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浙江省温州市2021-2022学年高一数学下学期期末试题(A卷)(Word版附解析)

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温州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数,其中为虚数单位,则复数的虚部是()A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法计算以及虚部的定义求解即可【详解】,故复数的虚部是1故选:A2.向量,若,则()A.1B.C.4D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示代入即可求出答案.【详解】向量,若,则,则,解得:.故选:A.3.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,且满足,则下列命题正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】B【解析】【分析】通过举反例可判断ACD,由面面垂直判定定理可判断B.【详解】在正方体中,记平面ABCD为,平面为,(1)当记为n,直线为m,时,可知A错误;(2)当记为n,直线为m,时,可知C错误;(3)记AC为m,为n时,可知D错误;由面面垂直判定定理 可知B正确.故选:B4.向量,则在上的投影向量是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解:因为向量,所以在上的投影向量是,故选:C5.月日是世界读书日,中国新闻出版研究院每年发布全国国民阅读调查报告.下面是年我国成年国民阅读情况折线图,记平均图书阅读率和平均数字化阅读方式接触率分别是和,相应的标准差分别是和,则下列说法正确的是() A.,B.,C.,D.,【答案】D【解析】【分析】利用平均数可判断和的大小关系,利用数据的波动性程度可判断和的大小关系,即可得出合适的选项.【详解】由平均数公式可得,,所以,,由图可知,数字化阅读方式接触率的波动幅度较大,则.故选:D.6.轴截面为正方形的圆柱内接于球,则它们的表面积之比是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】轴截面正方形的边长既是底面圆直径,也是高;正方形的对角线为球的直径,即可设出长度,求出表面积,即有表面积之比【详解】轴截面如下图,ABCD为正方形,设圆柱底面圆直径,则球直径,故圆柱表面积为,球表面积为 ,故它们的表面积之比为,故选:C7.奖金分配是《概率论》中的一道经典问题:甲、乙两人比赛,假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为,先胜3局者将赢得全部奖金8万,但进行到甲胜0局,乙胜2局时,比赛因故不得不终止,为公平起见,甲应分配到()A.0万B.1万C.万D.4万【答案】B【解析】【分析】求出进行到甲胜0局,乙胜2局时,甲获胜的概率,从而求出甲应分配到的钱数.【详解】接下来,甲要获胜,则要连胜3场,因此甲获胜的概率为,因此甲应分配到(万元)故选:B8.如图,二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点,为半平面内一点,且,若直线与平面所成角为为的中点,则线段长度的最大值是() A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】自点引平面的垂线,垂足为,则A,B两点在以CO为高的圆锥的底面圆周上,将问题转化为轨迹问题,分别找出线面角和二面角的位置,结合解三角形知识即可解得的最大值为【详解】如图,自点引平面的垂线,垂足为,因为,则A,B两点在以CO为高以CA,CB为母线圆锥的底面圆周上,所以当A,B两点运动到公共棱上时AD最大.自点引公共棱的垂线OH,则,不难解出,在中,由余弦定理得:,又在中由余弦定理得:故选:.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.在中,角所对的边分别为的面积为根据下列条件解三角形,其中有两个解的是()A.B.C.D. 【答案】CD【解析】【分析】对A,根据为等腰三角形判断即可对B,由三边确定判断即可对C,根据面积公式判断即可对D,根据面积公式与余弦定理分析可得有两个解即可【详解】对A,易得为等腰三角形,故,,故仅一个解;对B,因为三边均确定,且满足任意两边大于第三边,故有唯一解;对C,由面积公式可得,故,故有两解;对D,由可得,故,故,即,结合,有,故可得有两组解.故选:CD10.疫情带来生活方式和习惯的转变,短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选.某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况,向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷,共回收有效样本份,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图,则()A.图中B.在份有效样本中,短视频观众年龄在岁的有人C.估计短视频观众的平均年龄为岁 D.估计短视频观众年龄的分位数为岁【答案】BCD【解析】【分析】根据频率和为可构造方程求得,知A错误;由频率和频数的关系可求得观众年龄在岁的人数,知B正确;由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD正确.