四川省甘孜州2021-2022学年高一数学下学期期末统考试题（Word版附解析）

甘孜州2022学年学业质量统一监测期末统考高一数学总分:150分单项选择题5*121.已知平面向量，若，则实数（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据垂直关系的坐标表示，即可求解.【详解】解：,则，故选：A.2.已知等差数列中，，则该数列的公差为（）A.B.1C.或1D.【答案】B【解析】【分析】由等差数列前和公式求解．【详解】设公差为，∵等差数列中，，∴，．故选：B.3.的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.所以当时，函数有最小值4.故选：C.4.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式即可得解.【详解】解：因为，所以.故选：B.5.在中，若分别为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的数乘，由分别为的中点，根据平面向量的加法，可得答案.【详解】因为是的中点，所以.因为是的中点，所以. 所以，故选：C6.正方体中，是的中点，则异面直线.与所成角的正切值为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】连接，可证得为异面直线与所成的角，然后在中求解即可【详解】如图，在正方体中，连接，因为∥，所以为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为2，则，所以，因为平面，平面，所以，在中，,所以异面直线与所成角的正切值为故选：A 7.已知等差数列首项为，公差为，数列满足，记数列的前项和为，则（）.A2147B.1123C.1078D.611【答案】B【解析】分析】根据题意，写出通项公式，再得到通项公式，进行分组求和得到答案.【详解】由题意，，，所以.故选：B.8.若不等式的解集为，则（　）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．【详解】不等式的解集为，则方程根为、， 则，解得，，故选：D9.在中，若满足，则一定为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理把统一成边的关系式，然后化简变形，从而可得结果【详解】解：因为，所以由余弦定理得所以，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故选：D10.如图是一个几何体三视图，正视图是等腰直角三角形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的表面积是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原原图，从而计算出几何体的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为三棱柱，其表面积为.故选：B11.已知公比大于1的等比数列中，，则（）A.B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，进而可得，进而可求.【详解】由，可得:，又，且公比大于1，故可解得，所以，故选：D12.在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得；利用余弦定理可构造等量关系求得，进而得到；利用三角形面积公式，将表示为以为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值.【详解】由得：，即，由正弦定理得：；由余弦定理得：，，即，，，，，，，则当时，，.故选：A.填空题5*413.已知满足约束条件，则的最大值为________【答案】4【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图内部（含边界），作直线，由，得，表示直线的纵截距，直线向上平移时，增大，平移直线，当直线过，，故答案为:4.14.已知，则=__________【答案】##-0.5【解析】【分析】分子分母同除以，弦化切，即可.【详解】把式子的分子分母同除以，已知，所以.故答案为:.15.如图，已知船在灯塔的北偏东处，且到的距离为，船在灯塔的北偏西，、两船的距离为，则到的距离为_______.（不取近似值） 【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可求得结果.【详解】在中，，，，由余弦定理可得，所以，，因为，解得.故答案为：.16.三棱锥中，是边长为的正三角形，，若该三棱锥的每个顶点均在球的表面上，则球的体积是________【答案】【解析】【分析】根据球的截面圆外心与球心连线垂直于截面所在的平面，分别寻找、的外接圆圆心，进一步找到分别垂直于这两个截面的垂线，其交点即为外接球球心.【详解】如图所示， 在中，，所以，所以,又，得平面，设的中点分别为，连接，因为，所以平面，由平面，得，由是边长为的正三角形，所以，所以平面，过作平面，则，设的中心为，过作，交于点，则平面，所以点即为三棱锥外接球的球心，在中，，所以，在中，所以三棱锥的体积为.故答案为：.解答题17.已知集合.（1）求集合（2）若函数，求的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）解不等式即可求得；（2）利用均值不等式即可求得【小问1详解】解不等式，得，所以【小问2详解】 ，由均值不等式得:（当且仅当时取等），故的最大值为2.18.如图，棱长为2的正方体中，是的中点.（1）证明:平面;（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，连接，证明后得线面平行；（2）由计算体积．【小问1详解】连接交于，连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，平面；【小问2详解】 为中点，则，又正方体中，到平面的距离为，19.已知向量.（1）当时，求向量与的夹角;（2）求的最大值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）求出两向量的数量积，再根据即可得解；（2）求出坐标，再根据向量的模的坐标表示结合辅助角公式及三角函数的性质即可得出答案.【小问1详解】解：当时，，，设与的夹角为，则，而，，即与的夹角为；【小问2详解】解：， ，当时，取等号，的最大值为.20.四棱锥底面是边长为1的菱形，，是的中点，，平面.（1）求直线与平面所成角;（2）求证:平面平面.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据平面，可得为直线与平面所成角，解即可得解；（2）连接，易得为正三角形，则可得，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证.【小问1详解】解：平面， 为直线与平面所成角，在中，，，即直线与平面所成角为；【小问2详解】证明：连接，在中，由知该三角形为正三角形，而是中点，故，又，，平面，平面，，而，平面，平面，平面平面.21.在三角形中，角的对边分别为，已知（1）求角和边;（2）若点满足，求的长度【答案】（1），3（2）1 【解析】【分析】(1)根据正弦定理，边角互化，即可求解.(2)根据余弦定理，即可求解.【小问1详解】，而，,，，【小问2详解】，，中，由余弦定理知22.已知数列，前项和，满足.（1）求数列的通项公式;（2）若，求数列的前项和; （3）对任意，使得恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)利用前n项和法求通项(要注意讨论)(2)利用错位相减法求数列前n项和(3)恒成立问题利用分离参数法进行处理.【小问1详解】，时有，时有，，又，也符合上式，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，【小问2详解】由（1）知，，①，②由①-②有： 【小问3详解】而当时，有最大值，故的最小值是.