苏教版必修第一册课后习题7.2.3 第2课时 诱导公式五、六

第7章三角函数7.2　三角函数概念7.2.3　三角函数的诱导公式第2课时　诱导公式五、六1.已知sin25.3°=a,则cos115.3°=(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.aB.-aC.a2D.1-a2答案B解析cos115.3°=cos(90°+25.3°)=-sin25.3°=-a.2.已知sin(π+α)=12,则cosα-32π的值为(　　)A.12B.-12C.32D.-22答案A解析由sin(π+α)=12得sinα=-12,所以cosα-32π=cos32π-α=-sinα=12,故选A.3.已知cos(75°+α)=13,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是(　　)A.13B.23C.-13D.-23答案D解析sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(α+75°)-90°]+cos[180°-(α+75°)]=-2cos(α+75°)=-2×13=-23.故选D. 4.若cosα=45,且α是第四象限角,则tanα+5π2=　　　　. 答案43解析由题意得sinα=-1-cos2α=-35,所以tanα+5π2=tanπ2+α=1-tanα=-cosαsinα=-45-35=43.5.若已知tan(3π+α)=2,则sin(α-3π)+cos(π-α)+sin(π2-α)-2cos(π2+α)-sin(-α)+cos(π+α)=　　　　　　. 答案2解析∵tan(3π+α)=2,∴tanα=2,∴原式=-sinα-cosα+cosα+2sinαsinα-cosα=sinαsinα-cosα=tanαtanα-1=22-1=2.6.已知角α的终边在第三象限,与单位圆的交点为A-55,y0.(1)求y0的值;(2)求tan(α-3π)sin23π2-α+2cosπ2+αcos(π-α)的值.解(1)由题意,角α的终边在第三象限,与单位圆的交点为A-55,y0,则OA=(-55) 2+y02=1,解得y0=-255.(2)由(1)可知sinα=-255,cosα=-55,tanα=2,则tan(α-3π)sin23π2-α+2cosπ2+αcos(π-α)=tanαcos2α+2sinαcosα=sinαcosα+2sinαcosα=3sinαcosα=65. 7.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,求sin(α+3π2)sin(3π2-α)tan2(2π-α)tan(π-α)cos(π2-α)cos(π2+α)的值.解因为5x2-7x-6=0的两根为x=2或x=-35,又因为α为第三象限角,所以sinα=-35,所以cosα=-1-sin2α=-45.所以tanα=34.故原式=(-cosα)(-cosα)tan2α(-tanα)sinα(-sinα)=tanα=34.8.已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　　)A.sin(-x)=-sinxB.sinπ2-x=-cosxC.cosπ2+x=tanxD.cos(π-x)=cosx答案A解析sin(-x)=-sinx,故A恒成立;sinπ2-x=cosx≠-cosx,故B不成立;cosπ2+x=-sinx,故C不成立;cos(π-x)=-cosx,故D不成立.9.tan210°+sin300°=(　　)A.-36B.36C.536D.-536 答案A解析tan210°+sin300°=tan(180°+30°)+sin(360°-60°)=tan30°-sin60°=33-32=-36.10.如果角θ的终边经过点-35,45,那么sinπ2+θ+cos(π-θ)+tan(2π-θ)等于(　　)A.-43B.43C.34D.-34答案B解析易知sinθ=45,cosθ=-35,tanθ=-43.原式=cosθ-cosθ-tanθ=43.11.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线2x-y=0上,则sin(3π2+θ)+cos(π-θ)sin(π2-θ)-sin(π-θ)=(　　)A.-2B.2C.0D.23答案B解析由已知可得,tanθ=2,则原式=-cosθ-cosθcosθ-sinθ=-21-tanθ=2.12.已知α为锐角,2tan(π-α)-3cosπ2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sinα的值是(　　)A.355B.377C.31010D.13答案C解析由已知可知-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ-1=0,所以tanα=3.又tanα=sinαcosα,所以9=sin2αcos2α=sin2α1-sin2α.所以sin2α=910.因为α为锐角,所以sinα=31010.13.