【详解】对于A,,,A错误;对于B,由频率分布直方图知:短视频观众年龄在岁的人对应频率为,短视频观众年龄在岁的有人,B正确;对于C,平均年龄,C正确;对于D,设分位数为,则,解得:,D正确.故选:BCD.11.如图,在梯形中,为线段的两个三等分点,将和分别沿着向上翻折,使得点分别至(在的左侧),且平面分别为的中点,在翻折过程中,下列说法中正确的是()A.四点共面B.当时,平面平面C.存在某个位置使得D.存在某个位置使得平面平面【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项,直线MN与直线CD为异面关系,所以A错误;对于B选项,当时,其长度恰好等于底面梯形中位线的长度,易知M,N两点在底面的投影恰好落在DE和CF上,可得平面平面;对于C选项,可找出NF的平行线,将垂直的判断转化为异面直线所成角;对于D选项,从翻折的过程看二面角的变化趋势可得.【详解】对于A选项:如图,分别取EF,CF的中点Q,S,连接AP,BP,DQ, 易知均是边长为2的正三角形,所以在翻折过程中M,N两点在底面的射影分别落在直线PA和PB上,如图2,易知,设M,N两点到底面的距离分别为,则,因为平面,所以,又,所以,易得,则,则易知共面,共面,易知异面,所以不在同一平面内,则A错误;对于B选项:当时,恰有,则MNSO为平行四边形,由对称性知此时,M,N两点在底面的射影即为O,S两点,所以,得平面平面,则B正确;对于C选项:过M点作交EF于T,即为DM与FN所成角,易知在翻折过程中,又因为,则当时,,即,所以C正确;当,由B选项知,平面平面,平面平面,此时DE与CF的夹角即为平面与平面的夹角,易知此时的夹角为,而与在翻折的极限位置为,即两平面的夹角的最大值为,所以在连续变化过程中必存在某个位置使得平面平面,所以D正确.故选:BCD.12.如图,已知均为等边三角形,分别为的中点,为内一点(含边界),,下列说法正确的是() A.若,则为的重心B.若,则的轨迹为一条线段C.若,则的取值范围是D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对A,结合向量平行四边形法则,可得O在中线的三分点上,即可判断;对B,结合向量的三角形法则,,代入化简可得,进一步结合AC中点G及在G上CB的平行线,即可判断的轨迹;对C,与B同理,可判断的轨迹为线段JK,其中JK为截取HI的部分(HI为与AC平行的中位线),结合三角形相似,求出HK、HJ与AC的比值,即可求得范围;对D,设,,则,则要使有最小值,P需在DE上,由三角形相似,可得,代入可得x与y的关系式,即可通过消元化简,即可讨论最小值,可得P在E上最小,可得,通过解三角形求得BN、BQ,即可进一步求得该最小值【详解】对A,如下图,,故,故为的重心,故A对; 对B,如下图,G、H、I为AC、AB、BC中点,故,则的轨迹在直线GH上,故的轨迹为直线GH在内的部分,故B对;对C,在上图基础上,延长AD、EB交BC、AC于M、N,HI交AD、EB于K、J,交AB于L,易得,即P在线段JK上对于,故,故,即;又,易得,为等边三角形,,故,同理可得,故,即; 故的取值范围是,故C错;对D,设,,则,要使有最小值,则需尽可能大,即在DE上,由上得,,故,故,故当最小时,即P在E上最小,,故,由上易得,故,故,故,故最小,故最小故D对故选:ABD非选择题部分 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.直播带货已成为一种新的消费方式,据某平台统计,在直播带货销量中,服装鞋帽类占,食品饮料类占,家居生活类占19%,美妆护肤类占,其他占.为了解直播带货各品类的质量情况,现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本.已知在抽取的样本中,服装鞋帽类有560件,则家居生活类有_____________件【答案】380【解析】【分析】根据服装鞋帽类的件数,求出,进而求出家具生活类件数.【详解】,故家具生活类件数为.故答案为:38014.如图,在四面体中,,,、分别为、的中点,,则异面直线与所成的角是_____________.【答案】##【解析】【分析】取的中点,连接,,即可得到即为异面直线与所成的角,再由线段关系及勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形,即可得解;【详解】解:取的中点,连接,,因为为的中点,为的中点,所以且,且,所以即为异面直线与所成的角或其补角,又,,,所以,,所以,所以,所以为等腰直角三角形,所以; 故答案为:15.如图,在Rt中,点是斜边的中点,点在边上,且,则___________.【答案】【解析】【分析】设长后列方程求解【详解】设,则,由题意得,即,解得,此时,得,故答案为:16.已知,且,实数满足,且,则的最小值是___________.【答案】##0.25【解析】【分析】在平面直角坐标系中,令,由此求出与坐标,再用x,y表示出 ,然后借助柯西不等式求解作答.【详解】在平面直角坐标系中,令,设,则,,解得,则,依题意,不妨令,,而,则,有,当且仅当,即时取“=”,而,则,当且仅当时取“=”,因此,,当且仅当且,即且时取“=”,所以当,,时,取得最小值.故答案为:【点睛】思路点睛:已知几个向量的模,探求向量问题,可以在平面直角坐标系中,借助向量的坐标表示,利用代数方法解决.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过和或演算步骤.17.已知复数,是虚数单位.