上海市松江二中2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

松江二中高一期末数学试卷2022.06一､填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每題5分，满分54分）.1.已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________.【答案】4【解析】【分析】利用弧长公式直接求得.【详解】扇形的圆心角为，为，设半径为r，由弧长公式可得：，解得：.故答案为：42.若，则正整数的值是___________.【答案】5或7【解析】【分析】根据组合数的性质可得或，进而可求出结果.【详解】因为，所以或，解得7或5，故答案为：7或5.3.设为实数，复数（其中为虚数单位），若为纯虚数，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】求出，代入化简，由纯虚数的定义即可得出答案.【详解】因为复数（其中为虚数单位），而为纯虚数,则,解得:.故答案为： 4.已知，则___________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的关系可得，进而求得即可【详解】因为，故，.故故答案为：5.已知无穷等比数列的首项，其前项和满足，则公比的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据无穷等比数列前n项和的极限可知且，可得，结合已知求即可.【详解】无穷等比数列的前项和为，首项为，公比，且，∴且，，则,则，解得：或又因为且， 所以公比的取值范围为：故答案为：6.记等差数列的前项和为，若，则___________.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为d，利用基本量代换列方程组求出首项和公差，即可求出.【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得：，所以.故答案为：40.7.近期，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”､“管控区”和“防范区”三类区域.现安排6位专家到这三类区域进行一天的疫情指导工作，其中“封控区”3人，“管控区”2人，“防范区”1人，专家甲不安排在“封控区”，则不同的安排方案一共有种___________.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】分专家甲安排在“防范区”和“管控区”两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：若专家甲安排在“防范区”，则有种方案，若专家甲安排在“管控区”，则有种方案，综上可得一共有种方案；故答案：8.已知方程的两个虚根满足，则的值是 ___________.【答案】【解析】【分析】由题意设，，利用根与系数的关系结合，求得与的值，则可求．【详解】方程程的两个虚根为、，可设，．，，因为，，联立解得：，．．故答案为：．9.如果复数满足（其中为虚数单位），那么的最大值是___________.【答案】##【解析】【分析】设，由可得，则表示的是圆上的点到点的距离，在跟圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.详解】解：设，则，所以，所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，因为表示的是圆上的点到点的距离，所以.故答案为：. 10.数列满足，若，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】当为奇数时，，将代入累加，可得；当为偶数时，，将代入运算，可得；结合已知条件列方程，可得答案．【详解】当为奇数时，，即，累加可得：；当为偶数时，，即，得：；又，即，解得，故答案为：11.已知向量满足，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是___________.①若，则的最小值为；②若，则存在唯一的，使得； ③若，则的最小值为；④若，则的最小值为.【答案】①②③④【解析】【分析】(1)将向量平方转化为求二次函数的最值问题；(2)将已知代入，由数量积为零计算出结果，只有一个值；(3)由已知得出，配方、三角换元求出值域；(4)先将已知条件化简，利用第(3)小题结论求出范围.【详解】(1)若，，，当时取得最小值，所以①正确；(2)若，，，解得，故②正确；(3)，若，，，令，，，所以③正确；(4)，若，时，由(3)知④正确.故答案为：①②③④12.已知为数列的前项和，且，则的值为___________.【答案】0 【解析】【分析】根据，关系化简计算得或，分情况讨论得解.【详解】，，两式作差，得，即,所以，所以或，当时，从第二项起为等差数列，公差为，与已知相矛盾，当时，，又，所以，而，所以，由题知，令，得，即，所以，得故答案为：0.二､选择题（共有4题，满分20分，每题5分）.13.设，那么等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据递推关系式求出，再作差即可；【详解】解：因为， 所以，故选：D14.设，则下列命题中的真命题为（）A.若，则B.若，则为纯虚数C.若，则或D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模性质判断C，取特例可判断D.【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误；当时，满足，但不为纯虚数，故B错误；当时，，故或，所以或，故C正确；当时，，，即，故D错误.故选：C15.已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，求出直线、的方程，联立可求得结果.【详解】因为，所以，直线的方程为，即，设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，此时直线的方程为，联立，解得，因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.故选：C.16.