浙江省温州市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（B卷）（Word版附解析）

2022学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测数学试题（B卷）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上，2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净，3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答亲写在本试题卷上无效，选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案.【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以，故选：D2.已知空间的三个不共面的单位向量，，，对于空间的任意一个向量，（）A.将向量，，平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上 B.总存在实数x，y，使得C.总存在实数x，y，z，使得D.总存在实数x，y，z，使得【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的基底与共面向量充要条件逐项判断即可.【详解】解：对于A，当空间的三个不共面的单位向量，，作为空间直角坐标系的标准正交基底时，向量，，平移到同一起点即坐标原点，此时它们的终点形成边长为的正三角形，其外接圆半径满足，即，不是单位圆，故A不正确；对于B，由三个向量共面的充要条件可知，当向量，，共面时，总存在实数x，y，使得，但向量是空间的任意一个向量，即，，可以不共面，故B错误；对于C，由于向量，则向量是空间中的一组共面向量，不能作为空间的基底向量，所以当不与，共面时，则找不到实数x，y，z，使得成立，故C不正确；对于D，已知空间的三个不共面的单位向量，，，则向量不共面，所以可以作为空间向量的一组基底，则总存在实数x，y，z，使得，故D正确.故选：D.3.过两点，的直线在轴上的截距为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距.【详解】过两点，的直线的为，令，解得：，故选：A.4.已知椭圆的焦点为，，且c是a，b的等比中项，则在椭圆上使的点P共有（）A.0个B.2个C.4个D.8个【答案】C【解析】【分析】当为椭圆短轴的顶点时，，从而得出满足条件的点P个数.【详解】因为c是a，b的等比中项，所以，当为椭圆短轴的顶点时，最大，此时，，即，因此在第一象限内存在一点满足，结合对称性可知，在椭圆上使点P共有4个.故选：C5.已知是公差不为0的等差数列，是其前项和，则“对于任意，都有”是“的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式和充分性、必要性的概念求解即可.【详解】因为数列是公差不为0的等差数列，所以 ，当时，没有最大值，所以由对于任意，都有可得，所以，充分性成立；当时，，所以必要性不成立，故“对于任意，都有”是“的充分不必要条件，故选：A6.抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴．现有抛物线：，一平行于轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，消去得到关于的方程，利用韦达定理得到的值，然后表示两平行线间的距离，并求出其最小值为，而由题意可知最小值为，从而得到，抛物线方程得解.【详解】设，设两平行线间的距离为，由题意可知，，因为，而直线过点，则设直线方程为：，，因为，消去得，由韦达定理可得， 则，所以两平行线间的最小距离为，故抛物线方程为，故选：C7.已知椭圆：，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，据此类推：对任意的且，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，由此得到一个椭圆列：，，，，则椭圆的焦距等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】确定椭圆的离心率，根据椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，可得，结合可推出为首项为4，公比为的等比数列，即可求得，进而利用即可求得答案.【详解】由题意可设椭圆的长半轴为，短半轴为，焦半距为，对于椭圆：，有，则由题意可知所有椭圆的离心率都为， 由于椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，故，则，即，即为首项为4，公比为等比数列，故，所以，故椭圆的焦距等于，故选：B8.正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可.【详解】解：因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点，连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则， 因为M是棱上一动点，设，且，所以，则，因为，所以在直角三角形中可得：，所以，即，于是令，所以，，又函数在上为增函数，所以当时，，即线段MN长度的最小值为.故选：B.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.