苏教版必修第一册课后习题第6章 习题课 对数函数图象与性质的综合应用

第6章幂函数、指数函数和对数函数习题课　对数函数图象与性质的综合应用1.已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.p<n<m答案C解析0<m<1,n>1,p<0,故p<m<n.2.函数f(x)=ln|x-1|的图象大致是(　　)答案B解析当x>1时,f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于x=1对称,故选B.3.函数f(x)=log12(x2-4)的增区间是(　　)A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)答案D解析函数y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y=f(x)是由y=log 12t与t=g(x)=x2-4复合而成,又y=log12t在(0,+∞)上是减函数,g(x)在(-∞,-2)上是减函数,所以函数y=f(x)在(-∞,-2)上是增函数.4.设函数f(x)=loga(x+1),x>0,x2+ax+b,x≤0.若f(3)=2,f(-2)=0,则b等于(　　)A.0B.-1C.1D.2答案A 解析∵f(3)=2,∴loga(3+1)=2,解得a=2,又f(-2)=0,∴4-4+b=0,b=0.5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f13=0,则不等式flog18x<0的解集为(　　)A.0,12B.12,+∞C.12,1∪(2,+∞)D.0,12∪(2,+∞)答案C解析∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f13=0,在(0,+∞)上f(log18x)<0⇒f(log18x)<f13⇒0<log18x<13⇒log181<log18x<log181813⇒12<x<1;同理可求f(x)在(-∞,0)上是增函数,且f-13=0,得x>2.综上所述,x∈12,1∪(2,+∞).6.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则a,b,c的大小关系是　　　　　　　. 答案a<c<b解析因为a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,c=0.20.3<0.20=1且c>0,所以a<c<b.7.已知函数y=log12(x2-ax+a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　　. 答案(-∞,4]解析令t=x2-ax+a,由函数y在区间(2,+∞)上是减函数,可得函数t在区间(2,+∞)上是增函数,且t(2)≥0,所以a2≤2,t(2)=4-a≥0,解得a≤4,所以实数a的取值范围是(-∞,4].8.已知函数f(x)=log2(1+x2).求证:(1)函数f(x)是偶函数;(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.证明(1)函数f(x)的定义域是R,f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)设0<x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=log2(1+x12)-log2(1+x22)=log21+x121+x22.由于0<x1<x2,则0<x12<x22,则0<1+x12<1+x22,所以0<1+x121+x22<1.又2>1,所以log21+x121+x22<0.所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.9.已知0<a<1,logam<logan<0,则(　　)A.1<n<mB.1<m<nC.m<n<1D.n<m<1答案A解析∵0<a<1,∴y=logax是减函数.由logam<logan<0=loga1,得m>n>1.10.给定函数①y=x12,②y=log12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上是减函数的是(　　)A.①②B.②③C.③④D.①④答案B解析①y=x在(0,1)上为增函数,∴①不符合题意,排除A,D.④y=2x+1在(0,1)上也是增函数,排除C,经验证,②③在(0,1)上确实为减函数,故选B.11.设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b答案B解析由题设,得1a=log0.30.2>0,1b=log0.32<0.∴ab<0. ∴0<1a+1b=log0.30.4<1,即0<a+bab<1.又a>0,b<0,故ab<a+b<0.12函数f(x)=|2x-1|,x≤2,-x+5,x>2.若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是(　　)A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)答案B解析画出函数f(x)的图象如图所示.不妨设a<b<c,则a<0,b>0.由f(a)=f(b),得1-2a=2b-1,则2a+2b=2.又f(a)=f(b)=f(c),结合图象,得0<5-c<1,则4<c<5.∴16<2c<32.故18<2a+2b+2c<34.13.(多选)下列不等号连接正确的有(　　)A.log0.52.7>log0.52.8B.log34>log65C.log34>log56D.logπe>logeπ答案ABC解析根据y=log0.5x在定义域上为减函数易知A正确.由log34>log33=1=log55>log65,可知B正确.由log34=1+log343>1+log365>1+log565=log56,可知C正确.由π>e>1,logeπ>1>logπe,可知D错误. 14.(多选)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则(　　)A.f(x)在(2,6)上是增函数B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2C.f(x)在(2,6)上是减函数D.y=f(x)的图象关于直线x=4对称答案BD解析f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)],定义域为(2,6).令t=(x-2)(6-x),则y=lnt.因为二次函数t=(x-2)(6-x)的图象的对称轴为直线x=4,又f(x)的定义域为(2,6),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,且在(2,4)上是增函数,在(4,6)上是减函数,当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=f(4)=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln2,故选BD.15.(多选)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则下列说法正确的是(　　)A.f(x)是偶函数B.在[m2,1)上是减函数,在(1,n]上是增函数C.mn=1D.nm=9答案BCD解析定义域关于y轴不对称,f(x)不是偶函数,A错误.因为f(x)=|log3x|=-log3x,0<x<1,log3x,x≥1,所以f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,由0<m<n且f(m)=f(n),可得0<m<1,n>1,log3n=-log3m,即0<m<1,n>1,mn=1,所以0<m2<m<1,则f(x)在[m2,1)上是减函数,在(1,n]上是增函数,所以f(m2)>f(m)=f(n),则f(x)在[m2,n]上的最大值为f(m2)=-log3m2=2,解得m=13,则n=3,所以nm=9.BCD正确.16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=log2(-x)+m,且f12=2,则m=　. 答案1-2解析由f12=2,且f(x)为奇函数, ∴f-12=-f12=-2,因此log212+m=-2,则m=1-2.17.设a>0,a≠1,函数f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,则不等式loga(x-1)>0的解集为　　　　. 答案{x|x>2}解析设u(x)=x2-2x+3,则u(x)在定义域内有最小值.由于f(x)在定义域内有最小值,所以a>1.所以loga(x-1)>0⇒x-1>1⇒x>2,所以不等式loga(x-1)>0的解集为{x|x>2}.18已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)=0,当x>0时,f(x)=log12x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2-1)>-2.解(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=log12(-x).因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).所以函数f(x)的解析式为f(x)=log12x,x>0,0,x=0,log12(-x),x<0.(2)因为f(4)=log124=-2,f(x)是偶函数,所以不等式f(x2-1)>-2可化为f(|x2-1|)>f(4).又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以|x2-1|<4,解得-5<x<5,即不等式的解集为{x|-5<x<5}.19.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,a≠1).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.解(1)因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,因为当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0.所以a<32.又a>0且a≠1,所以a的取值范围为(0,1)∪1,32.(2)不存在.由(1)知函数t(x)为减函数.若f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以y=logat为增函数,所以a>1,当x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),所以3-2a>0,loga(3-a)=1,即a<32,=32.故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.20已知函数f(x)=lnx+1x-1.(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;(2)对于x∈[2,6],f(x)=lnx+1x-1>lnm(x-1)(7-x)恒成立,求实数m的取值范围.解(1)由x+1x-1>0,解得x<-1或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=ln-x+1-x-1=lnx-1x+1=lnx+1x-1-1=-lnx+1x-1=-f(x), 所以f(x)=lnx+1x-1是奇函数.(2)由于x∈[2,6]时,f(x)=lnx+1x-1>lnm(x-1)(7-x)恒成立,所以x+1x-1>m(x-1)(7-x)>0.即0<m<(x+1)(7-x)在x∈[2,6]上恒成立.令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x∈[2,6],由二次函数的性质可知,当x∈[2,3]时,函数g(x)是增函数;当x∈[3,6]时,函数g(x)是减函数,即x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7,所以m的取值范围是(0,7).