苏教版必修第一册课后习题6.3 对数函数

第6章幂函数、指数函数和对数函数6.3　对数函数1.函数y=log2x-2的定义域是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(4,+∞)D.[4,+∞)答案D解析由题意得log2x-2≥0,x>0.解得x≥4.2.(2021山东聊城调研)已知函数f(x)=log2(x+1),若f(α)=1,则α等于(　　)A.0B.1C.2D.3答案B解析α+1=2,故α=1.3.设集合M=yy=12x,x∈[0,+∞),N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N等于(　　)A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1)答案C解析M=(0,1],N=(-∞,0],因此M∪N=(-∞,1].4函数f(x)=|log3x|的图象是(　　)答案A 解析y=|log3x|的图象是保留y=log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点),而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的.5.已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1),且过点(9,2),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是(　　)A.g(x)=4xB.g(x)=2xC.g(x)=9xD.g(x)=3x答案D解析由题意得loga9=2,即a2=9,又∵a>0,∴a=3.因此f(x)=log3x,∴f(x)的反函数为g(x)=3x.6函数f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,a≠1)的图象必经过点　. 答案(2,2)解析当x=2时,f(2)=a0+loga1+1=2,所以图象必经过点(2,2).7.函数f(x)=log12(3x-2)的定义域是　　　　. 答案23,1解析由log12(3x-2)≥0,3x-2>0,解得23<x≤1,∴f(x)的定义域是23,1.8.根据函数f(x)=log2x的图象和性质解决以下问题:(1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;(2)求y=log2(2x-1)在[2,14]上的最大值和最小值.解函数f(x)=log2x的图象如图.(1)∵f(x)=log2x为增函数,又f(a)>f(2),∴log2a>log22.∴a>2,即a的取值范围是(2,+∞).(2)∵2≤x≤14, ∴3≤2x-1≤27.∴log23≤log2(2x-1)≤log227.∴函数f(x)=log2(2x-1)在[2,14]上的最小值为log23,最大值为log227.9.已知函数f(x)=3x,x≤0,log2x,x>0,那么ff18的值为(　　)A.27B.127C.-27D.-127答案B解析f18=log218=log22-3=-3,ff18=f(-3)=3-3=127.故选B.10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是(　　)A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1x答案D解析函数y=10lgx的定义域和值域均为(0,+∞),函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=1x的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选D.11.下图中有六个函数的图象,依据图象用“<”表示出以下五个量a,b,c,d,1的大小关系,正确的是(　　) (注:图中y=bx与y=log2x关于y=x对称)A.a<c<1<b<dB.a<1<d<c<bC.a<1<c<b<dD.a<1<c<d<b答案C解析由指数函数与对数函数的图象可知,a<1,b=2,1<c<2,d>2,所以有a<1<c<b<d.故选C.12.若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是(　　)A.(0,1)B.(0,1)∪(1,2)C.(1,2)D.[2,+∞)答案C解析当a>1时,y有最小值,则说明x2-ax+1有最小值,故x2-ax+1=0中Δ<0,即a2-4<0,所以1<a<2.当0<a<1时,y有最小值,则说明x2-ax+1有最大值,与二次函数性质相互矛盾,舍去.综上可知,故选C.13若loga14=loga14,且|logba|=-logba,则a,b满足的关系式是(　　)A.a>1,且b>1B.a>1,且0<b<1C.b>1,且0<a<1D.0<a<1,且0<b<1答案C解析由loga14=loga14,知loga14>0,∴0<a<1;由|logba|=-logba,知logba<0,∴b>1,故选C.14.(多选)函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值可以为(　　)A.2B.22C.2D.12答案CD 解析当a>1时,函数y=logax在[2,4]上是增函数,所以loga4-loga2=1,即loga42=1,所以a=2.当0<a<1时,函数y=logax在[2,4]上是减函数,所以loga2-loga4=1,即loga24=1,所以a=12.综上知a=2或a=12.15.(多选)(2021福建厦门调研)若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象不可能是(　　)答案ABC解析由函数f(x)=loga(x+b)的图象可知,函数f(x)=loga(x+b)在(-b,+∞)上是减函数,所以0<a<1且0<b<1,所以g(x)=ax+b在R上是减函数,故排除A,B;由g(x)的值域为(b,+∞),所以g(x)=ax+b的图象应在直线y=b的上方而0<b<1,故排除C.16.(多选)函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D上具有单凋性;②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为a2,b2,那么就称y=f(x)为“半保值函数”,若函数f(x)=loga(ax+t2)(a>0,a≠1)是“半保值函数”,则t的取值可以为(　　)A.14B.0C.12D.-18答案AD解析函数f(x)=loga(ax+t2)(a>0,a≠1)是“半保值函数”,且定义域为R.当a>1时,z=ax+t2在R上是增函数,y=logaz在(0,+∞)上是增函数,可得f(x)为R上的增函数;当0<a<1时,f(x)仍为R上的增函数, ∴f(x)在定义域R上为增函数,f(x)=loga(ax+t2)=12x,∴ax+t2=ax2,则ax-ax2+t2=0.令u=ax2,u>0,则u2-u+t2=0有两个不相等的正实根.得Δ=1-4t2>0,且t2>0,∴0<t2<14,解得t∈-12,0∪0,12.17.函数f(x)=4-x2lnx的定义域为　. 答案{x|0<x≤2,且x≠1}解析由4-x2≥0,x>0,x≠1,得0<x≤2且x≠1.∴函数f(x)=4-x2lnx的定义域为{x|0<x≤2且x≠1}.18.函数f(x)=ax+b,x≤0,logcx+19,x>0的图象如图所示,则a+b+c=　　　　. 答案133解析由图象可求得直线的方程为y=2x+2,即a=2,b=2,又函数y=logcx+19的图象过点(0,2),将其坐标代入可得c=13,所以a+b+c=2+2+13=133.19已知函数f(x)=lg(x2-2ax+1).(1)若函数f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (2)若函数f(x)的值域为R,求a的取值范围.解(1)∵函数f(x)的定义域为R,∴x2-2ax+1>0,对任意的x∈R都成立,则Δ=4a2-4<0,解得-1<a<1,∴a的取值范围是(-1,1).(2)若函数f(x)的值域为R,则函数y=x2-2ax+1的值域包含(0,+∞),则Δ=4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1.∴a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).20.已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0,a≠1).(1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求函数f(x)的最大值和最小值.(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.解(1)当a=2时,函数f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数,故f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6,f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2.(2)f(x)-g(x)>0,即loga(1+x)>loga(1-x),①当a>1时,1+x>1-x>0,得0<x<1.②当0<a<1时,0<1+x<1-x,得-1<x<0.综上,当a>1时,x的取值范围是(0,1);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,0).21已知函数f(x)=log212x+a.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.解(1)若函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,∴log2(1+a)=0,∴a=0.当a=0时,f(x)=-x是R上的奇函数.故a=0. (2)若函数f(x)的定义域是一切实数,则12x+a>0对任意x恒成立,即a>-12x恒成立,由于-12x∈(-∞,0),故只需a≥0,则a的取值范围是[0,+∞).(3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log212+a.由题设得log2(1+a)-log212+a≥2,则log2(1+a)≥log2(4a+2).∴1+a≥4a+2,4a+2>0,1+a>0,解得-12<a≤-13.故实数a的取值范围是-12,-13.