重庆市渝东六校共同体2022-2023学年高二数学上学期期中联考试卷（Word版带答案）

渝东六校共同体高2024届（高二上）联合诊断性测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线方程为，则其倾斜角为（    ）A．B．C．D．2．已知向量，且与互相平行，则（    ）A．B．C．D．3．已知椭圈的两个焦点是，椭圆上任意一点与两焦点距离的和等于8，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．24．已知点,向量=，过点P作以向量为方向向量的直线L，则点到直线L的距离为（    ）A．0B．C．D．5．如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（    ）A．B．C．D．6．求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ）A．B．C．D．7．椭圆，为椭圆的一个焦点，长轴长是短轴的倍，椭圆上存在一点p与关于直线对称，则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．或8．在平面直角坐标系中，圆点T在直线上运动，若圆C上存在以为中点的弦，且，则点T的纵坐标的取值范围是（）A．B．C．D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（　　）　　C．l1∥l2的充要条件是a＝3．　D．点P（1，3）到直线l1的距离的最大值为5．C.当表示双曲线时，则的取值范围为(-2,4)．D．存在实数，使表示圆.11．已知圆C：x-12+y-22=9，直线L:y-1=kx-3．下列命题正确的有（    ）A．直线L与圆C可能相切．B．x轴被圆C截得的弦长为25．C．直线L被圆C截得的最短弦长为4．D．若直线L与圆相交于A,B两点，∆ACB面积的最大值为92．12．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ）A．当平面时，不可能垂直．B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为．Ｃ．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]．Ｄ．当时，的最小值为.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的一般方程为______．14．以椭圆的右焦点F为圆心,并过椭圆的短轴端点的圆的方程为________.15．如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为４，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______.16．在平面直角坐标系中有两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数的最小值为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．(10分)在中，已知点A（8,4），B（4,-1），C（-6,3）．（1）求BC边上中线的方程．（2）若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．18．(12分)如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P分别为CC1，BC，的中点．(1)求证：PN∥面ACC1A1；(2)求平面PMN与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．19．(12分)已知的两个顶点分别为椭圆x2+4y2=4的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.(1)求线段的长度；(2)求顶点的轨迹方程.20．(12分)已知平面内动点P与点Q-2,0，A2,0的斜率之积为-1。（1）求动点P的轨迹C的方程.（2）已知点P为第三象限内一点且在轨迹C上，B(0,2),直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.21．(12分)如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.（1）证明：；（2）若平面平面，在线段PD上是否存在点M，使得二面角的余弦值为，如果存在，求直线与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.（1）求椭圆的标准方程；（2）当椭圆Ｃ和圆O：x2+y2=1.过点A(m,0)(m>1)作直线l1和l2，且两直线 的斜率之积等于1，l1与圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M，N．（1）求m的取值范围；（2）求△OMN面积的最大值．渝东六校共同体高2024届（高二上）联合诊断性测试数学答案1.D2．D3．B4.B5.Ｃ6.Ａ7．Ｃ由题意知（１）当焦点在x轴上得，椭圆的方程为，椭圆上任取点，取焦点，则中点，根据条件可得，，两式联立，代入椭圆方程解得，，(2)当焦点在y轴上时，方程成立，由此可得椭圆的方程.故选Ｃ．8C为的中点，且，为直角三角形，，若，为切线，且，则，在中则，过点向圆引的两条切线的夹角不小于时，满足题意，则圆心到的距离不大于，即解得.故选：C.9ABD10BC11BCD【解析】直线L:y-1=kx-3，则无论k为何值，直线过定点．AB因为3-12+1-22<9，则点在圆的内部，直线与圆相交，故A错误；令y=0，则x-12=5，解得：x=1±5，故圆被x轴截得的弦长为25，故B正确；圆心，半径为3，，当截得的弦长最小时，，最短弦长为29-5=4，故C正确；当时，12<sin∠ACD的最小值=23<22π3<∠ACB<π∆ACB面积的最大值为12∙3∙3∙sinπ2=92.故D正确。故选：BCD.12：BD【详解】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，所以，，则，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则，即，则当时，，即P为中点时，有平面，且，故A不正确；B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，若与平面所成角为，则，所以，即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确；Ｃ选项：因为，所以点p一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，设的中点为Ｈ，由图形的变化可得当点p在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；故Ｃ错误. Ｄ选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理可知所以，故Ｄ正确；故选：BD13.4x-3y-6=014．