苏教版必修第一册课件第6章 本章小结与复习

第6章本章小结与复习 内容索引0102网络构建归纳整合专题突破素养提升 网络构建归纳整合 专题突破素养提升 专题一幂函数、指数函数、对数函数的图象1.图象的应用是考查的重点,也是我们解决函数问题的基本功.图象应用主要体现在两个方面:一是识图,通过图象识别函数的相关性质;二是用图,借助图象解决函数问题、方程问题以及不等式问题.2.掌握函数的图象,重点提升直观想象和逻辑推理的核心素养. 【例1】(1)已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是() (2)在同一坐标系中,函数y=ax+1与y=a|x-1|(a>0且a≠1)的图象可能是() 答案(1)C(2)C解析(1)函数y=log2x的反函数为y=2x,故f(x)=2x,于是f(1-x)=21-x=,此函数在R上为减函数,其图象过点(0,2),所以C中的图象符合要求.(2)当a>1时,直线y=ax+1的斜率大于1,函数y=a|x-1|(a>0且a≠1)在(1,+∞)上单调递增,选项C满足条件.当1>a>0时,直线y=ax+1的斜率大于0且小于1,函数y=a|x-1|(a>0且a≠1)在(1,+∞)上单调递减,没有选项满足条件.故选C. 规律方法函数图象的画法画法应用范围画法技巧基本函数法基本初等函数利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的有关知识,画出特殊点(线),直接根据函数的图象特征作出图象变换法与基本初等函数有关联的函数弄清所给函数与基本初等函数的关系,恰当选择平移、对称等变换方法,由基本初等函数图象变换得到函数图象描点法未知函数或较复杂的函数列表、描点、连线 变式训练1(1)已知幂函数y1=xa,y2=xb,y3=xc,y4=xd在第一象限的图象如图所示,则()A.a>b>c>dB.b>c>d>aC.d>b>c>aD.c>b>d>a (2)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax(a>0,a≠1)的图象可能是() 答案(1)B(2)D解析(1)根据幂函数y1=xa,y2=xb,y3=xc,y4=xd在第一象限的图象知,b>c>1>d>0>a,即b>c>d>a.(2)幂函数f(x)=xa的图象不过(0,1)点,且应是增函数,故A错误;B项中由对数函数f(x)=logax的图象知0<a<1,而此时幂函数f(x)=xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势,故B错误;D正确;C项中由对数函数f(x)=logax的图象知a>1,而此时幂函数f(x)=xa的图象应是增长越来越快的变化趋势,故C错误. 专题二幂函数性质的综合应用幂函数的问题多借助图象解决,多考查两个方面:一是幂函数图象的识别;二是借助图象解决单调性问题,渗透直观想象和逻辑推理的核心素养. 【例2】已知函数f(x)=在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,则最小的正整数a=.答案3解析∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴<0,∴a>1.∵f(x)在(-∞,0)上单调递增,且在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)为偶函数,∴1-a为偶数,∴a为奇数,∴最小的正整数a=3. 规律方法幂函数y=xa的图象与性质由于a值的不同而比较复杂,一般从两个方面考查:(1)a的正负:a>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;a<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.(2)比较大小的基本题型,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.可以利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象进行判断. 变式训练2已知幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上单调递增.(1)求m的值;(2)求满足不等式f(2a-1)<f(a+1)的实数a的取值范围. 解(1)由于f的图象关于y轴对称,则f是偶函数,即-m2+4m是偶数.由于f在(0,+∞)上单调递增,所以-m2+4m>0,解得0<m<4.又m∈Z,故m可取1,2,3,分别代入-m2+4m得3,4,3,故m=2.(2)因为f是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,由f(2a-1)<f(a+1),可得f(|2a-1|)<f(|a+1|),即|2a-1|<|a+1|,解得0<a<2,故实数a的取值范围是(0,2). 专题三指数型函数的综合问题1.指数型函数多结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式的求解等.2.掌握指数函数的图象和性质,重点提升数学运算和逻辑推理的核心素养. 【例3】若函数f(x)=为奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的定义域;(3)求函数f(x)的值域;(4)讨论函数f(x)的单调性. 规律方法对于形如y=af(x)或y=f(ax)的复合函数,要注意转化思想的应用,将问题转化为我们熟悉的指数函数、一次函数、二次函数等问题去求解.通常研究函数的单调性、奇偶性、定义域、值域等性质. 变式训练3已知函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数.(1)求f(x)的解析式;(2)判断函数F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性,并证明;(3)解不等式loga(1-x)>loga(x+2). 解(1)a2-3a+3=1,可得a=2或a=1(舍去),∴f(x)=2x.(2)∵F(x)=2x-2-x,∴F(x)的定义域为R,关于原点对称,又F(-x)=-F(x),∴F(x)是奇函数.(3)不等式log2(1-x)>log2(x+2), 专题四对数型函数的综合问题1.对数型函数多结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式的求解等,在对数型函数的相关问题时,不要忘记对数的真数大于0.2.掌握对数函数的图象和性质,重点提升数学运算和逻辑推理的核心素养. (1)求函数f(x)的解析式;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1). 规律方法以对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象与性质为依托,以及利用对数函数的性质进行定义域、值域、单调性、奇偶性等问题的研究时,不要忘记对数中真数应大于0的限制条件,以免扩大范围. 变式训练4已知f=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0,且a≠1).(1)求函数f的定义域、值域;(2)若函数f的最小值为-2,求a的值.∴函数的定义域为{x|-3<x<1}.f=loga(1-x)(x+3),设t=(1-x)(x+3)=4-(x+1)2,∵x∈(-3,1),∴t∈(0,4].令g(t)=logat,t∈(0,4]. 当0<a<1时,g(t)≥loga4,值域为[loga4,+∞).当a>1时,g(t)≤loga4,值域为(-∞,loga4].(2)由题知,当0<a<1时,函数有最小值,∴loga4=-2, 本课结束