设直线：，：，下列说法正确的是（）A.当时，直线与不重合B.当时，直线与相交C.当时，D.当时，【答案】BD【解析】【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D.【详解】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误；对于B，联立，可得,当时，，此时方程组有唯一一组解，故直线与相交，B正确；对于C，时，若，则无解，此时；若，则有无数多组解，此时重合，故C错误；对于D，若，则由可得，即两直线斜率之积等于，故；若,则可得，此时满足，直线：，：，此时，故当时，，D正确，故选：10.已知空间向量，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则 D.若与夹角为锐角，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；对于B：结合向量的四则运算即可求解；对于C：利用投影的几何意义即可求解；对于D：根据向量的夹角公式即可求解.【详解】对于A：，，即：，解得：.故A选项正确；对于B：，，解得：.故B选项正确；对于C：在上的投影向量为：，即，代入坐标化简可得：，无解，故C选项错误；对于D：与夹角为锐角，，解得：，且与不共线，即，解得：，所以与夹角为锐角时，解得：. 故D选项正确；故选：ABD.11.已知为数列的前项和，下列说法正确的是（）A.若为等差数列，则，，为等差数列B.若为等比数列，则，，为等比数列C.若为等差数列，则，，为等差数列D.若为等比数列，则，，为等比数列【答案】ABC【解析】【分析】A选项，设出公差，利用等差数列前项和公式得到，从而得到，，成等差数列，A正确；B选项，考虑公比为1和公比不为1两种情况，得到，，成等比数列，B正确；C选项，利用等差数列前项和公式得到，C正确；D选项，考虑公比为1时满足，，为等比数列，当公比不为1时，，，不为等比数列，D错误.【详解】A选项：为等差数列，设公差为，所以，，，故，，因为，所以，，成等差数列，A正确；B选项，成等比数列，设公比为，若，则，则，故，故，，成等比数列， 若，则，，，所以，，则，，故，即，，成等比数列，综上：若为等比数列，则，，为等比数列，B正确；C选项，为等差数列，设公差为，则，，，因为，，故，则，，成等差数列，C正确；D选项，成等比数列，若，则，则，，为等比数列，若，则，，，则，，因为，所以，，不为等比数列，D错误.故选：ABC 12.如图，已知点P是椭圆上第一象限内的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，圆心在y轴上的动圆T始终与射线，相切，切点分别为M，N，则下列判断正确的是（）A.B.C.面积的最大值为D.当点P坐标为时，则直线PT的斜率是【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆的定义及圆外一点切线长性质可判断A，结合基本不等式可判断B，利用椭圆焦点三角形的角度与面积关系可判断C，根据角平分线定理可求解直线与轴交点坐标，从而可求直线的斜率来判断D.【详解】解：已知椭圆椭圆，则，所以左右焦点为，对于A，如下图，连接， 点P是椭圆上第一象限内的动点，所以，又圆心在y轴上，所以，动圆T始终与射线，相切，切点分别为M，N，所以，且，所以，切线长所以由图可得：，则，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时等号成立，又P是椭圆上第一象限内动点，所以，故，由于，故，故B不正确；对于C，取椭圆的上顶点为，连接，由椭圆可知，，所以，故， 由于P是椭圆上第一象限内的动点，所以，则，于是可得面积，故面积没有最大值，故C不正确；对于D，连接，设与轴的交点为，如下图：设，由题可得直线为的平分线，所以由角平分线定理可得：，即，整理得，因为当点P坐标为时，，所以，则，所以直线PT的斜率，故D正确.故选：AD.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆与圆内切，则有序实数对可以是______．（写出一对即可）【答案】（答案不唯一）【解析】 【分析】根据给定条件，求出两个圆的圆心、半径及圆心距，再结合两圆内切列式求解作答.【详解】圆的圆心，半径，圆，，圆心，半径，依题意，，则有，解得且，所以有序实数对可以是.故答案为：14.11世纪，阿拉伯数学家阿尔•卡克希利用几何方法推出了自然数的三次方的求和公式（如图所示），据此可知：______．【答案】2025【解析】【分析】利用图形的割补求面积，即可求得自然数的三次方的求和公式.【详解】由题知，可转化为一个底边长为：，高为：的直角三角形，其面积即是自然数的三次方的求和：，当时，. 故答案为：2025.15.二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.【答案】##【解析】【分析】先设平面与平面的夹角为，因为，，所以，，根据空间向量得，两边平方代入数值即可求出答案.【详解】设平面与平面的夹角为，因为，，所以，由题意得，所以所以，所以，所以，即平面与平面的夹角为.故答案为：或.16.已知点在抛物线上，B，C是抛物线上的动点且，若直线AC的斜率，则点B纵坐标的取值范围是______．【答案】【解析】 【分析】由已知得出，即可设出，，则根据已知可得与，与可解出，由整理为，根据已知得出关于的方程，在上有解，即可解出或，综合即可得出答案.【详解】点在抛物线上，，解得，即，设，，则，，直线AC的斜率，，解得：，，，且，由解得：，由可得：，整理化简为：，则关于的方程，在上有解， 则，解得：或，综上所述：点B纵坐标的取值范围是，故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知点及圆C：．