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浙江省温州市2022-2023学年高二数学上学期期中考试试题(Word版含解析)
浙江省温州市2022-2023学年高二数学上学期期中考试试题(Word版含解析)
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2022-2023学年浙江省温州市高二年级上学期期中考试数学试题一、单选题(本大题共8题,每题5分,共40分)1.设集合,,则等于( )A.B.C.D.2.若a,,则“复数为纯虚数是虚数单位”是“”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.向量,分别是直线,的方向向量,且,,若,则( )A.12B.14C.16D.184.已知定义域为R的奇函数,满足,且当时,,则的值为( )A.B.0C.1D.25.若圆锥的表面积为,其侧面展开图为一个半圆,则下列结论正确的为( )A.圆锥的母线长为1B.圆锥的底面半径为2C.圆锥的体积为D.圆锥的侧面积为6.在三棱锥中,,且,E,F分别是棱CD,AB的中点,则EF和AC所成的角等于( )A.B.C.D.7.已知,,,则( )A.B.C.D.8.在正方体中,点P满足,且,直线与平面所成角为,若二面角的大小为,则的最大值是( ) A.B.C.D.二、多选题(本大题共4题,每题5分,共20分)1.设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的有( )A.若,,m,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,,则2.已知,对于,,下述结论正确的是( )A.B.C.D.3.已知,为双曲线的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则( )A.B.C.双曲线C的离心率为D.双曲线C的渐近线方程为4.在正三棱锥中,,,E,F分别为BC,PC的中点,若点Q是此三棱锥表面上一动点,且,记动点Q围成的平面区域的面积为S,三棱锥的体积为V,则( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题(本大题共4题,每题5分,共20分)5.将函数的图象向右平移个单位长度后的图象过原点,则m的最小值是__________.6.若点在幂函数的图象上,则的值为__________. 1.已知四面体ABCD中,,平面ACD,平面ABD,则四面体ABCD外接球的半径是__________2.已知,分别是椭圆的左右焦点,P是椭圆C上一点,若线段上有且只有中点Q满足其中O是坐标原点,则椭圆C的离心率是__________.四、解答题(本大题共6题,共70分)3.已知圆C的圆心在x轴上,且经过点,求圆C的标准方程;若过点的直线l与圆C相交于M,N两点,且,求直线l的方程.4.已知函数求函数的值域;若对任意的,不等式恒成立,求实数a的取值范围.5.某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩单位:分进行分析,随机抽取100名学生,将分数按照分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图:估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数;为了进一步了解学生对数学学习的情况,由频率分布直方图,成绩在和的两组中,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率. 1.已知四棱锥中,,,,,,求证:求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.2.在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知的内角A,B,C的所对的边分别为a,b,c,__________.若,求求的最大值.3.已知点P在圆上运动,过点P作x轴的垂线段PQ,Q为垂足,动点M满足求动点M的轨迹方程过点的动直线l与曲线E交于A,B两点,与圆O交于C,D两点,求的最大值; 是否存在定点T,使得的值是定值?若存在,求出点T的坐标及该定值;若不存在,请说明理由. 答案和解析1.【答案】D 【解析】解:由,解得或, 2.【答案】B 【解析】解:若复数为纯虚数,且,,且可推出,但,不一定得到,且,“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 3.【答案】B 【解析】解:,,存在非零实数k,使得,,解得,,即, 4.【答案】A 【解析】解:满足,由函数对称性可知关于对称,且,由奇函数性质可知,所以可得,所以是以4为周期的周期函数,则当时,所以,所以 5.【答案】C 【解析】解:设圆锥的底面半径为r,母线为l,由于其侧面展开图是一个半圆,则,即,又圆锥的表面积为,所以表面积,解得,得母线长, 则圆锥的高,所以侧面积,体积 6.【答案】B 【解析】解:如图所示:取BC的中点G,连接FG,,F分别是CD,AB的中点,,,且,又,,为EF与AC所成的角或其补角,,,为等腰直角三角形,,即EF与AC所成的角为 7.【答案】A 【解析】解:,,,平方分析可知,,,综上: 8.【答案】C 【解析】解:,且,在平面上, 设正方体的棱长为1,则可知为棱长为的正四面体,可求得点到平面的距离,且到平面的垂足为等边的中心,设为,连接并延长交于点O,显然O为和的交点,又与平面所成角为,则,可求得,在以为圆心,半径的圆上,且圆在平面内,易证得,,而AC与为平面内两相交直线,平面,即可得到点在直线上,又平面,平面平面,且两个平面的交线为AO,把两个平面抽象出来,如下图,作交AO于M点,过点M作交AD于N点,连接MN,平面平面,平面,平面平面, 平面,,又,MN与PM为平面PMN中两相交直线,故平面PMN,,为二面角的平面角,即为角,设,,得,当M与点不重合时,在中,可求得若M与点重合时,即当时,可求得,也符合上式,故,,,,,,令,则,当,即时等号成立,故的最大值是 9.