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上海市松江二中2021-2022学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)

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松江二中高一期末数学试卷2022.06一、填空题(共12题,1-6题每题4分,7-12题每題5分,满分54分).1.已知扇形的圆心角为,扇形的弧长为,则该扇形所在圆的半径为___________.【答案】4【解析】【分析】利用弧长公式直接求得.【详解】扇形的圆心角为,为,设半径为r,由弧长公式可得:,解得:.故答案为:42.若,则正整数的值是___________.【答案】5或7【解析】【分析】根据组合数的性质可得或,进而可求出结果.【详解】因为,所以或,解得7或5,故答案为:7或5.3.设为实数,复数(其中为虚数单位),若为纯虚数,则的值为___________.【答案】【解析】【分析】求出,代入化简,由纯虚数的定义即可得出答案.【详解】因为复数(其中为虚数单位),而为纯虚数,则,解得:.故答案为: 4.已知,则___________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的关系可得,进而求得即可【详解】因为,故,.故故答案为:5.已知无穷等比数列的首项,其前项和满足,则公比的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据无穷等比数列前n项和的极限可知且,可得,结合已知求即可.【详解】无穷等比数列的前项和为,首项为,公比,且,∴且,,则,则,解得:或又因为且, 所以公比的取值范围为:故答案为:6.记等差数列的前项和为,若,则___________.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为d,利用基本量代换列方程组求出首项和公差,即可求出.【详解】设等差数列的公差为d,由题意可得:,解得:,所以.故答案为:40.7.近期,某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”、“管控区”和“防范区”三类区域.现安排6位专家到这三类区域进行一天的疫情指导工作,其中“封控区”3人,“管控区”2人,“防范区”1人,专家甲不安排在“封控区”,则不同的安排方案一共有种___________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】分专家甲安排在“防范区”和“管控区”两种情况讨论,按照分类、分步计数原理计算可得;【详解】解:若专家甲安排在“防范区”,则有种方案,若专家甲安排在“管控区”,则有种方案,综上可得一共有种方案;故答案:8.已知方程的两个虚根满足,则的值是 ___________.【答案】【解析】【分析】由题意设,,利用根与系数的关系结合,求得与的值,则可求.【详解】方程程的两个虚根为、,可设,.,,因为,,联立解得:,..故答案为:.9.如果复数满足(其中为虚数单位),那么的最大值是___________.【答案】##【解析】【分析】设,由可得,则表示的是圆上的点到点的距离,在跟圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.详解】解:设,则,所以,所以复数对应的点在以为圆心,1为半径的圆上,因为表示的是圆上的点到点的距离,所以.故答案为:. 10.数列满足,若,则的值为___________.【答案】【解析】【分析】当为奇数时,,将代入累加,可得;当为偶数时,,将代入运算,可得;结合已知条件列方程,可得答案.【详解】当为奇数时,,即,累加可得:;当为偶数时,,即,得:;又,即,解得,故答案为:11.已知向量满足,则下列四个命题中,所有正确命题的序号是___________.①若,则的最小值为;②若,则存在唯一的,使得; ③若,则的最小值为;④若,则的最小值为.【答案】①②③④【解析】【分析】(1)将向量平方转化为求二次函数的最值问题;(2)将已知代入,由数量积为零计算出结果,只有一个值;(3)由已知得出,配方、三角换元求出值域;(4)先将已知条件化简,利用第(3)小题结论求出范围.【详解】(1)若,,,当时取得最小值,所以①正确;(2)若,,,解得,故②正确;(3),若,,,令,,,所以③正确;(4),若,时,由(3)知④正确.故答案为:①②③④12.已知为数列的前项和,且,则的值为___________.【答案】0 【解析】【分析】根据,关系化简计算得或,分情况讨论得解.【详解】,,两式作差,得,即,所以,所以或,当时,从第二项起为等差数列,公差为,与已知相矛盾,当时,,又,所以,而,所以,由题知,令,得,即,所以,得故答案为:0.二、选择题(共有4题,满分20分,每题5分).13.设,那么等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据递推关系式求出,再作差即可;【详解】解:因为, 所以,故选:D14.设,则下列命题中的真命题为()A.若,则B.若,则为纯虚数C.若,则或D.若,则【答案】C【解析】【分析】根据虚数不能比较大小判断A,取可判断B,根据复数模性质判断C,取特例可判断D.【详解】当为实数时,成立,否则不成立,故A错误;当时,满足,但不为纯虚数,故B错误;当时,,故或,所以或,故C正确;当时,,,即,故D错误.故选:C15.已知平面上三点坐标为、、,小明在点处休息,一只小狗沿所在直线来回跑动,则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为()A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设小狗的位置为点,当时,小狗距离小明最近,求出直线、的方程,联立可求得结果.【详解】因为,所以,直线的方程为,即,设小狗的位置为点,当时,小狗距离小明最近,此时直线的方程为,联立,解得,因此,小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.故选:C.16.已知函数,各项均不相等的数列满足,,数列和的前项和分别为和,给出下列两个命题:①若,则;②存在等差数列,使得成立.关于上述两个命题,以下说法正确的是()A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误【答案】A【解析】【分析】①先写出,列举出第一、第二项的和,第三、四项的和及第2021、2022项的和,从而得到成立;②由题得,由等差数列的性质得,分和结合正切函数的单调性及奇偶性求得,所以不存在这样的等差数列. 