(1)求复数; (2)若复数,且,当是整数时,求复数满足的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据复数的除法法则进行计算;(2)根据几何意义表达出对应图形,求出图形内的整数点,利用整数点的个数比求解出概率.【小问1详解】因为,所以,【小问2详解】,,且是整数,故对应的复数对应的点为围成如下图的矩形中的整数点(格点),有,,,,,共25个,,即,几何意义是以为圆心,1为半径的圆,此圆内的整数点有5个,为 ,故复数满足的概率为18.有标号为质地相同的4个小球,现有放回地随机抽取两次,每次取一球.记事件:第一次取出的是1号球;事件:两次取出的球号码之和为5.(1)求事件的概率;(2)试判断事件与事件是否相互独立,并说明理由;(3)若重复这样操作64次,事件是否可能出现6次,请说明理由.【答案】(1)(2)相互独立,理由见解析;(3)有可能,理由见解析【解析】【分析】(1)用列举法列出所有可能结果,理由古典概型的概率公式计算可得;(2)由(1)求出,,从而得到,即可判断;(3)根据随机事件的定义判断即可;【小问1详解】解:记为第一次取出球的标号,为第二次取出球的标号,用数对表示两次取球标号的情况,所以有、、、、、、、、、、、、、、、共16种,满足事件的有共种,所以;【小问2详解】解:由(1)可得,,所以,所以事件与事件相互独立;【小问3详解】解:因为每次操作事件可能发生,也可能不发生,所以重复这样的操作次,事件发生的次数为次中的一种,所以事件有可能出现次;19.如图,四棱锥的底面四边形为正方形,顶点 在底面的射影为线段的中点是的中点,(1)求证:平面;(2)求过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比.【答案】(1)证明见解析(2)或【解析】【分析】(1)取PC中点F,证四边形ODEF为平行四边形,即可由线线平行证线面平行;(2)过点的截面为平面ADEF,则截出的两部分可看作四棱锥与三棱锥组合,以及三棱锥与三棱锥组合;利用几何关系,跟别求出各部分体积的占比,即可得出比值【小问1详解】由题,如图,取PC中点F,连接EF、DF,则EF为的中位线,故,,故四边形ODEF为平行四边形,故,又平面PCD,平面PCD,故平面【小问2详解】由(1)得,过点的截面为平面ADEF,截出的两部分可看作四棱锥与三棱锥组合,以及三棱锥与三棱锥组合;由是的中点,易得,;由是的中点,易得;故过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比为 20.在①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并求解.问题:如图,在中,角所对的边分别为是边上一点,,,若_________,(1)求角A的值;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)选①:用余弦定理可得;选②:由内角和定理化简,再由二倍角公式可得;选③:由正弦定理边化角可得;(2)由已知结合(1)可求,再由正弦定理可得b、c比值,利用余弦定理可表示出a,然后由已知和余弦定理可解.【小问1详解】选①:由题知;选②:,因为,,所以; 选③:由正弦定理边化角可得:,同②可得.因为,所以【小问2详解】因为,,所以由解得所以所以记则,即因,所以所以,得所以因为,所以,所以21.如图,在正六边形中,,为上一点,且交于点 (1)当时,试用表示;(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据正六边形的性质和平面向量的线性运算结合图形可得;(2)记,,借助F、G、H共线可得和之间的关系,然后根据平面向量的线性运算表示出所求,利用对勾函数的性质可得.【小问1详解】由正六边形性质可知,,因为,所以所以【小问2详解】记,则,…①将代入①整理得 因为F、G、H共线,所以,即又,所以将代入上式整理可得令,则由对勾函数可知,当在区间上单调递减,所以当时,取得最大值6;当时,取得最小值4.所以的取值范围为.22.在三棱台中,,,侧面平面(1)求证:平面;(2)求证:是直角三角形;(3)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)因为侧面平面,且交线为,故要证明平面,只需证明即可,在四边形根据直角三角形中的角度关系证明即可; (2)在上取一点使得,设,连接,根据余弦定理可得,再根据线面垂直的性质与判定可得平面,进而得到,再根据线段比例,结合线面平行的判定可得,进而得到是直角三角形(3)利用等体积法,可求得到的距离,进而求得直线与平面所成角的正弦值即可【小问1详解】四边形中,因为,故四边形为梯形,,故,,且,故,又,故,故.又侧面平面,且交线为,故平面【小问2详解】在上取一点使得,设,连接.因为,则由余弦定理可得,解得,因为,故.由(1)平面,平面,故,又,平面,故平面.又平面,故.又梯形中,根据平行线中两三角形的性质有,故,又,故,故,故.故是直角三角形【小问3详解】 由(2),,故,故到的距离为.设到的距离为,则因为,即,所以,解得.设直线与平面所成角为,则,即直线与平面所成角的正弦值为

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-04-14 08:00:02 页数:23
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文章作者:随遇而安

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