【答案】BD 【解析】解:若,,m,时,根据面面平行的判定定理应该还需要m、n 相交于一点,才可以得到,故A错误;根据线面垂直的性质可知,当,,有,故B正确;若,时,根据直线与平面平行的判定定理可知,应该还需要,才可以得到,故C错误;直接根据线面垂直以及线线垂直的性质,可以判断当,,时,有,故D正确. 10.【答案】AC 【解析】解:对于A,,A正确.对于B,取,,,,B错误.对于C,当,,则,,,满足,当,时,,由在R上的单调性知,,满足,当,时,同理满足,当,时,,,,,满足,故,C正确.对于D,取,,,,不满足,D错误. 11.【答案】BC 【解析】解:双曲线C:,则,P为双曲线C上任意一点,根据双曲线的定义可得,则,故A错误;根据向量知识集合双曲线得定义,可得,当且仅当P为实轴端点,等号成立,故B正确; 由于,,则双曲线C的离心率,故C正确;因为双曲线C:,则双曲线C的渐近线方程为,故D错误. 12.【答案】ACD 【解析】解:由题意知,直线PE垂直于动点Q围成的平面区域所在的平面,当时,正三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形,侧面PAB、PAC、PBC都是以P为直角顶点的等腰直角三角形,则此时正三棱锥的体积,由题意可知,动点Q围成的平面区域为如图所示的矩形FGHI,其中点F、G、H、I均为所在棱上的中点,且,,则该矩形的面积为,故A、C均正确;当时,正三棱锥即为棱长为2的正四面体,各个面都是边长为2的正三角形,则此时正三棱锥的体积, 由题意可知,动点Q围成的平面区域为如图所示的三角形FGH,其中点F、G分别为PC、PB的中点,且,,则该三角形的面积为,故B错误、D正确. 13.【答案】 【解析】解:平移后函数解析式为,由图象过原点,,,又,故时,m取最小值 14.【答案】4 【解析】解:因为为幂函数,则,,即,又点在函数的图象上,则,解得,所以 15.【答案】1 【解析】解:如图所示:将四面体ABCD放到长方体中,则四面体ABCD的外接球即为其所在的长方体的外接球,BC为长方体的体对角线即为外接球的直径,因此,四面体ABCD外接球的半径是 16.【答案】 【解析】解:当P为长轴的端点时,不满足条件,故不妨设,当Q为中点时,则,,,且,在中,,假设Q不为中点,设,,在中,,,整理得:,又线段上有且只有中点Q满足,故关于t的方程两根相等,,化简得:,又,求得 17.【答案】解:设圆C的标准方程为,其中,半径为,记线段AB中点为D,则,又直线AB的斜率为1,由条件得线段AB中垂线CD方程为,由圆的性质,圆心在直线CD上,化简得,所以圆心,,所以圆C的标准方程为;因为直线l与圆C相交的弦长,圆心到直线l的距离, 当直线l的斜率不存在时,l的方程,此时,不符合题意,舍去.当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程,即,由题意得,解得或,故直线l的方程为或,即或,综上直线l的方程为或18.【答案】解:因为定义域为,则,设,则,所以值域为因为,所以,设,则,原问题化为对任意,,即,因为当且仅当即时,取等号,即的最小值为3,所以19.【答案】解:由,可得样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为,在130分以下所占比例为,因此,第80百分位数一定位于内,由,所以样本数据的第80百分位数约为 由题意可知,分数段的人数为人,分数段的人数为人用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生,则需在内抽取2人,分别记为a,b,内抽取3人,分别记为x,y,z,设“从样本中抽取2人,至少有1人分数在内”为事件A,则样本空间为共包含10个样本点,而事件,包含7个样本点,所以,即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为 20.【答案】解:在梯形ABCD中,,,,,可算得,所以,在中,,,满足,所以,又平面PBD,平面PBD,且,所以平面PBD,又因为平面PBD,所以;由证明可知,平面PBD,因为平面ABCD,则平面平面ABCD,取BD中点O,连OP,OC,因为,所以,而平面ABCD,且平面平面,平面PBD,所以就是PC与平面PBD所成的角,在中,易得,在中,,,计算可得,所以, 所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为解法由证明可知,平面PBD,因为平面ABCD,则平面平面ABCD,通过计算可得,建立以,为x轴,y轴的正方向,以过D与平面ABCD垂直的向量为在z轴的正方向建立如图空间直角坐标系,显然z轴再平面PBD中且垂直于BD,则,,,,所以,,,设平面PBD的法向量为,则,即取,设直线PC与平面PBD所成角为,则 ,所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 21.【答案】解:若选①,由正弦定理可得,,当时,代入得,,整理可得,,在中,,所以,所以,即,又C为三角形内角,所以,所以若选②,当时,代入得,,,,,又因为,,所以,所以若选①,因为,所以,,,在中,,,所以选②,因为,所以,,, 在中,,所以,,由,及在上递减,可得,进一步得,所以,所以,设,则,,当时,最大值为 22.【答案】解:设点,,因为,所以,所以,即动点M的轨迹E的方程为①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,联立方程组,可得,则恒成立,且,,,,所以,设,则, 则,得,当且仅当时取到,此时最大值是②当直线l的斜率不存在时,则直线l为,可得,,此时,综上,最大值是当直线l的斜率存在时,设,,,可得,,,要使得上式为定值,即与k无关,则满足且,解得,,即点,此时,当直线l的斜率不存在时,直线l为,解得,,所以,综上可得,存在定点,使得
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发布时间:2023-02-09 08:29:11
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