【详解】对于①,,当时,,,,,,,又,,在单调递增,则,,,,;所以①正确.对于②,,则,则,又,,,在单调递增,且为奇函数,若是等差数列,则,显然,当时,可得,可得,则,则,即, 同理可得,则,则;当时,可得,可得,则,则,即,同理可得,则,则,综上可得,即不存在等差数列,使得成立,②错误;故选:A.【点睛】本题考查数列和函数的综合应用,难度较大,命题①借助分组求和法,相邻两项为一组,即可求解;命题②借助等差数列的性质结合正切函数的奇偶性及单调性即可求解.三、解答题(共5题,满分76分).17.已知复数为虚数单位.(1)若复数在复平面上对应的点在第四象限,求实数的取值范围;(2)若,求复数的共轭复数.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)计算,然后根据第一象限点的特征列出关于的不等式组,解出答案即可(2)计算出,然后根据共轭复数的定义写出答案即可【小问1详解】 由题意,复数,∵复数在复平面上对应的点在第四象限,∴解得,∴实数的取值范围.【小问2详解】因为,所以,所以,所以.18.如图,在平行四边形中,,交于点.(1)若,求的值;(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由平面向量基本定理化简计算可得;(2)以A为原点建立坐标系,表示出,根据单调性求取值范围. 【小问1详解】因为又所以,解得.【小问2详解】以A为原点建立如图坐标系,,因为,因为,令,则对称轴为,,所以在单调递增, 所以当时,,时,,的取值范围为.19.在一次招聘会上,甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺:第一年的年薪为万元,以后每年的年薪比上一年增加元;乙公司的工资标准如下:①第一年的年薪为万元;②从第二年起,每年的年薪除比上一年增加外,还另外发放(为大于的常数)万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元.(1)证明数列为等比数列,并求的通项公式;(2)小李年初被这两家公司同时意向录取,他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准(不记其它因素),为了吸引小李的加盟,乙公司从第二年起,每年应至少发放多少元的交通补贴?(结果精确到元)【答案】(1)证明见解析,(2)至少元【解析】【分析】(1)由题意可得出,利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列,确定该数列的首项和公比,可求得数列的通项公式;(2)设数列、的前项和分别为、(单位:万元),计算出、,由,解出的范围,即可得解.【小问1详解】解:由题意可得,且,则,所以,数列为等比数列,且首项为,公比为,所以,,故.【小问2详解】 解:设数列、的前项和分别为、(单位:万元),则数列是首项为,公差为的等差数列,所以,,,可得.所以,每年应至少发放元的交通补贴.20.已知函数的部分图像如图所示.(1)求函数的解析式,并求的单调递增区间;(2)设的三内角的正弦值依次成等比数列,求的值域;(3)将图像上所有点先向右平移个单位,再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到的图像,记,是否同时存在实数和正整数,使得函数在上恰有2022个零点?若存在,请求出所有符合条件的和的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在,或3时,;时, 【解析】【分析】(1)利用周期求出,利用特殊点求出,得到,利用复合函数单调性法则列不等式求出函数的单增区间;(2)先利用正、余弦定理求出,即可求出的值域;(3)利用他图像变换得到,进而得到.若,得到.令,.利用图像法求出m、n的范围.【小问1详解】由图像可得:,解得:,所以,解得:所以.又由图像可得:,又因为,所以,所以.要求函数的单增区间,只需,解得:,即的单调递增区间为.【小问2详解】因为的三内角的正弦值依次成等比数列,所以,由正弦定理得:.由余弦定理得:. 因为,所以.所以.因为在上单调递增函数,在上单调递减,所以的最大值为2,最小值为0,所以的值域为.【小问3详解】图像上所有点先向右平移个单位得到,再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到.所以若,则.令,周期为,令.作出的图像如图所示: 要使存在实数和正整数,使得函数在上恰有2022个零点,只需:i.当或时,即或时,与在一个周期内只有1个公共点,此时,.ii.当或,即或时,与在每一个周期内均有2个公共点,只需.21.已知数列的前项和为,数列是 首项为3,公比为3的等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若存在,使得成立,求实数取值范围;(3)若,是否存在正整数,使得依次成等差数列?若存在,求出所有的有序数组;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在,或【解析】【分析】(1)根据通项公式与前项和的关系,结合累加法求解即可;(2)将题意转换为存在,使得成立,即求的最大值.再计算的正负区间,确定的最大项即可;(3)逐步分析,先判断当时不满足,再分析当,时也不满足,从而得到,再分析时有两组解或,再证明当时,不成等差数列即可【小问1详解】因为…①所以当时,…②①-②得:,整理得则由累加法可得: 整理得:又当时,上式也成立,所以的通项公式为【小问2详解】由题知,,因为存在,使得成立,所以存在,使得成立,即求的最大值.又,故当时,,即,当时,,故当或时,取得最大值,所以的取值范围为【小问3详解】,由(2)因为,且,故若,则,,故,即不成等差数列,故.若,则,又,故不成等差数列,故.当时,此时,此时,解得.此时或,,,为或当时,因为,且,故,即,故,即当时,.又,故,故不成等差数列. 综上所述,有序数组为或【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了数列中的恒成立问题,以及整数类的存在性问题,需要根据题意逐步分析是否满足条件,并且适当用放缩的方法证明不等式,属于难题。

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-04-16 09:20:03 页数:21
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文章作者:随遇而安

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