重庆市渝东六校共同体2021-2022学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

渝东六校共同体高2024届（高一下）联合诊断性测试数学试题一､单选题1.下列等式中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依据向量加法判断选项CD；依据向量减法判断选项AB.【详解】，则不一定成立.选项A判断错误；.选项B判断错误；.选项C判断错误；.选项D判断正确.故选：D2.已知向量､满足，，则（）A.1B.3C.5D.7【答案】C【解析】【分析】利用向量的坐标运算直接求解.【详解】因为，，所以，所以.故选：C.3.△ABC中，，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】依据正弦定理去求的值.【详解】因为，，所以由正弦定理得，故选：B.4.已知向量､，且，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义和平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】设与的夹角为，因为，所以，而，所以，所以，即从而，，故选：D5.已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（）A.10B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别求出侧面积和底面积，即可得到表面积.【详解】由于直观图是正方形，所以ABCD是两邻边分别为1与3，高为的平行四边形， 其周长是，面积是，所以直四棱柱的表面积是.故选：C6.设是非零向量，则“存在实数λ，使得”是“”的（）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合向量共线和充分、必要条件等知识确定正确选项.【详解】依题意是非零向量，“存在实数λ，使得”，“”同向，所以“存在实数λ，使得”是“”的必要而不充分条件.故选：C7.棱长为4的正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，则较小部分的体积是（）A.B.20C.D.【答案】C【解析】【分析】观察到较小部分是一个棱台，使用台体的体积公式求解即可. 【详解】较小部分是一个棱台，上､下底面积分别为2､8，高是正方体棱长4，所以体积为，故选：C.8.如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB､AC两边交于M､N两点（M､N与B､C不重合），设，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依据三点共线得到关于的等式，再依据均值定理去求的最小值【详解】因为G是△ABC的重心，所以由于M､G､N共线，所以，即所以（当且仅当即时取等号）故选：D二､多选题9.下列命题中的真命题有（）A.复数的虚部是B.C.复数的模为5时实数D.若z的共轭复数仍是z，则 【答案】BD【解析】【分析】根据复数的基本概念对选项一一分析即可得出结果．【详解】由复数虚部概念知的虚部是，排除A；由复数乘法法则计算知B正确；复数的模为5时实数，排除C；若z的共轭复数仍是z，则z的虚部为0，所以D中的命题为真．故选：BD．10.已知平面向量，，与的夹角为，则下列命题中正确的有（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】由向量的定义判断A，根据垂直的坐标表示判断B，由模的坐标表示求出模判断C，由数量积求得向量的夹角余弦判断D.【详解】对于A选项，向量不能比较大小，排除A；对于B选项，，排除B；对于C选项，，C正确；对于D选项，，D正确.故选：CD11.设△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】AC【解析】 【分析】利用正弦定理与二倍角的正弦公式可得或，从而可得正确的选项.【详解】由正弦定理知：，，，由知：所以，所以，而，所以或，即或所以△ABC是等腰三角形，或直角三角形，故选：AC.12.如图，在棱长为的正方体中，M､N､P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（）A.存在点Q，使B､N､P､Q四点共面B.存在点Q，使平面MBNC.三棱锥P-MBN的体积为D.经过C､M､B､N四点的球的表面积为.【答案】ABD【解析】【分析】利用空间中的平行关系的转化可判断AB的正误，利用体积公式可判断C的正误，利用补体可求经过C、M、B、N四点的球的半径，从而可判断D的正误. 【详解】如图，在正方体中，连接，，因为N，P分别是，的中点，所以，又因为，所以，所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；连接，，，则，所以，故选项C错误；分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径， 即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D正确.故选：ABD三､填空题13.已知复数z满足，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】表示到坐标原点的距离为的的集合（单位圆），再根据复数模的几何意义，可求出的取值范围；【详解】解：设，，所以表示到坐标原点的距离为的点的集合（单位圆），而表示单位圆上点到点的距离，其最小值是，最大值是，所以的取值范围是.故答案为：.14.已知向量､，其中，且，则下列与的夹角等于___________.【答案】【解析】【分析】因为，所以，展开可得，再由夹角公式可得.【详解】利用夹角公式求出向量与的夹角因，所以，即又，所以，所以 所以，所以故答案为：（或120°）.15.在单位正方体中，点E为AD的中点，过点B，E，的平面截该正方体所得的截面面积为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，取的中点，连接、、、，分析可得四边形为平行四边形，则要求的截面就是四边形，进而可得为菱形，连接、，求出、的长，计算可得答案．【详解】根据题意，取的中点，连接、、、，易得，，则四边形为平行四边形，过点，，的截面就是，又由正方体为单位正方体，则，则为菱形，连接、，易得，，则，即要求截面的面积为，故答案为：． 16.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________.【答案】【解析】【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果.【详解】设，则如图由题可知：，由所以，则所以， 又所以所以即所以又所以所以故答案为：【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.四､解答题17.已知复数，.（1）求；（2）若满足为纯虚数，是z的共轭复数，求.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）依据向量除法规则去求的值；（2）先求得a的值，再去求的值.【小问1详解】【小问2详解】因为是纯虚数所以，，所以，所以：18.如图，在等腰直角三角形△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC､AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据圆切线的性质，结合锐角三角形函数定义进行求解即可； （2）根据圆圆锥和球的体积公式进行求解即可.【小问1详解】连接OM，则，设，在△BMO中，，；【小问2详解】由已知，设圆锥体积为，球的体积为∴.19.已知平面向量，，满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量为.（1）若与垂直，求的大小；（2）若，的夹角为，求向量与夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）易知，得到，再根据与垂直求解； （2）由题意得，即，再利用平面向量的夹角求解．【小问1详解】由题意得，即，则，又与垂直，，，所以；【小问2详解】因为，，的夹角为，所以，所以，，，．20.在△ABC中，已知，，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试在直线BM上求一点P（说明位置），使得？【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，以向量方法表达，从而确定点P的位置.【详解】以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系. ，，M是边AC上靠近点C的一个三等分点，所以，，，，设，，，由，可得，解之得所以当时，21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求B；（2）设D为边AC上一点，，且___________，求△ABC面积的最小值.从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．注：如果选择①和②两个条件分别作答，则按照第一个解答计分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式及三角形内角的关系，从而可得出答案；（2）选①，由，得，化简得，再利用余弦定理结 合基本不等式可求得的最小值，即可得出答案；选②，由，可得，则，再利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，即可得出答案.【小问1详解】因为，由正弦定理，得，即，所以，由，得，所以，即，因为，所以；【小问2详解】选①，由，得，化简得，由余弦定理，得，即，解得（当且仅当时取等号），所以△ABC的面积，故△ABC面积的最小值为.选②，由，得，即，化简得， 由，得（当且仅当取等号），所以△ABC的面积，故△ABC面积的最小值为．22.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD.点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得平面ABG；（2）过点A，E，F的平面交PD于点H，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值.【答案】（1）PC上靠近C的四等分点为G（2）【解析】【分析】（1）依据线面平行判定定理去确定点G；（2）先画出截面确定H点的位置，再去求的值.【小问1详解】由已知得，点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，所以，取PC上靠近C的四等分点为G，则必有，则根据三角形相似，必有，又平面ABG，平面ABG则有平面ABG【小问2详解】延长FE，与延长CB交于M，连接MA，并延长与CD的延长线交于N， 连接FN，交PD于H，由（1）可得，由，可得，由可得，在三角形PCD中，取，连接FK，则，又，则，则.