苏教版必修第一册课后习题第6章 习题课 指数函数图象与性质的综合应用

第6章幂函数、指数函数和对数函数习题课　指数函数图象与性质的综合应用1.已知a=1223,b=2-43,c=1213,则下列关系式中正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c答案B解析把b化简为b=1243,而函数y=12x在R上为减函数,又43>23>13,所以1243<1223<1213,即b<a<c.2.设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),f(2)=4,则(　　)A.f(-1)>f(-2)B.f(1)>f(2)C.f(2)<f(-2)D.f(-3)>f(-2)答案D解析由f(2)=4,得a-2=4,又a>0,∴a=12,即f(x)=2|x|,∴函数f(x)为偶函数,在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,故选D.3.函数y=3x+1-2,x∈[-2,0]的值域是(　　)A.(-2,+∞)B.-53,+∞C.[-1,1]D.-53,1答案D解析∵x∈[-2,0],∴x+1∈[-1,1],令μ=x+1,μ在R上为增函数,且y=3x在R上为增函数,∴3x+1∈13,3,∴函数y=3x+1-2在x∈[-2,0]上的值域为-53,1.故选D. 4.某产品计划每年降低成本q%,若3年后的成本费为a元,则现在的成本费为(　　)A.a(1-q%)3元B.a(1-q%)3元C.a(1+q%)3元D.a(1+q%)3元答案A解析设现在的成本费为x,则3年后的成本费为x(1-q%)3=a⇒x=a(1-q%)3.故选A.5.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则(　　)A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数答案B解析因为f(x),g(x)的定义域均为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),所以f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,故选B.6.已知函数f(x)=12|x-1|,则f(x)的增区间是　　　　　. 答案(-∞,1]解析(方法1)由指数函数的性质可知f(x)=12x在定义域上为减函数,故要求f(x)的增区间,只需求μ=|x-1|的减区间.又μ=|x-1|的减区间为(-∞,1],所以f(x)的增区间为(-∞,1].(方法2)f(x)=12|x-1|=12x-1,x≥1,2x-1,x<1.可画出f(x)的图象(图略)求其增区间.故增区间为(-∞,1]7.已知函数y=12mt-7(m为常数),当t=4时,y=64,若y≤12,则t的取值范围为　　　　　　　. 答案[32,+∞) 解析由y=12mt-7,把t=4,y=64代入,可得64=124m-7,解得m=14,∴y=1214t-7,由1214t-7≤12,得14t-7≥1,即t≥32.故t的取值范围为[32,+∞).8.设函数f(x)=exa+aex(e为无理数,且e≈2.71828…)是R上的偶函数且a>0.(1)求a的值;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性.解(1)∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-1)=f(1).∴e-1a+ae-1=ea+ae,即1ae-ae=ea-ae.∴1e1a-a=e1a-a,∴1a-a=0,∴a2=1.又a>0,∴a=1.(2)在(0,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2=(ex2-ex1)1ex1+x2-1.∵x1<x2,∴ex2-ex1>0.∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴ex1+x2>1,1ex1+x2-1<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上是增函数. 9函数y=2x2x+1(x∈R)的值域为(　　)A.(0,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.0,12答案B解析y=2x2x+1=2x+1-12x+1=1-12x+1,因为2x>0,所以1+2x>1,所以0<12x+1<1,-1<-12x+1<0,0<1-12x+1<1,即0<y<1,所以函数y的值域为(0,1),故选B.10.设y1=40.9,y2=80.48,y3=12-1.5,则(　　)A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2答案D解析40.9=21.8,80.48=21.44,12-1.5=21.5,根据y=2x在R上是增函数,得21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2,故选D.11.若函数f(x)=ax,x>1,4-a2x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围为(　　)A.(1,+∞)B.(1,8)C.(4,8)D.[4,8)答案D解析由题意得a>1,4-a2>0,a≥4-a2·1+2,解得4≤a<8.12.已知0<b<a<1,则在ab,ba,aa,bb中最大的是(　　)A.baB.aa C.abD.bb答案C解析因为0<b<a<1,所以y=ax和y=bx均为减函数,所以ab>aa,bb>ba.又因为y=xb在(0,+∞)上为增函数,所以ab>bb,所以在ab,ba,aa,bb中最大的是ab.故选C.13.(2021江苏如皋中学调研)已知函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R),若f(x)是偶函数,记a=m,若f(x)是奇函数,记a=n,则m+2n的值为(　　)A.0B.1C.2D.-1答案B解析当f(x)是偶函数时,f(x)=f(-x),即x(ex+ae-x)=-x(e-x+aex),即(1+a)(ex+e-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1,即m=-1.当f(x)是奇函数时,f(x)=-f(-x),即x(ex+ae-x)=x(e-x+aex),即(1-a)(ex-e-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=1,即n=1,所以m+2n=1.14.