苏教版必修第一册课后习题7.3.3 第2课时 函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用

第7章三角函数7.3　三角函数的图象与性质7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.5B.4C.3D.2答案B解析由函数的图象可得T2=12·2πω=x0+π4-x0=π4,解得ω=4.2.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R其中ω>0,|φ|<π2的最小正周期是π,且f(0)=3,则(　　)A.ω=12,φ=π6B.ω=12,φ=π3C.ω=2,φ=π6D.ω=2,φ=π3答案D解析∵2πω=π,∴ω=2.∵f(0)=3,∴2sinφ=3.∴sinφ=32.∵|φ|<π2,∴φ=π3.3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值是4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x=π3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是(　　) A.y=4sin4x+π6B.y=2sin2x+π3+2C.y=2sin4x+π3+2D.y=2sin4x+π6+2答案D解析由题意可得,A=4-02=2,m=4+02=2,ω=2πT=2ππ2=4,∴φ=kπ+π2-4π3(k∈Z),∴当k=1时,φ=3π2-4π3=π6,∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x+π6+2.4.下列区间中,函数f(x)=7sinx-π6的增区间是(　　)A.0,π2B.π2,πC.π,3π2D.3π2,2π答案A解析由题意知x-π6∈-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z,即x∈-π3+2kπ,2π3+2kπ,k∈Z.当k=0时,函数f(x)=7sinx-π6的增区间为-π3,2π3,∵0,π2∈-π3,2π3,∴0,π2是函数f(x)的一个增区间.故选A.5.(多选将函数f(x)=3sinx的图象先向右平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的(　　)A.周期是πB.增区间是kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)C.图象关于点-π3,0对称D.图象关于直线x=2π3对称 答案ABC解析将函数f(x)=3sinx的图象先向右平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则函数g(x)=3sin2x-π3.对于选项A,函数g(x)的周期为2π2=π,故A正确;对于选项B,令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,即kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z,即函数g(x)的增区间是kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z,故B正确;对于选项C,令2x-π3=kπ,k∈Z,解得x=kπ2+π6,k∈Z,即函数g(x)的对称中心为kπ2+π6,0,k∈Z,故C正确;对于选项D,令2x-π3=kπ+π2,k∈Z,则x=kπ2+5π12,k∈Z,即函数g(x)的对称轴方程为x=kπ2+5π12,k∈Z,故D错误.6.已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值为　　　　　. 答案-π6解析由题意可得sin2π3+φ=±1,解得2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),即φ=-π6+kπ(k∈Z).因为-π2<φ<π2,所以k=0,φ=-π6.7.函数f(x)=sinx-π4的图象的对称轴方程是　　　　. 答案x=kπ+3π4,k∈Z解析∵x-π4=π2+kπ,k∈Z,∴x=3π4+kπ,k∈Z.8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的周期为π,且图象上一个最低点为M2π3,-2. (1)求f(x)的解析式;(2)当x∈0,π12时,求f(x)的最大值和最小值.解(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M2π3,-2,得A=2.由周期T=π,得ω=2πT=2ππ=2.由点M2π3,-2在图象上,得2sin4π3+φ=-2,即sin4π3+φ=-1,所以4π3+φ=2kπ-π2(k∈Z),故φ=2kπ-11π6(k∈Z),又φ∈0,π2,所以k=1,φ=π6.所以函数的解析式为f(x)=2sin2x+π6.(2)因为x∈0,π12,所以2x+π6∈π6,π3,所以当2x+π6=π6,即x=0时,函数f(x)取得最小值1;当2x+π6=π3,即x=π12时,函数f(x)取得最大值3.9.若将函数f(x)=3sinωx-π3的图象向左平移2π3个单位长度之后得到的图象与原图象的对称中心重合,则正实数ω的最小值是(　　)A.32B.12C.23D.13答案A解析将函数f(x)=3sinωx-π3的图象向左平移2π3个单位长度之后,可得y=3sinωx+2π3-π3=3sinωx+2ωπ3-π3的图象.由于所得的图象与原图象的对称中心重合,故所得图象与原图象相差半个周期的整数倍,所以2π3=k·πω(k∈Z),故ω=3k2(k∈Z),则正实数ω的最小值为32. 10已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论不正确的是(　　)A.函数f(x)的图象关于直线x=π2对称B.函数f(x)的图象关于点-π12,0对称C.函数f(x)在区间-π3,π6上为增函数D.函数y=1与y=f(x)-π12≤x≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为8π3答案A解析由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的图象可得,A=2,T4=2π3-5π12=π4,因此T=π,所以ω=2ππ=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),过点2π3,-2,因此4π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z,又0<|φ|<π,所以φ=π6,所以f(x)=2sin2x+π6.当x=π2时,fπ2=-1,故A错;当x=-π12时,f-π12=0,故B正确;当x∈-π3,π6,2x+π6∈-π2,π2,所以f(x)=2sin2x+π6在x∈-π3,π6上为增函数,故C正确; 当-π12≤x≤23π12时,2x+π6∈0,4π,所以y=1与函数y=f(x)的图象有4个交点,设这4个交点的横坐标为x1,x2,x3,x4,x1+x2+x3+x4=π6×2+7π6×2=8π3,故D正确.11.