重庆市2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022年春高一（下）期末联合检测试卷数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将分子分母同乘以分母的共轭复数，化简为复数的标准形式a+bi(a,b∈R)，b即为虚部.【详解】，所以复数的虚部是．2.设向量，，，则（）A.-6B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题意，，即.故选：A3.设空间中的平面及两条直线a，b满足且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线、平面的位置关系，结合充分和必要条件定义作出判断.【详解】当时，因为且，所以与可能相交；当时，因为且，所以；即“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：分位数50%分位数60%分位数70%分位数80%分位数90%分位数户月均用电量（单位：）150162173195220如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题设户均用电量的百分位数对应的值，结合电量覆盖要求即可得第二档电量区间.【详解】由题意，第一档用电量区间为，第二档用电量区间为.故选：C5.已知的面积为，则（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】由向量数量积的定义及三角形面积公式可得，结合三角形内角性质即可求.【详解】由题设，，又，所以，即，而，故.故选：C6.在正方体中，与直线不垂直的直线是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在正方体中，借助线面垂直关系进行判断.【详解】如图所示，在正方形中，；因为平面，故；连接、，因为，所以与所成的角为，不垂直；易得平面，所以；所以C正确.故选：C.7.已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（）A.2B.C.D.1 【答案】B【解析】【分析】设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，由题意确定下底面的半径为，由圆台的侧面积公式求出，由此求解圆台的高即可．【详解】解：设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，所以下底面的半径为，又母线长，圆台的侧面积为，则，解得，则圆台的高．故选：B．8.从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，列举出从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动的情况，进而结合古典概型求解即可.【详解】解：设分别表示三对夫妇，从中随机抽选2人参加采访活动的情况有：，，，，共15种；其中，恰好抽到一对夫妇的概率为，共3种，所以，恰好抽到一对夫妇的概率为.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于复数z及其共轭复数，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】分析】根据题意，设，则，进而依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意，设，，则，，，，故选：ABD10.设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解.【详解】设与的夹角为，对于A,当为锐角时，不一定相等，故A错误，对于B.当为锐角时，=，成立，当为钝角时，=，成立，当为直角时，成立，故正确；对于C.,故C对，对于D.，故D错误.故选：BC.11.已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件 “第一次抽到的零件为次品”，事件“第二次抽到的零件为次品”，事件“抽到的两个零件中有次品”，事件“抽到的两个零件都是正品”，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用事件之间的关系，结合概率的加法、乘法公式求解.【详解】，，所以A正确；因为，，故，所以B错误；因为，,即A、B为对立事件，故，所以C正确；，，所以D错误故选：AC.12.某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5℃，则需全员进行核酸检测.该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是（）A.中位数是1，平均数是1B.中位数是1，众数是0C.中位数是2，众数是2D.平均数是2，方差是0.8【答案】AD【解析】【分析】利用中位数、众数、平均数和方差的定义逐项判断.【详解】A.因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为从小到大的顺序为a，b，1，c，d，因为平均数是1，所以，若，则，不合题意，故正确；B.设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4，满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C.设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4， 满足中位数2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D.设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为a，b，c，d，e，因为平均数是2，方差是0.8，则，，即，则，若，从方差角度来说，不满足，所以，故正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在中，，，，则__________.【答案】【解析】分析】已知两边及其夹角，利用余弦定理求解第三边.【详解】在中，，，，由余弦定理得，所以.故答案为：.14.如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出直观图正方形 的面积，由直观图和原图的面积关系分析可得答案．【详解】解：根据题意，正方形的边长为2，其面积，其该平面图形的面积，故答案为：．15.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是__________.【答案】【解析】【分析】先计算基本事件的样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可.【详解】连续投掷2次，骰子点数的样本空间为，2次点数之和为8的有：，故有种，其概率为；故答案为：.16.如图，是棱长为6的正四面体，为线段的三等分点，为线段的三等分点，过点分别作平行于平面，平面，平面，平面的截面，则正四面体被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，取中心，连接，进而得平面，再根据几何体关系计算得，，进而得正四面体被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为.【详解】解：如图，取中心，连接， 因为是棱长为6的正四面体，所以平面，根据几何关系：，，，所以正四面体的体积为：，因为平面平面，为线段三等分点，所以，三棱锥的高，所以，所以正四面体被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，，，，点D，E分别在边，上，且，，设.（1）求x，y的值；（2）求.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得，即可得解；（2）根据数量积的定义求出，再根据，利用数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：因为，，所以，，所以所以，；【小问2详解】解：因为，所以，所以；18.某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为，，，且三人是否晋级彼此独立.（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）正难则反，先求三个人全没有晋级的概率，再用对立事件求概率即可；（2）分成三种情况，分别考虑其中有一人没有晋级的情况.【小问1详解】设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为，依题意；【小问2详解】设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为，依题意.19.如图，在正三棱柱中，M，N分别为棱，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；（2）依题意可得、，即可得到平面，再由，即可得到平面，从而得证；【小问1详解】证明：取的中点，连接，，因为，分别为棱，的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面；【小问2详解】证明：∵平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因为，所以平面，又平面，所以平面平面；20.学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间内，且根据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率0.054000.30.1合计10001 （1）求图中a的值；（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）补全直方表数据，根据频率和为1求参数a；（2）利用直方表及中位数的求法求1000名学生此次数学考试成绩中位数.【小问1详解】由题设，频率直方表如下：分组频数频率500.051504000.43000.31000.1合计10001所以，可得.【小问2详解】由（1）知：，所以中位数位于内，令中位数为，则，可得. 21.如图1，在梯形中，，，，将沿折成如图2所示的三棱锥，且平面平面.（1）证明：；（2）设N为线段的中点，求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知及勾股定理可证，再由面面垂直的性质证面，根据线面垂直的性质证结论.（2）由等体积法有求出到面距离，再证明求出，即可求线面角的正弦值，进而求其正切值.【小问1详解】由，且，，所以等腰中，若为中点，则为正方形，所以，且，故，所以，则，又面平面，面平面，平面，所以面，而面，则.【小问2详解】由（1）知：面，且为等腰直角三角形，所以，而，故， 由面，有，而，且，所以，若到面距离为，则，所以.由（1），，，而，故，所以，而N为线段的中点，故，所以，若直线与平面所成角为，则，故.22.如图，边长为2的等边所在平面内一点满足（），点在边上，.的面积为，记，.（1）用，及表示；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量的运算求解即可；（2）由题知，，进而得，设三角形在边上的高为，根据几何关系得，再结合基本不等式求解即可.【小问1详解】解：因为是边长为2的等边三角形，，所以，， 所以【小问2详解】解：因为，，，，所以，，设三角形在边上的高为，则，所以，因为（），所以，所以，即，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.