苏教版必修第一册课后习题3.1 不等式的基本性质

第3章不等式3.1　不等式的基本性质1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-aD.a>b>-a>-b答案C解析(方法一)∵a+b>0,∴a>-b.又b<0,∴a>0,且|a|>|b|,∴a>-b>b>-a.(方法二)设a=3,b=-2,则a>-b>b>-a.2设M=3x2-x+1,N=x2+x-1,则(　　)A.M>NB.M<NC.M=ND.M与N的大小关系与x有关答案A解析∵M-N=3x2-x+1-(x2+x-1)=2x2-2x+2=2x-122+32>0,∴M>N.故选A.3.设实数a=5-3,b=3-1,c=7-5,则(　　)A.b>a>cB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b答案A 解析5-3=25+3,3-1=23+1,7-5=27+5,∵3+1<3+5<5+7,∴23+1>25+3>27+5,即b>a>c.4.若α,β满足-π2<α<β<π2,则α-β的取值范围是(　　)A.(-π,π)B.(-π,0)C.-π2,π2D.-π2,0答案B解析∵-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.又-π2<α<π2,∴-π<α-β<π.∵α<β,∴α-β<0.∴-π<α-β<0.5.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为　　　　　,xy的取值范围为　　　　　. 答案{x-y|27<x-y<56}　xy2011<xy<3解析∵28<y<33,∴-33<-y<-28.又60<x<84,∴27<x-y<56.由28<y<33,得133<1y<128,即2011<xy<3.6.(1)已知a<b<0,求证:ba<ab;(2)已知a>b,1a<1b,求证:ab>0.证明(1)ba-ab=b2-a2ab=(b+a)(b-a)ab.∵a<b<0,∴b+a<0,b-a>0,ab>0,∴(b+a)(b-a)ab<0,故ba<ab.(2)∵1a<1b,∴1a-1b<0,即b-aab<0, 而a>b,∴b-a<0,∴ab>0.7.已知12<a<60,15<b<36,求a-b和ab的取值范围.解∵15<b<36,∴-36<-b<-15,∴12-36<a-b<60-15,∴-24<a-b<45.又136<1b<115,∴1236<ab<6015,∴13<ab<4.综上,a-b的取值范围为(-24,45),ab的取值范围为13,4.8.设a<b<0,则下列不等式不成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.1a>1bB.1a-b>1aC.|a|>-bD.-a>-b答案B解析对于A,因为a<b<0,所以ab>0,所以aab<bab<0,即1a>1b,故A成立;对于B,若a=-2,b=-1,则1a-b=-1,1a=-12,此时1a>1a-b,故B不成立;对于C,因为a<b<0,所以|a|>|b|=-b,故C成立;对于D,因为a<b<0,所以-a>-b>0,则-a>-b,故D成立.故选B.9手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　)A.“屏占比”不变B.“屏占比”变小C.“屏占比”变大D.变化不确定答案C解析设升级前“屏占比”为ba,升级后“屏占比”为b+ma+m(a>b>0,m>0),因为b+ma+m-ba=(a-b)ma(a+m)>0,所以该手机“屏占比”和升级前比变大. 10已知0<a<1b,且M=11+a-b1+b,N=a1+a-11+b,则M,N的大小关系是(　　)A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定答案A解析已知0<a<1b,且M=11+a-b1+b,N=a1+a-11+b,则0<ab<1.则M-N=11+a-b1+b-a1+a-11+b=1-a1+a+1-b1+b=(1-a)(1+b)+(1+a)(1-b)(1+a)(1+b)=2(1-ab)(1+a)(1+b)>0,因此M>N.故选A.11十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列说法正确的是(　　)A.若a>0,则a2+1>(a-1)(a+2)B.若a>b>0,则ac2>bc2C.若a>b,且1a<1b,则ab>0D.若a>b>0,则aa2+1>bb2+1答案C解析对于A,a2+1-(a-1)(a+2)=a2+1-a2-a+2=3-a,当a>3时,3-a<0,a2+1<(a-1)(a+2),当a=3时,3-a=0,a2+1=(a-1)(a+2),当a<3时,3-a>0,a2+1>(a-1)·(a+2),故A错误;对于B,当c=0时,ac2=0=bc2,故B错误;对于C,因为a>b,所以b-a<0,又1a-1b=b-aab<0,所以ab>0,故C正确;对于D,因为a>b>0,所以b-a<0,但aa2+1-bb2+1=(b-a)(ab-1)(a2+1)(b2+1),不能判断ab-1的符号,则aa2+1>bb2+1不一定成立,故D错误.故选C.12.(多选若a<b<0,c>0,则下列结论错误的是(　　)A.ca<cbB.1ac<1bcC.|ac|<|bc|D.ac<bc 答案ABC解析因为a<b<0,所以1a>1b.又c>0,所以ca>cb,故A错误;因为a<b<0,所以1a>1b.