浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版含解析）

杭州学军中学2022学年第一学期期末考试高二数学试卷一、单选题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根据抛物线的方程求出准线方程；【详解】因为抛物线，所以其准线方程为.故选：C.2.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用点到直线距离公式，列出不等式，求解作答.【详解】依题意，圆心到直线的距离，解之得，所以实数b的取值范围是.故选：D3.已知空间两不同直线m，n，两不同平面，，下列命题正确的是（）A.若且，则B.若且，则 C.若且，则D.若不垂直于，且，则不垂直于【答案】C【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系结合选项即可逐一求解.【详解】对于A,若且，则或者异面，或者相交，故A错误，对于B,若且，则，故B错误，对于C，若且，则，故C正确，对于D，若不垂直于，且，则有可能与垂直,例如在正方体中，不垂直平面,平面,但是,理由如下：平面，平面,所以又，平面,所以平面,平面,故，故D错误，故选：C4.直线的方程为：，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果.【详解】若直线斜率不存在，即不经过第二象限，若直线斜率存在，即，所以， 综上实数的取值范围为，选C.【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题．5.若a，b是异面直线，下列四个命题中正确的是（）A.过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都平行B.过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都相交C.过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都垂直D.过不在a，b上任一点P，必可作平面与a，b都平行.【答案】C【解析】【分析】根据异面直线的定义，结合线线平行、线面平行、线面垂直的性性质逐一判断即可.【详解】A；设过P的直线为，如果，显然可得，这与a，b是异面直线相矛盾，因此本选项不正确；B：在a任取一点M，在b上任取一点N，直线MN上的点才可作一条直线与a、b都相交．其它的点不行，因此本选项不正确；C：过点作，显然确定一个平面，显然存在一条直线，，过P点一定存在直线与平行，因此本选项正确；D：经过空间任意一点不一定可作一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，因此本选项不正确；故选：C6.已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.【详解】解：因为四边形是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，因为圆的半径为，抛物线的通径为，所以有：，解得 故选：D7.已知菱形边长为1，，对角线与交于点O，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点O到直线距离的最值为（）A.最小值为，最大值为B.最小值为，最大值为C.最小值为，最大值为D.最小值为，最大值为【答案】B【解析】【分析】首先由二面角的定义可知，，再在中解决点到直线的距离的最值.【详解】，，菱形边长1，，，点到的距离当时，取得最大值,当，取得最小值,故选：B8.已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD 的斜率总为，则椭圆的离心率为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分，共24分）9.如图，长方体被平面BCFE截成两个几何体，其中E，F分别在和上，且，则以下结论正确的是（）A.B.平面C.几何体为棱台D.几何体为棱柱【答案】ABD【解析】【分析】A由长方体的性质及线线平行的推论判断；B根据线面平行的判定判断；C、D根据棱台、棱柱的定义判断正误.【详解】由及，得，则A正确；由，平面，平面，得平面，则B正确；以两个平行的平面和为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形 的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C错误（由于延长后不交于一点，则几何体不为棱台）；以两个平行的平面和为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则D正确，故选：ABD10.已知曲线：，下列结论正确的是（）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若，则是双曲线，其焦点在轴上C.若，，则是两条直线D.若，则是圆【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆方程、双曲线方程、直线方程、圆的方程特征进行逐一判断即可.【详解】对于A：当时，，由，所以是椭圆，其焦点在轴上，因此本选项不正确；对于B：当时，，由，所以是双曲线，其焦点在轴上，因此本选项正确；对于C：当，时，，所以是两条直线，因此本选项正确；对于D：若，显然不成立，所以没有轨迹，因此本选项不正确；故选：BC11.若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（）A.的取值范围是 B.能构成空间的一个基底C.“”是“P，A，B，C四点共面”的必要不充分条件D.【答案】ABD【解析】【分析】利用向量的夹角的定义判断A；利用空间向量的基底的性质判断B；利用共面向量定理判断C；利用向量数量积公式判断D.【详解】解：因为，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，对于A，由向量所成角的定义得，故正确；对于B，因为不共面，所以能构成空间一个基底，故正确；对于C，因为，3-1-1=1，所以P，A，B，C四点共面；当P，A，B，C四点共面时，不一定有成立，所以“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件，故错误；对于D，==，故正确.故选：ABD.12.如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（） A.B.C.D.若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率【答案】BCD【解析】【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出的坐标，即可得，由的取值范围即可得，从而可判断A，由中点坐标公式可判断是的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合可判断D.【详解】先求双曲线上一点的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由，得，所以，则在的切线斜率，所以在点处的切线方程为：又有，化简即可得切线方程为：.不失一般性，设是双曲线在第一象限的一点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程是，联立：，解得：，联立：，解得：， 则，又因为，所以，即，A错误；由，可知是的中点，所以，B正确；易知点的坐标为，则，当点在顶点时，仍然满足，C正确；因为，所以，，因为，则，解得，即，代入，得，所以，，所以，所以，，所以离心率，D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点的切线方程，并联立渐近线方程，求得的坐标，判断出是中点. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是__________【答案】.【解析】【详解】试题分析：解：因为A（1，3），B（-5，1），所以AB的中点坐标（-2，2），直线AB的斜率为：，所以AB的中垂线的斜率为：-3，所以以A（1，3），B（-5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y-2=-3（x+2），即3x+y+4=0．故答案为3x+y+4=0．考点：直线方程点评：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力．14.若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为______.【答案】2【解析】【分析】根据圆面积公式算出底面半径r＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．【详解】解：∵圆锥底面积为，∴圆锥的底面半径为，满足，解得又∵圆锥的侧面积为，∴设圆锥的母线长为，可得，，解之得故答案为：【点睛】本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．15.已知是抛物线上的动点，记点到直线：的距离为，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】作直线：的平行线且与抛物线相切，再求两平行线间的距离即可．【详解】设直线直线：的平行线为且与抛物线相切，联立，整理得，则，得， 则的最小值为．故答案为：．16.已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.【答案】【解析】【分析】设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接,O1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】如图：设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则，AO1在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E∴过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为2π． 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π，4π]【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．四、解答题（本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.等差数列的前项和为，已知，，求（1）数列通项公式；（2）的前项和的最小值.【答案】（1）（2）-30【解析】【分析】（1）根据数列的基本公式求出通项公式，（2）根据（1）表达出，利用二次函数性质求出的最小值.【小问1详解】由已知得，解得，所以.【小问2详解】.当或6时，有最小值-30.18.已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，. （1）求四棱锥的体积；（2）是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1（2）存在，或【解析】【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积；（2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与，均垂直的向量，进而利用异面直线BF，DE的距离为1建立等式求出a.【小问1详解】∵侧面为正方形，∴，又，且，面，∴平面，又，∴平面，取BC中点G，则，∴平面.∴.【小问2详解】以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图， 则，，，设，则，，设与，均垂直的向量为，则，即，取，∴异面直线BF，DE的距离，解得或.∴或.故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时或.19.，分别为椭圆：的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆上的一点，满足，且的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三.角形，是以B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形，求的面积.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用题目条件建立的方程组，进而求出椭圆C的方程； （2）联立直线与椭圆表示出的横坐标,进而表示出，利用等角三角形求出k的值，从而求出的面积.【小问1详解】设，由，得.∵点E在椭圆C上，∴，即.①∵的周长为，∴，即.②联立①②解得，，∴.∴椭圆的方程为.【小问2详解】不妨设M，N分别在y轴左、右侧，设：，则：.由消去得.∴点的横坐标.以代k得点的横坐标.∴，.∵，∴.即.解得，，.的面积.当时，；当时，. 20.如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.（1）在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；（2）若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得的值；（2）先由直线到平面的距离为求得的长度，再利用平面与平面法向量的夹角公式去求平面与平面夹角的正弦值.【小问1详解】在四棱锥中，，异面直线与所成的角为.即,又为两相交直线，则平面取PD中点F，连接EF，又，则，则平面又四边形中，，则，则三直线两两互相垂直以E为原点，分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图： 设，则，，，，，，,设平面PBE的一个法向量为，则，即，令，则，则设，则由直线平面，可得，即则，解之得，则，又，则【小问2详解】由直线到平面的距离为，得点C到平面的距离为，又，为平面PBE的一个法向量则，即，解之得，则，，设平面的一个法向量为，又则，即，令，则，则设平面与平面夹角为则 又，则21.已知点，在双曲线E：上．（1）求双曲线E的方程；（2）直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当时，证明：直线l过定点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解的值，进而得双曲线方程；（2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得的关系，进而可得直线过定点.【小问1详解】由题知，，得，所以双曲线E的方程为．【小问2详解】由题意知，当l⊥x轴时，与重合，由可知：是的中点，显然不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为，联立，消去y得，则，即，且，设，，，， AB方程为，令，得，AN方程为，令得，由，得，即，即，即，将，代入得即，所以，得或，当，此时由，得，符合题意；当，此时直线l经过点A，与题意不符，舍去所以l的方程为，即，所以l过定点．