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　　)A.sin(-x)=sinxB.sin3π2-x=cosx C.cosπ2+x=-sinxD.若θ∈π2,π,则1-2sin(π+θ)sin(3π2-θ)=sinθ-cosθ答案CD解析∵sin(-x)=-sinx,故A不成立;∵sin3π2-x=-cosx,故B不成立;∵cosπ2+x=-sinx,故C成立;1-2sin(π+θ)sin(3π2-θ)=1-2sinθcosθ,原式=(sinθ-cosθ)2=|sinθ-cosθ|,∵θ∈π2,π,∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ-cosθ>0,∴1-2sin(π+θ)sin(3π2-θ)=sinθ-cosθ.故D成立.14.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=π2,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-14,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　)A.sinβ=154B.cos(π+β)=14C.tanβ=15D.tanβ=155答案AC解析∵sin(π+α)=-sinα=-14,∴sinα=14,若α+β=π2,则β=π2-α. A中,sinβ=sinπ2-α=cosα=±154,故A符合条件;B中,cos(π+β)=-cosπ2-α=-sinα=-14,故B不符合条件;C中,tanβ=15,即sinβ=15cosβ,又sin2β+cos2β=1,所以sinβ=±154,故C符合条件;D中,tanβ=155,即sinβ=155cosβ,又sin2β+cos2β=1,所以sinβ=±64,故D不符合条件.15.化简:sin(15π2+α)cos(α-π2)sin(9π2-α)cos(3π2+α)=　　　　. 答案-1解析原式=sin(32π+α)cos(π2-α)sin(π2-α)sinα=(-cosα)sinαcosαsinα=-1.16.已知sinθ-π3=13,则sinθ+2π3=　　　　　,cosθ-5π6=　　　　. 答案-13　13解析sinθ+2π3=sinπ+θ-π3=-sinθ-π3=-13.cosθ-5π6=cosθ-π3-π2 =sinθ-π3=13.17.已知cosπ2+α=2sinα-π2,则sin(π-α)+cos(π+α)5cos(5π2-α)+3sin(7π2-α)=　　　　. 答案17解析因为cosπ2+α=2sinα-π2,所以sinα=2cosα.原式=sinα-cosα5sinα-3cosα=2cosα-cosα10cosα-3cosα=17.18已知sinα=-35,且α是第　　　　象限角. 从①一,②二,③三,④四这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上,并根据你的选择,解答以下问题:(1)求cosα,tanα的值;(2)化简求值:sin(π-α)cos(-α)sin(32π+α)cos(2020π+α)tan(2020π-α).解(1)因为sinα=-35,所以α为第三象限或第四象限角;若选③,cosα=-1-sin2α=-45,tanα=sinαcosα=34;若选④,cosα=1-sin2α=45,tanα=sinαcosα=-34;(2)原式=sinαcosα(-cosα)cosαtan(-α)=-sinαcosα-tanα=sinαcosαsinαcosα=cos2α =1--352=1625.19.是否存在角α,β,α∈-π2,π2,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=2cosπ2-β,3cos(-α)=-2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.解由条件,得sinα=2sinβ,3cosα=2cosβ,①②①2+②2得sin2α+3cos2α=2,∴sin2α=12.又α∈-π2,π2,∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.20.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2对应三个内角的正弦值,那么(1)试判断△A1B1C1是锐角三角形吗?(2)试借助诱导公式证明△A2B2C2中必有一个角为钝角.(1)解由已知条件△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,即cosA1>0,cosB1>0,cosC1>0,从而△A1B1C1一定是锐角三角形.(2)证明由题意可知sinA2=cosA1=sin(π2-A1),sinB2=cosB1=sin(π2-B1),sinC2=sinC1=sin(π2-C1),若A2,B2,C2全为锐角,则A2+B2+C2=π2-A1+π2-B1+π2-C1=3π2-(A1+B1+C1)=π2,不合题意.又A2,B2,C2不可能为直角,且满足A2+B2+C2=π,故必有一个角为钝角.