x-32+y2=415．316.515题方法一：连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，为异面直线与所成角，即.在菱形中，，，，．设，则，　　　，，，点到直线的距离为.　　　故答案为：3.方法二　在菱形中，，，，．设，，可得设点到直线的距离为h又由等面积法可得,从而可得h=316：以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则．　设，且动点P满足，即，则，又因为时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，１为半径的圆内，即圆与圆相离或外切内切或内含，所以或，解得（舍去）或，所以实数的最小值为5．故答案为：5.17(1)x-3y+4=0.........5分 （2）x+4y=0或x+2y-2=0........5分18.(1)方法一：以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系，则，，，，．取向量为平面的一个法向量，，∴，∴．又∵平面，∴平面．．．．．．．５分方法二：设D为的中点．∵P，D分别为，的中点，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分别为，BC的中点，∴，且平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面．　　　　　　　　　　　　　．．．．．．５分方法三：取AC的中点Q，易证明与平行，∴平面．．．．．．５分(2)以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，．．．．．．．７分∴，，取向量为平面的一个法向量，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，则，．．．．．．．．10分∴，∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为．．．．．．．12分19【解析】(1)椭圆的方程为x2+4y2=4椭圆的方程为,分别为椭圆的左焦点和右焦点，,,线段的长度　　．．．．．．．5分(2)中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，．．．．．．．8分C点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且，．．．．．．10分顶点的轨迹方程为．．．．．12分20解：（1）设Px,y,由题意得：yx+2∙yx-2=-1x2+y2=4y≠0...........5分 (2)设Px0,y0,则x0<0,y0<0,x02+y02=4.因为kAP=y0x0-2直线AP：y=kAPx-2令x=0,则yM=-2y0x0-2<0.同理，xN=-2x0y0-2<0.．．．．．８分∴BM=2+2y0x0-2,AN=2+2x0y0-2SABNM=12ANBM=21+y0x0-21+x0y0-2．．．．．．．１０分=2x0+y0-22x0-2y0-2=2x02+y02+4-4x0+y0+2x0y0x0y0-2x0+y0+4=4．．．．．．．１２分21．详解：（1）连接，因为，，所以为正三角形，又点为的中点，所以.又因为，为的中点，所以.又，所以平面，又平面，所以……………………………..(5分)（2）由（1）知.又平面平面，交线为，所以平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，…………….(6分)设，则设平面的一个法向量为，可得，则………………….(8分)由（1）知平面，则取平面的一个法向量，由得………………..(10分)平面的法向量为又设直线与平面所成角为则………………………………….(12分) 22解：由已知得，椭圆的方程为x22+y2=1...............２分（1）①当1<m <2时，满足条件；................３分②当m≥2时，直线l2的斜率存在，设为k，则直线l2的方程为y=k(x-m)，即kx-y-km=0，两直线的斜率之积为1∵l1于圆O相切于点P，∴|-m|1+k2=1，化简得m2=1+k2，................４分由y=k(x-m)x22+y2=1得，(2k2+1)x2-4mk2x+2k2m2-2=0，∴△=(-4mk2)2-4(2k2+1)(2m2k2-2)>0，化简得，1+k2(2-m2)>0，由m2=1+k2得，k2=m2-1，代入上式化简得，m4-3m2+1<0，解得3-52<m2<3+52，又m≥2，则2≤m2<3+52，得2≤m<5+12，综上得，m的取值范围是(1,5+12)；...............６分（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，①当直线l2的斜率不存时，则1<m <2时，则直线l2的方程x=m，不妨设M(m,2-m22)，N(m,-2-m22)，∴|MN|=22-m22，则△OMN面积S=12×m×22-m22=m2(2-m2)2，由1<m<2得1<m2<2，当m2=1 时，△OMN面积S取到最大值22；...............８分②当直线l2的斜率存在，设为k，则直线l2的方程为y=k(x-m)，即kx-y-km=0，由（1）可知m2=1+k2，x1+x2=4mk22k2+1，x1x2=2m2k2-22k2+1，又|MN|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[(4mk22k2+1)2-4×2m2k2-22k2+1]=22(1+k2)[1+k2(2-m2)]2k2+1，又原点O(0,0)到直线l2的距离d=|-km|1+k2，∴△OMN面积S=12×|-km|1+k2×22(1+k2)[1+k2(2-m2)]2k2+1=2k2m2(1+2k2-k2m2)2k2+1=2m2k22k2+1-(m2k22k2+1)2，...............10分设t=m2k22k2+1，则S=2-t2+t，由1<m<5+12以及m2=1+k2得，0<t<1 ，所以当t=12时，△OMN面积的最大值是22，综上得，△OMN面积的最大值是22． ...............12分