设f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的定义域为R,T=2π3,φ=π6,值域为[-1,3],则函数f(x)的解析式为(　　)A.f(x)=2sin3x+π6+1B.f(x)=2sin3x+π6-1C.f(x)=-2sin3x+π6-1D.f(x)=2sin3x-π6+1答案A解析因为-A+B=-1,A+B=3,所以A=2,B=1.因为T=2πω=2π3,所以ω=3.又φ=π6,故f(x)=2sin3x+π6+1.12.函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象的一部分如图所示,则它的解析式是(　　)A.y=22sinπ2x+π4 B.y=2sinπ2x+π4C.y=2sinπx-π4D.y=2sinπ4x-π4答案B解析由图象知,A=2,T=2×32--12=4,∴ω=2πT=π2,∴解析式可写成y=2sinπ2x+φ.将-12,0看作函数图象的第一个特殊点代入上式,得π2×-12+φ=2kπ,k∈Z.∵|φ|<π2,∴φ=π4.∴解析式为y=2sinπ2x+π4,故选B.13若将函数y=sin2x-π4的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度,则所得函数g(x)图象的一个对称中心为(　　)A.5π12,0B.π4,0C.π6,0D.π12,0答案A解析将y=sin2x-π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可以得到y=sin212x-π4=sinx-π4的图象,再向右平移π6个单位长度可以得到y=sinx-π6-π4=sinx-5π12的图象,因此,g(x)=sinx-5π12,由g5π12=sin0=0,选项A正确.14.(多选)函数y=sin2x-π6的图象在(-π,π)上的对称轴方程有(　　) A.x=-π6B.x=π6C.x=5π6D.x=-5π6答案AC解析∵2x-π6=π2+kπ,k∈Z,∴x=kπ2+π3,k∈Z,k=-2时,x=-2π3;k=-1时,x=-π6;k=0时,x=π3;k=1时,x=5π6.故选AC.15.(多选已知函数f(x)=sinωx(ω>0且ω∈Z)的图象关于点2π3,0对称,且在区间0,π14上为增函数,则ω的取值可以为(　　)A.3B.4C.5D.6答案AD解析函数f(x)=sinωx的图象关于点2π3,0对称,且在0,π14上为增函数,所以2π3ω=kπ,k∈Z,π14ω≤π2,解得ω=32k,k∈Z,ω≤7,所以ω的取值为3,6.16.(多选)已知函数f(x)=sin2x+π3,以下命题中为真命题的是(　　)A.函数f(x)的图象关于直线x=π12对称B.x=-π6是函数f(x)的一个零点C.函数f(x)的图象可由g(x)=sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到D.函数f(x)在0,π12上是增函数 答案ABD解析令2x+π3=kπ+π2(k∈Z),当k=0时,x=π12,即函数f(x)的图象关于直线x=π12对称,选项A正确;令2x+π3=kπ(k∈Z),当k=0时,x=-π6,即x=-π6是函数f(x)的一个零点,选项B正确;2x+π3=2x+π6,故函数f(x)的图象可由g(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位长度得到,选项C错误;若x∈0,π12,则2x+π3∈π3,π2,故f(x)在0,π12上是增函数,选项D正确.17已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则ω=　　　　　;φ=　　　　　. 答案1　π4解析由题意得周期T=25π4-π4=2π,∴2π=2πω,即ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),∴fπ4=sinπ4+φ=±1.∵0<φ<π,∴π4<φ+π4<5π4,∴φ+π4=π2,∴φ=π4.18.若函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2,且该函数的图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈0,π2,则x0=　　　　. 答案512π解析由f(x)=sinωx+π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为T2=π2,知T=π,ω=2,又图象关于点(x0,0)成中心对称,得2x0+π6=kπ(k∈Z),而x0∈0,π2,则x0=512π.19.已知函数f(x)=2sinπ6-2x+a. (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的减区间;(3)当x∈0,π2时,f(x)的最小值为-2,求a的值.解(1)易知T=2π|-2|=π.(2)f(x)=2sinπ6-2x+a=2sin2x+5π6+a.由2kπ+π2≤2x+5π6≤2kπ+3π2(k∈Z),得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z).所以f(x)的减区间为kπ-π6,kπ+π3(k∈Z).(3)由0≤x≤π2,得5π6≤2x+5π6≤11π6,所以f(x)的最小值为-2+a=-2.所以a=0.20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4,且图象上有一个最低点为M7π12,-3.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[0,π]上的增区间.解(1)由函数f(x)的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4,可知函数f(x)的周期为π,所以ω=2ππ=2.又函数f(x)图象上有一个最低点为M7π12,-3,|φ|<π2,所以A=3,2×7π12+φ=3π2+2kπ,k∈Z,得φ=π3,所以f(x)=3sin2x+π3.(2)由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,可得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,又x∈[0,π],则可得函数f(x)的增区间为0,π12,7π12,π.学科素养拔高练21.已知P(1,3)是曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点,且f(9-x)=f(9+x),x∈R,曲线在(1,9)内与x轴有唯一交点,求函数f(x)的解析式. 解∵点P(1,3)是曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点,∴A=3,且直线x=1是曲线的一条对称轴.∵f(9-x)=f(9+x),x∈R,∴直线x=9也是曲线的一条对称轴.又曲线在(1,9)内与x轴有唯一交点,∴直线x=1,直线x=9是曲线的两条相邻对称轴,∴T2=9-1=8,∴T=16,∴2πω=16,∴ω=π8.∴f(x)=3sinπ8x+φ.∵P(1,3)是曲线上的一个最高点,∴π8×1+φ=2kπ+π2(k∈Z),∴φ=2kπ+3π8(k∈Z).∵|φ|<π,∴φ=3π8.故函数f(x)的解析式为f(x)=3sinπ8x+3π8.