已知函数，各项均不相等的数列满足，，数列和的前项和分别为和，给出下列两个命题：①若，则；②存在等差数列，使得成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（）A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误【答案】A【解析】【分析】①先写出，列举出第一、第二项的和，第三、四项的和及第2021、2022项的和，从而得到成立；②由题得，由等差数列的性质得，分和结合正切函数的单调性及奇偶性求得，所以不存在这样的等差数列. 【详解】对于①，，当时，，，，，，，又，，在单调递增，则，，，，；所以①正确.对于②，，则，则，又，，，在单调递增，且为奇函数，若是等差数列，则，显然，当时，可得，可得，则，则，即， 同理可得，则，则；当时，可得，可得，则，则，即，同理可得，则，则，综上可得，即不存在等差数列，使得成立，②错误；故选：A.【点睛】本题考查数列和函数的综合应用，难度较大，命题①借助分组求和法，相邻两项为一组，即可求解；命题②借助等差数列的性质结合正切函数的奇偶性及单调性即可求解.三､解答题（共5题，满分76分）.17.已知复数为虚数单位.（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求复数的共轭复数.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算，然后根据第一象限点的特征列出关于的不等式组，解出答案即可（2）计算出，然后根据共轭复数的定义写出答案即可【小问1详解】 由题意，复数，∵复数在复平面上对应的点在第四象限，∴解得，∴实数的取值范围．【小问2详解】因为，所以，所以，所以．18.如图，在平行四边形中，，交于点.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平面向量基本定理化简计算可得；（2）以A为原点建立坐标系，表示出，根据单调性求取值范围. 【小问1详解】因为又所以，解得.【小问2详解】以A为原点建立如图坐标系，，因为，因为，令，则对称轴为，，所以在单调递增， 所以当时，，时，，的取值范围为.19.在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：①第一年的年薪为万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元.（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元）【答案】（1）证明见解析，（2）至少元【解析】【分析】（1）由题意可得出，利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）设数列、的前项和分别为、（单位：万元），计算出、，由，解出的范围，即可得解.【小问1详解】解：由题意可得，且，则，所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，所以，，故.【小问2详解】 解：设数列、的前项和分别为、（单位：万元），则数列是首项为，公差为的等差数列，所以，，，可得.所以，每年应至少发放元的交通补贴.20.已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式，并求的单调递增区间；（2）设的三内角的正弦值依次成等比数列，求的值域；（3）将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，或3时，；时， 【解析】【分析】（1）利用周期求出，利用特殊点求出，得到，利用复合函数单调性法则列不等式求出函数的单增区间；（2）先利用正、余弦定理求出，即可求出的值域；（3）利用他图像变换得到，进而得到.若，得到.令，.利用图像法求出m、n的范围.【小问1详解】由图像可得：，解得：，所以，解得：所以.又由图像可得：，又因为，所以，所以.要求函数的单增区间，只需，解得：，即的单调递增区间为.【小问2详解】因为的三内角的正弦值依次成等比数列，所以,由正弦定理得：.由余弦定理得：. 因为,所以.所以.因为在上单调递增函数，在上单调递减，所以的最大值为2，最小值为0，所以的值域为.【小问3详解】图像上所有点先向右平移个单位得到，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到.所以若，则.令，周期为，令.作出的图像如图所示： 要使存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点，只需：i.当或时，即或时，与在一个周期内只有1个公共点，此时，.ii.当或，即或时，与在每一个周期内均有2个公共点，只需.21.已知数列的前项和为，数列是 首项为3，公比为3的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若存在，使得成立，求实数取值范围；（3）若，是否存在正整数，使得依次成等差数列？若存在，求出所有的有序数组；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）根据通项公式与前项和的关系，结合累加法求解即可；（2）将题意转换为存在，使得成立，即求的最大值.再计算的正负区间，确定的最大项即可；（3）逐步分析，先判断当时不满足，再分析当，时也不满足，从而得到，再分析时有两组解或，再证明当时，不成等差数列即可【小问1详解】因为…①所以当时，…②①-②得：，整理得则由累加法可得： 整理得：又当时，上式也成立，所以的通项公式为【小问2详解】由题知，，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即求的最大值.又，故当时，，即，当时，，故当或时，取得最大值,所以的取值范围为【小问3详解】，由（2）因为，且，故若，则，，故，即不成等差数列，故.若，则，又，故不成等差数列，故.当时，此时，此时，解得.此时或，，，为或当时，因为，且，故，即，故，即当时，.又，故，故不成等差数列. 综上所述，有序数组为或【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解通项公式的方法，同时也考查了数列中的恒成立问题，以及整数类的存在性问题，需要根据题意逐步分析是否满足条件，并且适当用放缩的方法证明不等式，属于难题。