（1）求过P且与圆C相切的直线方程；（2）以PC为直径的圆交圆C于A，B两点，求．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用点到直线的距离等于半径即可求解；（2）两圆相减即可得公共弦所在的直线方程，再根据点到直线的距离公式与垂径定理即可求解.【小问1详解】由题知，圆C的圆心，当k不存在时，，符合题意．当k存在时，设直线方程为，即，所以∴，即综上所述，切线方程为或 【小问2详解】以PC为直径的圆的方程为所以AB直线方程为所以C到直线AB的距离为∴.18.长方体中，，，点在棱上移动．（1）求证：；（2）当为棱的中点时，求与面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知以为坐标原点，以、、方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，令，其中，计算得出，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得与面所成角的正弦值.【小问1详解】由已知以为坐标原点，以、、方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知、、、、、，令，其中，则，，所以，，故；【小问2详解】由已知，，，，令面的法向量为，则，取，可得，所以，，因此，直线与面所成线面角的正弦值为．19.已知数列满足：，（）（1）写出，，并求的通项公式；（2）若数列（），求数列前n项和．【答案】（1），，的通项公式为：；（2）.【解析】【分析】（1）由递推公式求出，；根据递推公式求出；（2）利用错位相减法求和 【小问1详解】因为，，所以，解得：；解得：.当时，由，得，所以为常数列.又，得，所以.综上，，，的通项公式为：.【小问2详解】由，得，两边同乘以得：两式相减得：整理得：.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．（1）求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值；（2）若平面平面，求点A到直线l的距离．【答案】（1） （2）．【解析】【分析】（1）根据图形位置关系，作，，连接MF，ND补成棱柱确定线面、面面关系，即可求得BMN与平面PCD夹角的余弦值；（2）由（1）可得面面，结合线面关系，即可求点A到交线的距离．【小问1详解】解：∵，，∴∵面面，面面，又∵底面为正方形，∴，，，又面，则面PBC，故面PBC，面，∴，且面ABCD为正方形，如下图，作，，连接MF，ND，∴四边形、四边形为矩形，则∵M、N分别为AP和AC的中点∴B、M、F三点共线，B、N、D三点共线，易知：面与面为同一个平面，且面面，所以平面平面，∵，，又面∴面，结合，故面，又面，则，在矩形中，由面，面，故平面BMN与平面PCD夹角为，∵，，，∴∴ ∴平面BMN与平面PCD夹角的余弦值为；【小问2详解】解：由（1）知四边形为矩形，所以，由（1）知：面，又面，故∵面面∴A到直线l的距离即A到直线的距离，即为线段的长，∴A到直线l的距离为21.已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点．（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）存在，【解析】【分析】（1）由题意椭圆与抛物线共焦点，由焦点得出基本量，即可求出椭圆与抛物线的方程.（2）分直线的斜率存在与不存在，在直线斜率不存在时求出直线方程，并验证是否成立，再求直线斜率存在时，设直线的斜率为，联立直线与椭圆方程，求得当满足时直线的斜率，即可求得直线方程.【小问1详解】由，，得，， 所以椭圆的方程：，由，得，所以抛物线的方程：．【小问2详解】当直线斜率不存在时，，得，，不符合；当直线斜率存在时，设，，，，由得，，，，由得，，，，，由，得，，，经检验符合.故存在直线，方程为.22.广州塔外形优美，游客都亲切地称之为“小蛮腰”，其主塔部分可近似地看成是由一个双曲面和上下两个圆面围成的．其中双曲面的构成原理如图所示：圆，所在的平面平行，垂直于圆面，AB为一条长度为定值的线段，其端点A，B分别在圆，上，当A，B在圆上运动时，线段AB形成的轨迹曲面就是双曲面．用过的任意一个平面去截双曲面得到的截面曲线都是双曲线，我们称之为截面双曲线．已知主塔的高度，，设塔身最细处的圆的半径为 ，上、下圆面的半径分别为、，且，，成公比为的等比数列．（1）求与的夹角；（2）建立适当的坐标系，求该双曲面的截面双曲线的渐近线方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，过A作圆面于点，直线与塔身最细处的圆的公共点为L，L在圆面上射影为H，结合线面垂直求出作答.（2）建立平面直角坐标系，结合（1）中信息，求出点A的坐标，设出双曲线方程即可代入求解作答.【小问1详解】过A作圆面于点，连接，如图，则有， 令塔身最细处的圆的圆心为O，直线与圆O的公共点为L，过L作交于H，连接，必有，圆面，圆面，则，而平面，有平面，平面，则，又圆面，则，显然圆面圆面，有，因此，依题意：，，，，，于是得，所以与的夹角为.【小问2详解】由（1）知，，，在直角中，，因此，解得，，以塔身最细处的圆的圆心O为原点，以所在直线为y轴，以圆O的一条平行于的直径所在的直线为x轴， 建立平面直角坐标系，则双曲线的顶点坐标为，设双曲线方程为：，设，，令交x轴于点K，显然四边形是平行四边形，则，解得：，即，代入双曲线方程得：，解得：，所以双曲线的渐近线方程为．