又c>0,所以1ac>1bc,故B错误;因为a<b<0,所以-a>-b>0,所以|-a|>|-b|,即|a|>|b|,又c>0,所以|ac|>|bc|,故C错误;因为a<b,c>0,1c>0,所以ac<bc,故D正确.故选ABC.13.(多选若a>b>0,则下列不等式恒成立的是(　　)A.ba<b+1a+1B.a+1a>b+1bC.a+1b>b+1aD.2a+ba+2b>ab答案AC解析由a>b>0,得ab+a>ab+b,即a(b+1)>b(a+1),所以b+1a+1>ba,故A正确;若a=2,b=13,满足a>b>0,但a+1a=52<103=b+1b,故B错误;由a>b>0,得1b>1a,所以a+1b>b+1a,故C正确;由a>b>0,得a2>b2>0,所以a2+2ab>b2+2ab,所以2a+ba+2b<ab,故D错误.故选AC.14.(多选)若正实数x,y满足x>y,则下列结论正确的有(　　)A.xy<y2B.x2>y2C.yx<y+mx+m(m>0)D.1x<1x-y答案BCD解析对于A,由于x,y为正实数,且x>y,得xy>y2,故A错误;对于B,由于x,y为正实数,且x>y,所以x2>y2,故B正确;对于C,由于x,y为正实数,且x>y,所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以yx<y+mx+m成立,故C正确;对于D,由于x,y为正实数,且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得0<1x<1x-y,故D正确. 15.已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则4a-2b的取值范围是　　　　. 答案[-2,10]解析因为1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,4a-2b=3(a-b)+(a+b),所以-2≤4a-2b≤10.16.设a,b为正实数,有下列说法:①若a2-b2=1,则a-b<1;②若1b-1a=1,则a-b<1;③若|a-b|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.其中正确的说法有　　　　.(写出所有正确说法的序号) 答案①④解析对于①,由题意a,b为正实数,则a2-b2=1可化为a-b=1a+b,则有a-b>0,即a>b>0,故a+b>a-b>0.若a-b≥1,则1a+b≥1,则有a+b≤1≤a-b,这与a+b>a-b>0矛盾;若a-b<1,则1a+b<1,则有a+b>1>a-b,故①正确.对于②,取特殊值,a=3,b=34,则a-b>1,故②不正确.对于③,取特殊值,a=9,b=4,则|a-b|>1,故③不正确.对于④,∵|a3-b3|=1,a>0,b>0,∴a≠b.不妨设a>b>0,∴a2+ab+b2>a2-2ab+b2>0,∴(a-b)(a2+ab+b2)>(a-b)(a-b)2,即a3-b3>(a-b)3>0,∴1=|a3-b3|>(a-b)3>0,∴0<a-b<1,即|a-b|<1.因此④正确.17.已知a>b>c,用作差法证明a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.证明由a>b>c,可得a-b>0,b-c>0,a-c>0.又a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-ab2)+(b2c-ca2)+(c2a-c2b)=ab(a-b)+c(b-a)(b+a)+c2(a-b)=(a-b)(ab-bc-ac+c2)=(a-b)(a-c)(b-c)>0,所以a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.18.某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的车票原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.解设该单位有职工n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+34x(n-1)=14x+34xn,y2=45xn, 所以y1-y2=14x+34xn-45xn=14x-120xn=14x1-n5.当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当0<n<5时,y1>y2.因此,当单位人数为5时,两车队收费相同;大于5时,选甲车队更优惠;小于5时,选乙车队更优惠.19)(1)设x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小;(2)已知-1<a+b<3,2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.解(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).(2)设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),则m+n=2,m-n=3.∴m=52,n=-12.∴2a+3b=52(a+b)-12(a-b).∵-1<a+b<3,2<a-b<4,∴-52<52(a+b)<152,-2<-12(a-b)<-1.∴-92<52(a+b)-12(a-b)<132.故2a+3b的取值范围为-92,132.