湘教版选修1-1同步练习3.4 生活中的优化问题举例

1．甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示，现有四种说法：①前三年该产品产量的增长速度越来越快；②前三年该产品产量的增长速度越来越慢；③第三年后该产品停止生产；④第三年后该产品的产量保持不变．其中说法正确的有(　　)．A．①④B．②④C．①③D．②③2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为(　　)．A．cmB．100cmC．20cmD．cm3．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)．A．B．C．D．24．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是(　　)．A．100B．150C．200D．3005．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？此时的高和它的最大容积分别是(　　)．A．1.2m,1.8m3B．1.1m,1.8m3C．1.8m,1.2m3D．1.2m,2.1m36．某厂生产某种商品x单位的利润是L(x)＝500＋x－0.001x2，生产__________单位这种商品时利润最大，最大利润是__________．7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要求体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__________．8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问：轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？此时的速度为__________，般行1海里所需的费用总和为__________． 参考答案1．B2．A　如图，设底面半径为r，高为h，则有＝sinθ，＝cosθ，∴V(θ)＝πr2·h＝8000πsin2θcosθ.∴V′(θ)＝16000πsinθcos2θ－8000πsin3θ.令V′(θ)＝0，解得tanθ＝，得唯一极值点．∴cosθ＝.∴h＝.3．C　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋(x＞0)，所以S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得唯一极值点x＝.4．D　设总利润为y，则y＝f(x)＝当x∈(400，＋∞)时，f′(x)＝－100≠0，此时y无最值．当x∈[0,400]时，f′(x)＝－x＋300.令f′(x)＝0，得x＝300.由f′(x)在x＝300处由正变负，故y在x＝300处有唯一极值点．又f(0)＜0，f(400)＜0，∴f(300)为最大值．5．A　设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为＝3.2－2x.由3.2－2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6.设容器的容积为ym3，则有y＝f(x)＝x(0.5＋x)·(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)．∴f′(x)＝－6x2＋4.4x＋1.6.令f′(x)＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0， 解得x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)．当x＝1时，y取最大值，y最大＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．∴当高为1.2m时容器的容积最大为1.8m3.6．500　750　L′(x)＝1－0.002x.令L′(x)＝0，得x＝500，此时L(500)＝750.由已知，L(x)在其定义域[0，＋∞)上只有一个极值点，所以生产500单位这种商品时利润最大，最大利润为750.7．3　设底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π.∴l＝.要使用料最省，只需使圆柱的表面积最小．∴S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·，∴由S表′＝2πR－＝0，得R＝3.因为S表有唯一极值点，故当R＝3时，S表最小．8．20海里/小时　4.92元　设速度为每小时v海里时燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系，得p＝k·v3，其中k为比例常数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么因每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以航行1海里的总费用q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.所以q′＝0.012v－＝(v3－8000)．令q′＝0，解得v＝20.又当v＜20时，q′＜0；当v＞20时，q′＞0，所以当v＝20时q取得最小值，即当速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用的总和最小，qmin＝0.006×20＋＝4.92(元)．