(多选)下列各式比较大小不正确的是(　　)A.1.72.5>1.73B.0.6-1>0.62C.0.8-0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1答案ACD解析A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73.B中,因为y=0.6x在R上是减函数,-1<2,所以0.6-1>0.62.C中,因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2.D中,因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.15.(多选)已知实数a,b满足等式12a=13b,下列四个关系式中,其中可能成立的关系式有(　　)A.0<b<aB.a<b<0C.a=b=0D.b<a<0答案ABC解析函数y1=12x与y2=13x的图象如图所示. 由12a=13b得,a<b<0或0<b<a或a=b=0.故选ABC.16.(多选对于给定的正数k,定义函数fk(x)=f(x),f(x)≤k,k,f(x)>k.若对于函数f(x)=2 -x2+x+2的定义域内的任意实数x,恒有fk(x)=f(x),则k的取值可以是(　　)A.4B.3C.22D.2答案ABC解析由题意,知k≥f(x)max.函数f(x)=2 -x2+x+2的定义域为[-1,2].令t=-x2+x+2,则t∈0,32,2t∈[1,22],所以f(x)max=22,因此k≥22.故选ABC.17.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(单位:mg/mL)随时间x(单位:h)变化的规律近似满足解析式f(x)=5x-2,0≤x≤1,35·13x,x>1.规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02mg/mL,据此可知,此驾驶员至少要过　　　h后才能开车.(精确到1h) 答案4解析当0≤x≤1时,125≤5x-2≤15,此时不宜开车;由35×13x≤0.02,可得x≥4.故至少要过4h后才能开车.18已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为8,最小值为m,若函数g(x)=(3-10m)x是增函数,则a=　　　　. 答案18解析当a>1时,y=ax在[-1,2]上是增函数,∴a-1=m,a2=8,解得a=22,m=24. 此时g(x)=3-10×24x,∵3-522<0,∴g(x)是减函数,不合题意;当0<a<1时,y=ax在[-1,2]上是减函数,∴a-1=8,a2=m,解得a=18,m=164.此时g(x)=3-10×164x,∵3-532>0,∴g(x)是增函数,符合题意.综上所述,a=18.19.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,解不等式f(x)>0;(2)当a=12,x∈[0,2]时,求f(x)的值域.解(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1.f(x)>0,即2·(2x)2-2x-1>0,解得2x>1或2x<-12(舍去),∴x>0,∴不等式f(x)>0的解集为{x|x>0}.(2)当a=12时,f(x)=4x-2x-1,x∈[0,2]. 设t=2x,∵x∈[0,2],∴t∈[1,4].令y=g(t)=t2-t-1(1≤t≤4),画出g(t)=t2-t-1(1≤t≤4)的图象(如图),可知g(t)min=g(1)=-1,g(t)max=g(4)=11,∴f(x)的值域为[-1,11].20设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax-4x.(1)求g(x)的解析式;(2)若方程g(x)-b=0在[-2,2]内有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.解(1)∵f(x)=3x,且f(a+2)=18,∴3a+2=18,∴3a=2.∵g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x,∴g(x)=2x-4x.(2)(方法1)由(1)知,方程为2x-4x-b=0.令t=2x,x∈[-2,2],则14≤t≤4,且方程t-t2-b=0在14,4上有两个不相等的实数根,即函数y=t-t2=-t-122+14的图象与函数y=b的图象在14,4内有两个交点.作出大致图象,如图所示:由图知当b∈316,14时,方程g(x)-b=0在[-2,2]内有两个不相等的实数根. 故实数b的取值范围为316,14.(方法2)由(1)知,方程为2x-4x-b=0.令t=2x,x∈[-2,2],则14≤t≤4,且方程t-t2-b=0在14,4上有两个不相等的实数根,令h(t)=-t2+t-b,t∈14,4,则Δ=1-4b>0,h14≤0,h(4)≤0,解得316≤b<14.故实数b的取值范围为316,14.21已知函数f(x)=13x,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).(1)求h(a);(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.解(1)因为x∈[-1,1],所以f(x)=13x∈13,3.设t=13x∈13,3,则y=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.当a<13时,ymin=h(a)=φ13=289-2a3;当13≤a≤3时,ymin=h(a)=φ(a)=3-a2;当a>3时,ymin=h(a)=φ(3)=12-6a. 所以h(a)=289-2a3,a<13,3-a2,13≤a≤3,12-6a,a>3.(2)不存在.假设存在m,n满足题意.因为m>n>3,h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数,又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],所以12-6m=n2,12-6n=m2,两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n),即m+n=6,与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n不存在.