的有，共2种取法，所以三条线段能构成一个三角形的概率；故答案为：15.如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________． 【答案】##【解析】【分析】取的中点，连接，，即可得到即为异面直线与所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形，即可得解；【详解】解：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，所以且，且，所以即为异面直线与所成的角或其补角，又，，，所以，，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以；故答案为：16.已知平面向量，满足，，则的最小值是_____________．【答案】【解析】【分析】根据，得到，进而得到的夹角，不妨设，得到，设，由，得到点C是以 为圆心，以1为半径的圆求解.【详解】解：因为，所以，则，设，所以，因为，所以，设，则，设，则，因为，所以，即，所以点C是以为圆心，以1为半径的圆，所以的最小值是原点到圆心的距离减半径，即，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．17.已知、是非零向量，，且、．（1）求与夹角；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得；（2）根据及数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：因为，所以，即，即，所以，因为，所以；【小问2详解】解：18.已知复数，是虚数单位．（1）求复数；（2）若复数，且，当是整数时，求复数满足的概率．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据复数的除法法则进行计算；（2）根据几何意义表达出对应图形，求出图形内的整数点，利用整数点的个数比求解出概率.【小问1详解】因为，所以，【小问2详解】，，且是整数，故对应的复数对应的点为围成如下图的矩形中的整数点（格点），有，，，，，共25个，，即，几何意义是以为圆心，1为半径的圆，此圆内的整数点有5个，为，故复数满足的概率为19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点是的中点． （1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，三棱锥的体积为，求的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）3【解析】【分析】（1）作出辅助线，构造平行四边形，证明线线平行，进而证明线面平行；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，得到边长之间的关系，再利用三棱锥的体积求出四棱锥的体积为，列出方程，求出正方体ABCD的边长，从而利用勾股定理求出的长.【小问1详解】取PC的中点G，连接DG，EG，因为E是的中点．所以EGBC，且，因为底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点，所以ODBC且，所以EGOD，且EG=OD，所以四边形ODGE为平行四边形，所以OEDG，因为平面，平面，所以平面 【小问2详解】取BC中点Q，连接PQ，OQ，因为O为AD中点，所以OQ⊥BC，因为顶点在底面的射影是线段的中点，所以PO⊥底面ABCD，因BC平面ABCD，所以PO⊥BC，因为，所以BC⊥平面OPQ，因为PQ平面OPQ，所以BC⊥PQ，所以∠PQO为二面角的平面角，所以∠PQO=45°，设正方形ABCD的边长为x，则PO=OQ=x，因为三棱锥的体积为，所以四棱锥的体积为即，解得：，由勾股定理得：，，20.有标号为质地相同的4个小球，现有放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件：第一次取出的是1号球；事件：两次取出的球号码之和为5．（1）求事件的概率；（2）试判断事件与事件是否相互独立，并说明理由；（3）若重复这样的操作64次，事件是否可能出现6次，请说明理由．【答案】（1） （2）相互独立，理由见解析；（3）有可能，理由见解析【解析】【分析】（1）用列举法列出所有可能结果，理由古典概型的概率公式计算可得；（2）由（1）求出，，从而得到，即可判断；（3）根据随机事件的定义判断即可；【小问1详解】解：记为第一次取出球的标号，为第二次取出球的标号，用数对表示两次取球标号的情况，所以有、、、、、、、、、、、、、、、共16种，满足事件的有共种，所以；【小问2详解】解：由（1）可得，，所以，所以事件与事件相互独立；【小问3详解】解：因为每次操作事件可能发生，也可能不发生，所以重复这样的操作次，事件发生的次数为次中的一种，所以事件有可能出现次；21.在锐角中，角、、的对边分别是、、，，且．（1）求角的值；（2）设是的中点，在①；②；③这三个条件中任选一个，求的面积．【答案】（1）（2）条件选择见解析，的面积为.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得出的值，再利用角的取值范围可求得角的 值；（2）若选①，利用正弦定理可求得的值，求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；若选②，利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果；若选③，利用余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：因为，则，由正弦定理可得，、，则，所以，，.【小问2详解】解：若选①，，，，由正弦定理可得，，所以，；若选②，由余弦定理可得，解得，所以，；若选③，为的中点，则，，由余弦定理可得， 所以，，即，①由余弦定理可得，即，②联立①②可得，所以，22.如图，在三棱台中，，，侧面平面．（1）求证：面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）在四边形中，证明，再利用面面垂直的性质推理作答.（2）连接，由（1）及已知证明平面，再作出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算作答.【小问1详解】在三棱台中，，而，则，显然，则，有，于是得，因侧面平面，侧面平面，平面，所以平面. 【小问2详解】由（1）知，平面，而平面，则，连，如图，因，，平面，则平面，又平面，因此，平面平面，在平面内过点作于，而平面平面，则有平面，连，从而得是直线与平面所成的角，在直角梯形中，，，，，在中，，则，，由平面可得，则，等腰中，底边上的高，由得：，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值是.【点睛】思路点睛：求直线与平面所成的角，先通过找直线在平面上的射影来找出直线与平面所成的角，再把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．